Egzamin ósmoklasisty – Matematyka – Informator 2019 (zadania)

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zaczniesz liczyć koszt zakupu herbaty w torebkach lub sypkiej, ale popełnisz błąd rachunkowy i otrzymasz błędne wyniki.
2 pkt
• Gdy obliczysz poprawnie koszt zakupu jednego rodzaju herbaty - torebkach lub sypkiej (Krok 1. lub Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwane wyniki.

Krok 1. Obliczenie kosztu picia herbaty w torebkach.
Skoro rodzina wypija \(12\) torebek dziennie, to w ciągu miesiąca wypije:
$$12\cdot30=360\text{ torebek}$$

Herbata pakowana jest w opakowaniu po \(50\) torebek, więc tych opakowań potrzebujemy:
$$360:50=7,2$$

To oznacza, że \(7\) opakowań nam nie wystarczy, musimy zatem kupić \(8\) opakowań, bo zgodnie z treścią zadania interesuje nas możliwie jak najmniejsza liczba opakowań herbaty, tak aby starczyło jej na \(30\) dni.

Skoro tak, to za herbatę w torebkach zapłacimy:
$$8\cdot8,5zł=68zł$$

Krok 2. Obliczenie kosztu picia herbaty sypanej.
Chcemy przyrządzać \(12\) herbat dziennie, czyli miesięcznie będzie to:
$$30\cdot12=360\text{ herbat}$$

Każdy napar potrzebuje \(2g\) liści herbaty, czyli potrzebujemy:
$$360\cdot2g=720g$$

Herbata sypka sprzedawana jest w opakowaniach po \(50g\), czyli takich opakowań potrzebujemy:
$$720g:50g=14,4$$

To oznacza, że tak naprawdę potrzebujemy \(15\) opakowań (bo \(14\) to za mało). Skoro każde opakowanie kosztuje \(5zł\), to za całość zapłacimy:
$$15\cdot5zł=75zł$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że od 1 września do 1 grudnia upływa \(91\) dni i nie zapiszesz, że jest to liczba podzielna przez \(7\).
LUB
• Gdy dowodzenie przeprowadzisz na konkretnym dniu tygodnia.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Obliczenie ile dni upływa od pierwszego dnia września do pierwszego dnia grudnia.
Sprawdźmy ile dni ma każdy interesujący nas miesiąc:
Wrzesień: \(30\) dni
Październik: \(31\) dni
Listopad: \(30\) dni
Razem jest to \(91\) dni

Możemy więc powiedzieć, że od pierwszego września do pierwszego grudnia upływa \(91\) dni.

Krok 2. Dokończenie dowodzenia.
Przeliczmy \(91\) dni na tygodnie. Tydzień ma \(7\) dni, czyli jest to okres:
$$91:7=13\text{ tygodni}$$

Otrzymaliśmy liczbę całkowitą (dzielenie bez reszty). Możemy więc powiedzieć że od pierwszego września do pierwszego grudnia upływa dokładnie \(13\) tygodni, czyli pierwszy grudnia wypada dokładnie w tym samym dniu tygodnia co pierwszy września i właśnie to należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozważysz tylko jedną sytuację (Krok 1. lub Krok 2. lub Krok 3.).
2 pkt
• Gdy rozważysz wszystkie trzy możliwości, ale popełnisz gdzieś błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwane wyniki.

Krok 1. Analiza treści zadania.
Zadanie nie precyzuje który punkt jest środkiem odcinka, a który jest punktem krańcowym odcinka. W związku z tym każdy z trzech punktów \(K, M, P\) może być środkiem naszego odcinka. Musimy więc rozważyć każdy z trzech wariantów
- punkt \(K\) jest środkiem odcinka \(PM\)
- punkt \(M\) jest środkiem odcinka \(PK\)
- punkt \(P\) jest środkiem odcinka \(KM\)


