Egzamin gimnazjalny – Matematyka – 2019 – Odpowiedzi

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
W pierwszej butelce było \(200ml\) wody (bo od takiej wartości rozpoczyna się nasz wykres). Kiedy całą zawartość drugiej butelki przelano do pierwszej, to w pierwszej butelce było \(800ml\) (bo na takiej wartości kończy się nasz wykres).

Skoro na początku w pierwszej butelce było \(200ml\) wody, a na koniec było \(800ml\), to zawartość drugiej butelki wyniosła:
$$800ml-200ml=600ml$$

To oznacza, że zdanie jest fałszem, bo nie zgadza się objętość drugiej butelki.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W ciągu ostatnich trzech sekund zawartość wody wzrosła z \(600ml\) do \(800ml\), czyli faktycznie przelano w tym czasie \(200ml\) wody. Zdanie jest więc prawdą.

D

Krok 1. Ustalenie ile malin znajduje się w pierwszym pojemniku.
Pierwszy pojemnik z malinami waży \(\frac{3}{4}kg\), czyli \(0,75kg\). Wiemy też, że masa pustego pojemnika jest równa \(0,05kg\). Stąd też masa malin w pierwszym pojemniku jest równa:
$$0,75kg-0,05kg=0,70kg$$

Krok 2. Ustalenie ile malin znajduje się w drugim pojemniku.
Drugi pojemnik z malinami waży \(0,70kg\). Skoro pusty pojemnik waży \(0,05kg\), to masa malin w drugim pojemniku jest równa:
$$0,70kg-0,05kg=0,65kg$$

Krok 3. Ustalenie ile malin znajduje się w trzecim pojemniku.
Zosia zebrała \(2kg\) malin. Do pierwszego pojemnika wsypała \(0,70kg\) tych owoców, a do drugiego wsypała \(0,65kg\). To oznacza, że w trzecim pojemniku znalazło się:
$$2kg-0,70kg-0,65kg=0,65kg$$

B

Krok 1. Obliczenie długości pojedynczej cząstki na osi liczbowej.
Aby rozwiązać to zadanie musimy obliczyć długość pojedynczego przedziału na osi liczbowej:


Widzimy wyraźnie, że między wartością \(250\) i \(1000\) mamy \(6\) takich cząstek, zatem każda z nich ma długość:
$$(1000-250):6=750:6=125$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(ST\).
Nasz odcinek \(ST\) składa się z \(12\) części. Każda z nich ma długość \(125\), zatem:
$$|ST|=12\cdot125 \\
|ST|=1500$$

D

Sprawdźmy zaokrąglenie każdej z podanych liczb:
Pierwsza liczba: \(0,1(47)=0,14747...\approx0,15\)
Druga liczba: \(0,1552\approx0,16\)
Trzecia liczba: \(0,1(5)=0,15555...\approx0,16\)

Zaokrąglenie do części setnych jest równe \(0,15\) jedynie w pierwszej liczbie.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Załóżmy sobie, że Kacper zebrał \(x\) złotych, a skoro zebrał dwa razy mniej od Wojtka, to Wojtek tym samym zebrał \(2x\) złotych.
Z treści zadania wynika, że Kacper wydał połowę swoich pieniędzy, czyli wydał:
$$\frac{1}{2}\cdot x=\frac{1}{2}x$$

Wojtek wydał \(\frac{1}{4}\) swoich pieniędzy, czyli Wojtek wydał:
$$\frac{1}{4}\cdot2x=\frac{1}{2}x$$

Chłopcy wydali więc identyczną kwotę, zatem zdanie jest jak najbardziej prawdziwe.