Naszym zadaniem jest więc obliczenie współrzędnych punktu \(P\) w każdym z tych trzech przypadków. Do obliczeń współrzędnych punktu \(P\) skorzystamy ze wzorów na środek odcinka:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$$

Krok 2. Rozpatrzenie sytuacji w której to punkt \(K\) jest środkiem odcinka.
Skoro \(K=(–2,8)\), to znaczy że:
Współrzędna iksowa punktu \(P\):
$$-2=\frac{x+4}{2} \\
-4=x+4 \\
x=-8$$

Współrzędna igrekowa punktu \(P\):
$$8=\frac{y+6}{2} \\
16=y+6 \\
y=10$$

Zatem \(P=(-8;10)\).

Krok 2. Rozpatrzenie sytuacji w której to punkt \(M\) jest środkiem odcinka.
Współrzędna iksowa punktu \(P\):
$$4=\frac{x-2}{2} \\
8=x-2 \\
x=10$$

Współrzędna igrekowa punktu \(P\):
$$6=\frac{y+8}{2} \\
12=y+8 \\
y=4$$

Zatem \(P=(10;4)\).

Krok 3. Rozpatrzenie sytuacji w której to punkt \(P\) jest środkiem odcinka.
Współrzędna iksowa punktu \(P\):
$$x=\frac{-2+4}{2} \\
x=\frac{2}{2} \\
x=1$$

Współrzędna igrekowa punktu \(P\):
$$y=\frac{8+6}{2} \\
y=\frac{14}{2} \\
y=7$$

Zatem \(P=(1;7)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz ile złotych zapłaci kantor za \(400\) funtów (Krok 2.).
LUB
• Gdy obliczysz ile dolarów otrzyma Marcin za \(1\) funt brytyjski (\(1,2\) dolara za \(1\) funta).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Interpretacja tabeli kursów walut.
Największą pułapką w tym zadaniu jest zrozumienie tabeli kursów walut. Kolumna "kupno" pokazuje po jakiej cenie kantor kupuje waluty od swoich klientów. Kolumna "sprzedaż" pokazuje po jakiej cenie kantor sprzedaje waluty. Bardzo często jest tak, że mylnie interpretujemy tę tabelę i patrzymy na nią z perspektywy klienta, ale byłoby to nielogiczne gdybyśmy w tym samym kantorze mogli kupić dolara za \(4,18zł\) i sprzedać go za \(4,25zł\).

Krok 2. Obliczenie ile złotych zapłaci kantor za \(400\) funtów.
Kantor kupuje funta po kursie \(5,10zł\). Skoro Marcin ma \(400\) funtów, to kantor zapłaci mu:
$$400\cdot5,10zł=2040zł$$

Krok 3. Obliczenie ile dolarów otrzyma Marcin za \(2040zł\).
Kantor sprzedaje dolary po kursie \(4,25zł\). Skoro Marcin ma \(2040zł\), to kantor wyda mu:
$$2040zł:4,25zł=480$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie długość boku kwadratu (Krok 2.).
LUB
• Gdy dostrzeżesz, że pole kwadratu jest \(6\) razy większe od pola trójkąta \(AED\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli założymy sobie, że kwadrat ma bok długości \(a\), to zgodnie z treścią zadania odcinek \(DE\) ma długość \(\frac{1}{3}a\).

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Wiemy że trójkąt \(AED\) jest trójkątem prostokątnym i ma pole równe \(24cm^2\). Podstawa tego trójkąta ma długość \(\frac{1}{3}a\), natomiast wysokość ma długość \(a\). Wykorzystując więc wzór na pole trójkąta możemy ułożyć równanie z którego obliczymy długość boku \(a\) (czyli tym samym długość boku kwadratu).
$$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}a\cdot a=24 \\
\frac{1}{6}a^2=24 \\
a^2=144 \\
a=12[cm]$$

Krok 3. Obliczenie pola kwadratu.
Wiemy już, że nasz kwadrat ma bok długości \(12cm\), zatem jego pole będzie równe:
$$P=12cm\cdot12cm \\
P=144cm^2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy ułożysz odpowiednie równanie pozwalające obliczyć ilość wody w jednym lub drugim zbiorniku (Krok 1).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i ułożenie równania.
Wprowadźmy sobie oznaczenia i spróbujmy ułożyć równanie na podstawie treści zadania:
\(x\) - początkowa ilość litrów wody w drugim zbiorniku
\(4x\) - początkowa ilość litrów wody w pierwszym zbiorniku (bo jest jej czterokrotnie więcej)

Wiemy, że po wlaniu \(6\) litrów wody otrzymamy sytuację w której w pierwszym zbiorniku jest dwa razy więcej wody, czyli:
$$4x+6=2\cdot(x+6)$$

Uwaga: Równie dobrze możemy zapisać, że:
\(x\) - początkowa ilość litrów wody w pierwszym zbiorniku
\(\frac{1}{4}x\) - początkowa ilość litrów wody w drugim zbiorniku

Wtedy po dolaniu wody otrzymamy równanie:
$$x+6=2\cdot\left(\frac{1}{4}x+6\right)$$

Krok 2. Obliczenie początkowej ilości wody w pierwszym i drugim zbiorniku.
Rozwiązując powstałe równanie obliczymy początkową ilość litrów wody w drugim zbiorniku, czyli:
$$4x+6=2\cdot(x+6) \\
4x+6=2x+12 \\
2x=6 \\
x=3$$

Wyszło nam z obliczeń, że w drugim pojemniku mamy \(3\) litry wody. To oznacza, że w pierwszym zbiorniku było \(4\cdot3=12\) litrów wody.

Krok 3. Obliczenie końcowej łącznej ilości wody w obu zbiornikach.
Naszym zadaniem jest obliczenie łącznej ilości wody w obu zbiornikach po dolaniach.
W pierwszym zbiorniku było \(12\) litrów wody, a po dolaniu \(6\) litrów było tam \(18\) litrów.
W drugim zbiorniku były \(3\) litry wody, a po dolaniu \(6\) litrów było tam \(9\) litrów.
Łącznie jest to więc \(18+9=27\) litrów.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz zależności pomiędzy długościami boków kwadratów (Krok 1).
2 pkt
• Gdy obliczysz pole prostokąta (Krok 2.) oraz dużego kwadratu (Krok 3.), ale nie zakończysz dowodzenia.
LUB
• Gdy stwierdzisz, że dwa średnie kwadraty mają powierzchnię równą połowie dużego kwadratu, a trzy małe kwadraty mają powierzchnię mniejszą niż połowa kwadratu, ale nie zakończysz dowodzenia (czyli np. nie zapiszesz lub nie pokażesz na rysunku tego że łącznie te mniejsze kwadraty mają pole mniejsze od dużego kwadratu).
LUB
• Gdy nie uda Ci się przeprowadzić pełnego dowodzenia tylko dlatego, że po drodze popełniłeś błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oznaczmy sobie długość boku małego kwadratu jako \(x\). To będzie oznaczać, że duży kwadrat będzie mieć długość \(3x\), a średni kwadrat będzie mieć bok długości \(1,5x\):


Krok 2. Obliczenie pola prostokąta \(ABCD\).
Zgodnie z rysunkiem możemy powiedzieć, że nasz prostokąt ma boki długości \(5,5x\) oraz \(3x\), zatem jego pole powierzchni będzie równe:
$$P=5,5x\cdot3x \\
P=16,5x^2$$