Jeśli mamy trudności z takimi matematycznymi zapisami, to możemy zweryfikować to zadanie na prawdziwych liczbach. Jeżeli założymy sobie, że Kacper ma np. \(100zł\) i że wydał z tego połowę, to wiemy że wydał \(\frac{1}{2}\cdot100zł=50zł\).
Wojtek ma dwa razy więcej pieniędzy, czyli tym samym byłoby to \(200zł\). Skoro Wojtek miał wydać \(\frac{1}{4}\) swoich oszczędności, to znaczy że wydał \(\frac{1}{4}\cdot200zł=50zł\). W ten sposób bardzo obrazowo udało nam się ustalić, że chłopcy wydali identyczną kwotę.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Korzystając z tego co sobie już zapisaliśmy w pierwszym kroku możemy zapisać, że:
Kacper miał \(x\) złotych, wydał \(\frac{1}{2}x\) złotych, czyli zostało mu \(x-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x\).
Wojtek miał \(2x\) złotych, wydał \(\frac{1}{2}x\) złotych, czyli zostało mu \(2x-\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}x\).

Widzimy wyraźnie, że Kacprowi zostało faktycznie trzy razy mniej pieniędzy niż Wojtkowi, czyli zdanie jest prawdą.

I tu ponownie moglibyśmy to zrobić to zadanie w obrazowy sposób, na konkretnych kwotach. Korzystając z tego co zapisaliśmy sobie w pierwszym kroku:
Kacper miał \(100zł\), wydał \(50zł\), czyli zostało mu \(50zł\).
Wojtek miał \(200zł\), wydał \(50zł\), czyli zostało mu \(150zł\).

W ten sposób doszlibyśmy do wniosku, że Kacprowi zostało faktycznie trzy razy mniej pieniędzy, czyli zdanie było prawdą.

B

Zapis rozwiązania układu równań w postaci \((3, –2)\) oznacza, że szukamy układu równań, którego rozwiązaniem jest para liczb \(x=3\) oraz \(y=-2\). Teoretycznie moglibyśmy rozwiązać każdy układ równań osobno i w ten sposób wskazalibyśmy poprawny wynik. Jednak to zadanie można zrobić nieco sprytniej. Widzimy, że w każdym z układów drugie równanie ma po lewej stronie wyrażenie \(-3x+2y\). Możemy więc sprawdzić jaką wartość przyjmie to wyrażenie dla \(x=3\) oraz \(y=-2\) i tym samym zobaczymy która z odpowiedzi jest prawidłowa:
$$-3x+2y=-3\cdot3+2\cdot(-2)=-9+(-4)=-9-4=-13$$

Otrzymaliśmy informację, że dla pary liczb \((3,-2)\) wyrażenie \(-3x+2y\) powinno przyjąć wartość równą \(-13\), a taka sytuacja znalazła się jedynie w odpowiedzi B.

C

Krok 1. Zapisanie wszystkich liczb w postaci pierwiastka.
Gdybyśmy mieli kalkulator, to moglibyśmy obliczyć przybliżone wartości każdej z podanych liczb. Niestety na egzaminie nie możemy korzystać z kalkulatora, a raczej mało kto pamięta zaokrąglenie pierwiastków typu \(\sqrt{8}\), czy też \(\sqrt{6}\). Z tego też względu musimy do tego zadania podejść nieco inaczej. Każdą z liczb musimy sprowadzić do postaci pojedynczego pierwiastka, czyli musimy tak naprawdę wykonać czynność odwrotną do wyłączania czynnika przed znak pierwiastka:
\(a=4\sqrt{3}=\sqrt{4^2\cdot3}=\sqrt{16\cdot3}=\sqrt{48} \\
b=3\sqrt{8}=\sqrt{3^2\cdot8}=\sqrt{9\cdot8}=\sqrt{72} \\
c=6\sqrt{2}=\sqrt{6^2\cdot2}=\sqrt{36\cdot2}=\sqrt{72} \\
d=2\sqrt{6}=\sqrt{2^2\cdot6}=\sqrt{4\cdot6}=\sqrt{24}\)

Krok 2. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Im większa liczba pod pierwiastkiem, tym nasza liczba jest większa. Z tego też względu:
Odp. A. jest błędna, bo \(a\lt b\)
Odp. B. jest błędna, bo \(b=c\)
Odp. C. jest poprawna
Odp. D. jest błędna, bo \(c\gt d\)