Krok 3. Obliczenie pola dużego kwadratu.
Duży kwadrat ma bok długości \(3x\), zatem jego pole powierzchni będzie równe:
$$P=3x\cdot3x \\
P=9x^2$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Duży kwadrat ma pole równe \(9x^2\).
Połowa pola prostokąta \(ABCD\) wynosi \(16,5x^2:2=8,25x^2\).
To oznacza, że pole dużego kwadratu jest rzeczywiście większe niż połowa prostokąta \(ABCD\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość boku kwadratu (Krok 1).
2 pkt
• Gdy obliczysz wymiary paska.
LUB
• Gdy obliczysz wymiary czterech figur składających się na pasek (dwa prostokąty \(2cm\times4cm\) oraz dwa trapezy o podstawach \(4cm\) i \(6cm\) oraz wysokości \(2cm\)).
LUB
• Gdy otrzymasz błędny wynik w wyniku błędu rachunkowego.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie długości boku kwadratu.
Kwadrat ma pole powierzchni \(36cm^2\), czyli ma bok długości \(\sqrt{36}=6cm\).

Krok 2. Obliczenie szerokości paska.
Nasz kwadrat ma bok długości \(6cm\) i na tę długość składają się trzy szerokości pociętego paska. To oznacza, że pasek miał szerokość:
$$6cm:3=2cm$$

Krok 3. Obliczenie długości paska.
Pole powierzchni paska oraz kwadratu są sobie równe, bo składają się z tych samych elementów. Skoro znamy szerokość paska, to ze wzoru na pole powierzchni możemy obliczyć jego długość:
$$2cm\cdot x=36cm^2 \\
x=18cm$$

Krok 4. Obliczenie obwodu paska.
Pasek ma szerokość \(2cm\) i długość \(18cm\), zatem jego obwód będzie równy:
$$Obw=2\cdot2cm+2\cdot18cm \\
Obw=4cm+36cm \\
Obw=40cm$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
Gdy obliczysz udział w zakupach każdej z Pań (Krok 2.)
LUB
• Gdy obliczysz stosunek przyznanego rabatu do początkowej wartości zamówienia (\(\frac{40}{300}\)).
2 pkt
• Gdy otrzymasz błędny końcowy wynik tylko w wyniku błędu rachunkowego.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie początkowej wartości zamówienia.
Pani Malinowska miała zapłacić \(120zł\), a Panie Wiśniewska i Śliwińska po \(90zł\), czyli razem Panie miały zapłacić:
$$120zł+90zł+90zł=300zł$$

Krok 2. Obliczenie udziału w zakupach każdej z Pań.
Pani Malinowska miała zapłacić \(120zł\) z łącznej kwoty \(300zł\), czyli jej udział w zakupach wyniósł \(\frac{120}{300}=\frac{4}{10}\)
Pani Wiśniewska miała zapłacić \(90zł\) z łącznej kwoty \(300zł\), czyli jej udział w zakupach wyniósł \(\frac{90}{300}=\frac{3}{10}\)
Pani Śliwińska miała zapłacić \(90zł\) z łącznej kwoty \(300zł\), czyli jej udział w zakupach wyniósł \(\frac{90}{300}=\frac{3}{10}\)

Krok 3. Obliczenie kwoty do zapłaty po otrzymaniu rabatu.
Kwota do zapłaty przez każdą z Pań ma być proporcjonalna do pierwotnej wartości zamówienia. Końcowy rachunek wyniósł \(260zł\), czyli:
Pani Malinowska powinna zapłacić \(\frac{4}{10}\cdot260zł=104zł\)
Pani Wiśniewska powinna zapłacić \(\frac{3}{10}\cdot260zł=78zł\)
Pani Śliwińska powinna zapłacić \(\frac{3}{10}\cdot260zł=78zł\)

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprowadzisz prostą przez punkt \(P\) i zapiszesz miarę przynajmniej jednego kąta odpowiadającego (I sposób).
LUB
• Gdy przedłużysz półprostą i zapiszesz miarę przynajmniej jednego kąta odpowiadającego w otrzymanym trójkącie (II sposób).
LUB
• Gdy wykorzystasz inne sposoby i korzystając z własności kątów odpowiadających, naprzemianległych lub przyległych wyznaczysz jakąś jedną miarę kąta.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

I sposób - przeprowadzając prostą przez punkt \(P\):
Jeżeli przez punkt \(P\) poprowadzimy prostą równoległą do prostych \(a\) oraz \(b\), to korzystając z własności kątów odpowiadających otrzymamy następującą sytuację:


Suma kątów \(27°+63°\) daje kąt \(90°\) i właśnie to należało udowodnić.