B

Krok 1. Obliczenie objętości zbiornika.
Z treści zadania wynika informacja, że po dolaniu \(12\) litrów wody napełnienie wzrosło z \(65\%\) do \(80\%\), czyli wzrosło o \(15\%\). Możemy więc ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(12\) litrów to \(15\%\) pojemności zbiornika
To \(4\) litry to \(5\%\) pojemności zbiornika
Więc \(80\) litrów to \(100\%\) pojemności zbiornika

Krok 2. Obliczenie ile litrów wody jest w zbiorniku.
Wiemy, że zbiornik ma \(80\) litrów i jest napełniony w \(80\%\)-tach. Zatem ilość wody w zbiorniku to:
$$0,8\cdot80l=64l$$

C

Cecha podzielności liczb przez \(3\) związana jest z sumą cyfr danej liczby. Liczba jest podzielna przez \(3\) tylko i wyłącznie wtedy, gdy suma jej cyfr jest być podzielna przez \(3\). Aby dojść do tego która z podanych liczb jest podzielna przez \(3\) to zastanówmy się najpierw jak wygląda liczba \(10^{23}\). Jest to jedynka na początku, a dalej są już same zera. Suma cyfr takiej liczby byłaby więc równa \(1\).

W związku z tym liczba \(a=10^{23}+1\) będzie miała sumę cyfr równą \(2\) (to będzie tak naprawdę jedynka na początku, same zera w środku i jedynka na końcu). To oznacza, że ta liczba nie jest podzielna przez \(3\).

Bardzo podobnie możemy przeanalizować trzecią liczbę, czyli \(c=10^{23}+2\). Suma cyfr tej liczby będzie równa \(3\) (to będzie jedynka na początku, same zera w środku oraz \(2\) na końcu), zatem ta liczba jest podzielna przez \(3\).

Najtrudniejsza do oceny jest ta druga liczba. Gdybyśmy mieli \(10^3-1\), to mielibyśmy działanie \(1000-1=999\). Gdybyśmy mieli \(10^4-1\), to analogicznie byłoby to \(10000-1=9999\). Widzimy wyraźnie, że w takich zapisach mamy same dziewiątki, a tych dziewiątek jest dokładnie tyle ile jest równy wykładnik potęgi przy dziesiątce. W zapisie \(10^{23}-1\) będziemy mieć analogiczną sytuację i ta liczba to będą dwadzieścia trzy dziewiątki obok siebie. To oznacza, że suma cyfr tej liczby jest na pewno podzielna przez \(3\). Jakby ktoś nie był tego pewien, to możemy obliczyć że suma cyfr jest równa \(23\cdot9=207\), a liczba \(207\) jest podzielna przez \(3\).

To oznacza, że podzielne przez \(3\) są liczby \(b\) oraz \(c\).

D

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej podanych liczb.
Średnia arytmetyczna podanych liczb jest równa:
$$śr=\frac{4+9+11+15+21}{5}=\frac{60}{5}=12$$

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich liczb po dopisaniu jednej liczby.
Wiemy, że po dopisaniu jednej liczby średnia arytmetyczna wzrosła o \(1\), czyli wynosi teraz \(12+1=13\). Skoro mamy teraz \(6\) liczb (bo było pięć liczb, a jedną jeszcze dopisaliśmy) i ich średnia arytmetyczna jest równa \(13\), to suma wszystkich liczb z tego zbioru musi być równa:
$$6\cdot13=78$$

Krok 3. Obliczenie wartości poszukiwanej liczby.
Skoro suma pięciu początkowych liczb była równa \(60\), a po dopisaniu szóstej liczby jest równa \(78\), to oznacza że ta dopisana liczba jest równa:
$$78-60=18$$

D

Krok 1. Obliczenie ilości miejsc siedzących w każdym z proponowanych ustawień.
Wszystkie odpowiedzi są związane z ilością miejsc jakie możemy uzyskać w każdym sposobie ustawienia stołów, dlatego najpierw policzmy ile miejsc siedzących mamy przy każdym z proponowanych ustawień:

Ustawienie stołów na I sposób:
Do ustawienia stołów w taki trójkąt potrzeba \(3\) stołów. Wszystkich stołów mamy \(36\), czyli takich trójkątów jesteśmy w stanie zbudować:
$$36:3=12$$

Zgodnie z rysunkiem, każdy pojedynczy trójkąt daje nam \(9\) miejsc siedzących, zatem skoro takich trójkątów jesteśmy w stanie zbudować \(12\), to łączna liczba miejsc siedzących jest równa:
$$12\cdot9=108$$

Ustawienie stołów na II sposób:
Do zbudowania takiego ustawienia potrzeba \(2\) stoły. Wszystkich stołów mamy \(36\), czyli takich sześciokątów jesteśmy w stanie zbudować:
$$36:2=18$$

Zgodnie z rysunkiem, każdy pojedynczy sześciokąt daje nam \(6\) miejsc siedzących, zatem skoro takich sześciokątów jesteśmy w stanie zbudować \(18\), to łączna liczba miejsc siedzących jest równa:
$$18\cdot6=108$$

Ustawienie stołów na III sposób:
Do zbudowania takiego ustawienia potrzeba \(6\) stołów. Wszystkich stołów mamy \(36\), czyli takich pierścieni jesteśmy w stanie zbudować:
$$36:6=6$$

Zgodnie z rysunkiem, każdy pojedynczy pierścień daje nam \(12\) miejsc siedzących, zatem skoro takich pierścieni jesteśmy w stanie zbudować \(6\), to łączna liczba miejsc siedzących jest równa:
$$6\cdot12=72$$

Krok 2. Weryfikacja poprawności odpowiedzi.
Mając taki komplet danych jesteśmy w stanie zweryfikować, które zdanie jest fałszywe.
Odp. A. To zdanie jest prawdą, bo faktycznie w I i II sposobie mamy \(108\) miejsc siedzących.
Odp. B. To zdanie jest prawdą, bo najmniej miejsc siedzących (tylko \(72\)) otrzymaliśmy w III sposobie.
Odp. C. To zdanie jest prawdą, bo wyszło nam że faktycznie w I sposobie mamy \(108\) miejsc siedzących.
Odp. D. To zdanie jest fałszem, bo w II sposobie mamy \(108\) miejsc siedzących.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
To zdanie jest prawdą. Najlepiej jest to widać na pierwszym rysunku, gdzie powstał nam trójkąt równoboczny. Skąd wiemy, że ten trójkąt jest równoboczny? Każdy bok tego trójkąta składa się z jednej podstawy trapezu oraz z jednego ramienia trapezu, zatem na pewno każdy bok tego trójkąta ma jednakową miarę. Przejdźmy zatem do udowodnienia, że kąty w trapezie mają rzeczywiście miary \(60°, 60°, 120°, 120°\).


Na rysunku widzimy, że jeden z kątów trapezu musi mieć miarę \(60°\), bo jeden z kątów trapezu pokrywa się z kątem trójkąta równobocznego, a jak wiemy wszystkie kąty w trójkątach równobocznych mają \(60°\). Dodatkowo musimy pamiętać, że jedną z własności trapezów jest to, że kąty przy jednym ramieniu muszą dać sumę \(180°\). W ten sposób możemy bez przeszkód określić, że kąt rozwarty w tym trapezie ma miarę \(180°-60°=120°\).

Wiemy też, że jest to trapez równoramienny, więc przy jednym i drugim ramieniu kąty mają jednakową miarę, stąd też możemy być pewni, że trapez ma rzeczywiście miary kątów równe \(60°, 60°, 120°, 120°\).