II sposób - przedłużając półprostą \(PB\):
Jeżeli przedłużymy półprostą \(PB\) tak aby przecięła się z prostą \(a\) to otrzymamy trójkąt \(ACP\) którego dwa kąty wyznaczymy z własności kątów:
\(|\sphericalangle CAP|=27°\) (kąt wierzchołkowy)
\(|\sphericalangle ACP|=63°\) (kąt odpowiadający)


To oznacza, że kąt \(CPA\) ma miarę:
$$180°-27°-63°=90°$$

Kąty \(CPA\) oraz poszukiwany przez nas \(APB\) są kątami przyległymi (czyli takimi których łączna miara wynosi \(180°\)). Skoro \(|\sphericalangle CPA|=90°\), to:
$$|\sphericalangle APB|=180°-90°=90°$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia stosując jedną niewiadomą (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne równanie z jedną niewiadomą (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz poprawnie ilość piłeczek jednego koloru (Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Tutaj możemy tak naprawdę tworzyć bardzo różnorodne oznaczenia, ale patrząc na kontekst zadania to najprościej będzie chyba odnosić się zawsze do niebieskich piłek:
\(x\) - liczba niebieskich piłeczek
\(0,8x\) - liczba czarnych piłeczek
\(x+6\) - liczba zielonych piłeczek

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Skoro niebieskich i zielonych piłeczek jest łącznie o \(48\) więcej niż czarnych, to powstaje nam równanie:
$$niebieskie+zielone=czarne+48 \\
x+(x+6)=0,8x+48 \\
2x+6=0,8x+48 \\
1,2x=42 \\
x=35$$

Krok 3. Obliczenie liczby poszczególnych piłeczek.
Wiemy już, że mamy \(35\) niebieskich piłeczek. Teraz musimy policzyć pozostałe kolory:
Czarne: \(0,8\cdot35=28\)
Zielone: \(35+6=41\)

Krok 4. Obliczenie łącznej liczby wszystkich piłeczek.
Wszystkich piłeczek mamy zatem:
$$35+28+41=104$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej (Krok 2.).
LUB
• Gdy obliczysz wysokość trójkąta znajdującego się w podstawie (\(h=\sqrt{3}\)).
2 pkt
• Gdy obliczysz pole podstawy (Krok 1.).
LUB
• Gdy obliczysz pole ściany bocznej (Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz pole podstawy (Krok 1.) oraz pole ściany bocznej (Krok 3.)
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.


Wiemy, że ostrosłup jest ostrosłupem prawidłowym trójkątnym. To oznacza, że w podstawie musi znaleźć się trójkąt równoboczny. Z rysunku możemy od razu odczytać, że długość boku tego trójkąta znajdującego się w podstawie jest równa \(2cm\) (patrz rysunek), a skoro tak, to pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{4\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\sqrt{3}[cm^2]$$

Krok 2. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Do obliczenia pola powierzchni całkowitej potrzebujemy znać jeszcze pola ściany bocznej. Aby ją obliczyć musimy poznać wysokość trójkąta i tu skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa oraz z własności trójkątów równoramiennych, która mówi nam że wysokość takiego trójkąta dzieli podstawę na dwie równe części.