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Najprościej będzie dostrzec to dzieląc trapez na trzy trójkąty równoboczne:


Z rysunku wyraźnie wynika, że dolna podstawa trapezu ma długość \(2a\), natomiast górna podstawa ma długość \(a\), zatem zdanie jest prawdą.

D

Krok 1. Odczytanie współrzędnych punktów.
Aby rozwiązać to zadanie musimy najpierw odczytać współrzędne poszczególnych punktów, które to potem podstawimy do wzoru funkcji:
$$A=(-2;5) \\
B=(-1;-1) \\
C=(2;1)$$

Krok 2. Sprawdzenie, czy dany punkt należy do funkcji.
Dany punkt będzie należał do wykresu funkcji, jeśli po podstawieniu współrzędnej iksowej oraz igrekowej, lewa i prawa strona równania będą sobie równe.

Punkt \(A\):
\(x=-2\) oraz \(y=5\)
\(y=2x^2-3 \\
5=2\cdot(-2)^2-3 \\
5=2\cdot4-3 \\
5=8-3 \\
5=5 \\
L=P\)

Punkt \(B\):
\(x=-1\) oraz \(y=-1\)
\(y=2x^2-3 \\
-1=2\cdot(-1)^2-3 \\
-1=2\cdot1-3 \\
-1=2-3 \\
-1=-1 \\
L=P\)

Punkt \(C\):
\(x=2\) oraz \(y=1\)
\(y=2x^2-3 \\
1=2\cdot2^2-3 \\
1=2\cdot4-3 \\
1=8-3 \\
1=5 \\
L\neq P\)

Lewa i prawa strona są sobie równe jedynie w przypadku podstawienia współrzędnych punktu \(A\) oraz \(B\), zatem tylko te punkty należą do wykresu naszej funkcji.

Nie C,

\(18\%\) z liczby \(15\) to jest \(0,18\cdot15=2,7\)
\(15\%\) z liczby \(18\) to jest \(0,15\cdot18=2,7\)

To oznacza, że te dwie wartości są sobie równe, czyli odpowiedzią na nasze pytanie jest "Nie, ponieważ \(0,18\cdot15\) to tyle samo co \(0,15\cdot18\)".

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Przesuwając sobie szary kawałek otrzymamy taką oto sytuację:


Krok 2. Obliczenie pola powierzchni zacieniowanych części kwadratu.
Z rysunku wynika, że nasz zacieniowany obszar stanowi "połowę połowy kwadratu", czyli jest to po prostu \(\frac{1}{4}\) kwadratu. To oznacza, że pole tego wycinka wynosi:
$$P=\frac{1}{4}\cdot36a^2 \\
P=9a^2$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Bok \(BC\) jest jednocześnie bokiem kwadratu o polu \(169\). Korzystając ze wzoru na pole kwadratu możemy bez problemu obliczyć tę długość:
$$P=a^2 \\
a^2=169 \\
a=13$$

To oznacza, że faktycznie bok \(BC\) ma długość \(13\).

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Do odpowiedzi na to pytanie potrzebujemy poznać jeszcze długość odcinka \(AC\), którą wyliczymy dokładnie tak samo jak \(BC\), czyli korzystając ze wzoru na pole kwadratu:
$$P=a^2 \\
a^2=25 \\
a=5$$

Wiemy już, że w tym trójkącie prostokątnym \(|AC|=5\) oraz \(|BC|=13\). Długość boku \(AB\) wyliczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2 \\
a^2+5^2=13^2 \\
a^2+25=169 \\
a^2=144 \\
a=12$$

Skoro bok \(AB\) ma długość \(12\), to kwadrat zbudowany na tym boku będzie mieć pole powierzchni równe:
$$P=a^2 \\
P=12^2 \\
P=144$$

Drugie zdanie jest więc prawdą.