Z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$1^2+h^2=7^2 \\
1+h^2=49 \\
h^2=48 \\
h=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt{3}[cm]$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni pojedynczej ściany bocznej.
Wiemy już, że w ścianie bocznej znajduje się trójkąt o podstawie \(2cm\) oraz wysokości \(4\sqrt{3}cm\), zatem jego pole powierzchni będzie równe:
$$P_{b}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot4\sqrt{3} \\
P_{b}=1\cdot4\sqrt{3} \\
P_{b}=4\sqrt{3}[cm^2]$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Na pole powierzchni całkowitej składają się jedna podstawa oraz trzy ściany boczne, zatem:
$$P_{c}=P_{p}+3P_{b} \\
P_{c}=\sqrt{3}+3\cdot4\sqrt{3} \\
P_{c}=\sqrt{3}+12\sqrt{3} \\
P_{c}=13\sqrt{3}[cm^2]$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz czas pojedynczego zwiedzania (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie czasu pojedynczego zwiedzania jaskini.
Od 9:00 do 16:30 upływa \(7\) godzin \(30\) minut, czyli \(450\) minut.
W tym czasie jaskinię zwiedzi (czyli wejdzie i wyjdzie) \(9\) grup (dziesiąta grupa wejdzie o 16:30). To oznacza, że jedno zwiedzanie trwa:
$$450:9=50 minut$$

Krok 2. Obliczenie czasu czekania na wejście do jaskini.
Skoro czas zwiedzania wynosi \(50\) minut, to wejścia do jaskini prezentują się następująco:
I wejście: 9:00
II wejście: 9:50
III wejście: 10:40
IV wejście: 11:30
V wejście: 12:20
VI wejście: 13:10
VII wejście: 14:00

Harcerze przychodzą na miejsce o godzinie 13:25, więc będą musieli poczekać \(35\) minut.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozbijesz tę liczbę na sumę \(4900+6■\), ale nie wywnioskujesz końcowego rozwiązania.
LUB
• Gdy zapiszesz dzielenie pisemne \(496■:7\) i nie dojdziesz do końcowego rozwiązania.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Liczbę zapisaną przez Agnieszkę możemy symbolicznie zapisać jako \(496■\). Generalnie nie mamy żadnej cechy podzielności liczb przez \(7\), która mogłaby nam pomóc w rozwikłaniu jaka to cyfra znajduje się na ostatnim miejscu tej liczby, ale możemy zauważyć, że ta nasza liczba to tak naprawdę suma \(4900+6■\). \(4900\) jest na pewno podzielne przez \(7\), więc musimy znaleźć liczbę dwucyfrową podzielną przez \(7\) w której cyfra dziesiątek jest równa \(6\). Taka jest tylko jedna liczba i jest to \(63\) i taka też będzie "końcówka" naszej czterocyfrowej liczby. To oznacza, że Agnieszka zapisała liczbę \(4963\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia (Krok 1.).
LUB
• Gdy dostrzeżesz, że po przesunięciu linii podziału suma obwodów otrzymanych figur nie zmieni się.
LUB
• Gdy metodą prób i błędów będziesz obliczać wymiary prostokątów.
2 pkt
• Gdy ułożysz poprawnie równanie (Krok 3.).
LUB
• Gdy obliczysz obwód mniejszego prostokąta (\(16cm\)).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro wyjściowy prostokąt ma wymiary \(12\times6\) to możemy wprowadzić następujące oznaczenia:


Krok 2. Obliczenie obwodów mniejszego i większego prostokąta.
Mniejszy prostokąt ma obwód równy:
$$Obw_{M}=2\cdot x+2\cdot6=2x+12$$

Większy prostokąt ma obwód równy:
$$Obw_{D}=2\cdot(12-x)+2\cdot6 \\
Obw_{D}=24-2x+12 \\
Obw_{D}=36-2x$$

Krok 3. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wiemy, że obwód dużego prostokąta jest dwukrotnie większy, zatem powstaje nam równanie:
$$Obw_{D}=2\cdot Obw_{M} \\
36-2x=2\cdot(2x+12) \\
36-2x=4x+24 \\
12=6x \\
x=2$$

Krok 4. Wyznaczenie wymiarów mniejszego prostokąta.
Patrząc się na rysunek pomocniczy widzimy, że nasz mniejszy prostokąt ma wymiary \(6\) i \(x\), czyli \(6\) i \(2\).