B

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni całego koła.
Skoro ćwiartka koła ma pole równe \(4πcm^2\), to całe koło ma pole powierzchni równe:
$$P=4\cdot4π cm^2 \\
P=16π cm^2$$

Krok 2. Obliczenie długości boków \(AB\) oraz \(BC\).
Boki \(AB\) oraz \(BC\) to tak naprawdę długość promienia koła, którego pole przed chwilą policzyliśmy:


W związku z tym obliczając długość promienia koła poznamy długości kluczowych boków tego trójkąta. Długość promienia obliczymy korzystając ze wzoru na pole koła:
$$P=πr^2 \\
16πcm^2=πr^2 \\
r^2=16cm^2 \\
r=4cm$$

Krok 3. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).
Skoro boki \(AB\) oraz \(BC\) mają długość \(4cm\), to pole tego trójkąta będzie równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot4cm\cdot4cm \\
P=8cm^2$$

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Wyznaczenie wymiarów prostokąta \(ABCD\).
Z treści zadania wiemy, że prostokąt \(KLMN\) ma wymiary \(15cm\times9cm\). Patrząc się na rysunek widzimy, że zarówno dłuższy, jak i krótszy bok prostokąta \(ABCD\) ma miarę o \(4cm\) mniejszą (po \(2cm\) z każdej strony). Zatem wymiary prostokąta \(ABCD\) to \(11cm\times5cm\).

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Dwie figury są podobne, kiedy mają identyczny stosunek długości boków. W przypadku prostokąta \(ABCD\) dłuższy bok ma miarę ponad dwukrotnie większą niż bok krótszy (\(11cm\) względem \(5cm\)). W prostokącie \(KLMN\) dłuższy bok ma miarę około półtora raza większą niż bok krótszy (\(15cm\) względem \(9cm\)). Skoro stosunki długości boków są różne, to na pewno prostokąty \(ABCD\) oraz \(KLMN\) nie są figurami podobnymi. Zdanie jest więc fałszem.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Najprościej będzie to zweryfikować obliczając obwód każdego z prostokątów:
$$Obw_{ABCD}=2\cdot11cm+2\cdot5cm=22cm+10cm=32cm \\
Obw_{KLMN}=2\cdot15cm+2\cdot9cm=30cm+18cm=48cm$$

Różnica obwodów wynosi:
$$Obw_{KLMN}-Obw_{ABCD}=48cm-32cm=16cm$$

Zdanie jest więc fałszem.

C

Krok 1. Wyznaczenie figury znajdującej się w podstawie ostrosłupa i graniastosłupa.
Ostrosłup mający w podstawie \(n\)-kąt ma \(n+1\) wierzchołków (np. ostrosłup mający w podstawie pięciokąt będzie miał \(5+1=6\) wierzchołków).
Graniastosłup mający w podstawie \(n\)-kąt ma \(2n\) wierzchołków (np. graniastosłup mający w podstawie pięciokąt będzie miał \(2\cdot5=10\) wierzchołków).

Z treści zadania wynika, że suma wierzchołków jest równa \(25\), czyli możemy ułożyć równanie:
$$n+1+2n=25 \\
n+2n=24 \\
3n=24 \\
n=8$$

To oznacza, że w podstawie mamy ośmiokąt.

Krok 2. Obliczenie ilości wierzchołków ostrosłupa.
Zgodnie z tym co sobie na początku napisaliśmy, skoro w podstawie ostrosłupa jest ośmiokąt, to będzie miał on \(8+1=9\) wierzchołków.

C

Krok 1. Obliczenie wymiarów sześcianu.
Z treści zadania wiemy, że objętość sześcianu jest równa \(27cm^3\). Korzystając zatem ze wzoru na objętość tej bryły możemy obliczyć długość krawędzi sześcianu:
$$V=a^3 \\
27cm^3=a^3 \\
a=3cm$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Usuwając odpowiedni fragment sześcianu otrzymamy mniej więcej taką oto sytuację:


Numerami od \(1\) do \(4\) zaznaczyłem ściany, które powiększają nam pole powierzchni względem początkowej sytuacji.

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni bryły.
Z rysunku wynika, że pole powierzchni tej bryły składać się będzie z sześciu ścian o wymiarach \(3cm\times3cm\) oraz czterech wewnętrznych kwadracików, z których każdy ma wymiary \(1cm\times1cm\).
W związku z tym:
$$P_{c}=6\cdot3cm\cdot3cm+4\cdot1cm\cdot1cm \\
P_{c}=6\cdot9cm^2+4\cdot1cm^2 \\
P_{c}=54cm^2+4cm^2 \\
P_{c}=58cm^2$$

Udowodniono korzystając z własności stycznych do okręgu oraz własności dwusiecznych trójkąta opisanego na okręgu.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Na nasz rysunek pomocniczy możemy nanieść trzy kluczowe informacje:
1. Wiedząc, że styczne tworzą z promieniami okręgów kąty proste (wynika to z własności stycznych do okręgu) to możemy nasz rysunek uzupełnić o zaznaczone kąty proste, czyli:
$$|\sphericalangle AMS|=90° \\
|\sphericalangle SPB|=90°$$

2. Wiemy, że trójkąt \(ABC\) jest równoramienny, a skoro tak, to kąty przy jego podstawie mają równą miarę, czyli:
$$|\sphericalangle CAB|=|\sphericalangle ABC|$$

3. Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(ABC\) jest punkt przecięcia się dwusiecznych kątów tego trójkąta. To oznacza, że:
$$|\sphericalangle MAS|=|\sphericalangle SAP|=|\sphericalangle PBS|=|\sphericalangle SBN|$$

Zaznaczając te informacje na naszym rysunku otrzymamy następującą sytuację:


Krok 2. Udowodnienie, że trójkąty \(ASM\) i \(PBS\) są przystające.
Z naszej analizy oraz z samego rysunku wynika, że trójkąty \(AMS\) oraz \(PBS\) mają dwie jednakowe miary kątów - kąt \(α\) oraz kąt \(90°\). To z kolei oznacza, że wszystkie kąty w tym trójkącie są jednakowe, moglibyśmy nawet dopisać, że:
$$|\sphericalangle ASM|=|\sphericalangle PSB|=β$$

Wiemy już, że te trójkąty są na pewno podobne, ale to jeszcze nie oznacza że są przystające. Te trójkąty będą przystające wtedy, kiedy udowodnimy teraz, że przynajmniej jedna para boków ma równą długość. Pomogą nam w tym odcinki \(MS\) oraz \(SP\), które na pewno są jednakowej długości, bo są to promienie okręgu. To oznacza, że trójkąty \(ASM\) i \(PBS\) są przystające zgodnie z zasadą kąt-bok-kąt.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że na rysunku pojawiają się kąty prostokątne i zapiszesz przynajmniej jedną własność wynikającą z równoramienności trójkąta lub wynikającą z dwusiecznych kąta (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy uzasadnisz przystawanie dwóch innych trójkątów.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

W klasie IIIa jest \(24\) uczniów, a w klasie IIIb jest \(27\) uczniów.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń i zbudowanie układu równań.
Wprowadźmy sobie następujące oznaczenia:
\(x\) - liczba uczniów w klasie IIIa
\(y\) - liczba uczniów w klasie IIIb

Z treści zadania wynika, że suma uczniów klasy IIIa oraz \(\frac{1}{3}\) uczniów klasy IIIb daje łącznie \(33\) osoby. Korzystając z naszych oznaczeń możemy zapisać, że w takim razie:
$$x+\frac{1}{3}y=33$$

Wiemy też, że suma wszystkich uczniów klasy IIIb wraz z \(\frac{1}{4}\) uczniów klasy IIIa daje łącznie także \(33\) osoby. Możemy więc zapisać, że:
$$y+\frac{1}{4}x=33$$

Z tych dwóch równań możemy zbudować układ równań:
\begin{cases}
x+\frac{1}{3}y=33 \\
y+\frac{1}{4}x=33
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Powstały układ równań można rozwiązać na wiele sposobów. Najprościej będzie chyba pomnożyć pierwsze równanie przez \(3\) (tak aby pozbyć się ułamka przy igreku). Wtedy też wyznaczając igreka z drugiego równania będziemy mogli skorzystać z tak zwanej metody podstawiania. W związku z tym:
\begin{cases}
x+\frac{1}{3}y=33 \quad\bigg/\cdot3 \\
y+\frac{1}{4}x=33
\end{cases}

\begin{cases}
3x+y=99 \quad\bigg/\cdot3 \\
y=33-\frac{1}{4}x
\end{cases}

Podstawiając igreka z drugiego równania do pierwszego otrzymujemy:
$$3x+33-\frac{1}{4}x=99 \\
2\frac{3}{4}x=66 \\
\frac{11}{4}x=66 \quad\bigg/\cdot4 \\
11x=264 \\
x=24$$

Znając wartość iksa możemy podstawić tę liczbę do dowolnego z początkowych równań, wyznaczając tym samym wartość igreka, zatem:
$$x+\frac{1}{3}y=33 \\
24+\frac{1}{3}y=33 \\
\frac{1}{3}y=9 \\
y=27$$

Zgodnie z naszymi oznaczeniami wyszło nam, że w klasie IIIa jest \(24\) uczniów, natomiast w klasie IIIb jest \(27\) uczniów.

Odpowiedź: W klasie IIIa jest \(24\) uczniów, a w klasie IIIb jest \(27\) uczniów.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z informacji z treści zadania ułożysz układ równań z dwiema niewiadomymi lub równanie z jedną niewiadomą (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy poprawnie wyznaczysz liczbę uczniów w jednej z klas.
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(144cm^3\)

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy graniastosłupa.
Z treści zadania wiemy, że jest to graniastosłup prawidłowy trójkątny, czyli w podstawie tej bryły znajduje się trójkąt równoboczny. To bardzo ważna informacja, bowiem dzięki niej wiemy, że trójkąt z naszej siatki jest na pewno równoboczny, a to oznacza że możemy obliczyć długość jego boku. W tym celu skorzystamy ze wzoru \(P=\frac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}\). Mamy podane, że pole tego trójkąta jest równe \(P=16\sqrt{3}cm^2\), zatem podstawiając tę informację do naszego wzoru otrzymamy równanie:
$$\frac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}cm^2 \quad\bigg/\cdot4 \\
a^2\cdot\sqrt{3}=64\sqrt{3}cm^2 \quad\bigg/:\sqrt{3} \\
a^2=64cm^2 \\
a=8cm$$

To oznacza, że trójkąt z naszej siatki ma wszystkie boki równe \(8cm\).

Krok 2. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
W ścianie bocznej mamy prostokąt. Jedna z długości tego prostokąta pokrywa się z długością krawędzi trójkąta, czyli wiemy że ma ona długość \(a=8cm\). Musimy obliczyć teraz długość drugiego boku tego prostokąta, który będzie tak naprawdę wysokością całego graniastosłupa. Tę długość obliczymy korzystając z informacji o polu powierzchni. W ścianie bocznej jest prostokąt o polu \(24\sqrt{3}cm^2\), zatem:
$$a\cdot b=24\sqrt{3}cm^2 \\
8cm\cdot b=24\sqrt{3}cm^2 \\
b=3\sqrt{3}cm$$

Krok 3. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Do obliczenia objętości graniastosłupa potrzebujemy znać pole podstawy oraz wysokość bryły. Pole podstawy już znamy, bo jest to po prostu pole naszego trójkąta, czyli \(16\sqrt{3}cm^2\), a wysokość to obliczone przed chwilą \(3\sqrt{3}cm\). Zatem:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=16\sqrt{3}cm^2 \cdot 3\sqrt{3}cm \\
V=48\cdot3cm^3 \\
V=144cm^3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz wysokość graniastosłupa (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.