Czworokąty i wielokąty – zadania (egzamin ósmoklasisty)

D

Krok 1. Obliczenie pola prostokąta.
Prostokąt o bokach \(3\sqrt{3}cm\) i \(5\sqrt{3}cm\) ma pole powierzchni równe:
$$3\sqrt{3}\cdot5\sqrt{3}=15\cdot3=45[cm^2]$$

Krok 2. Obliczenie pola pojedynczego kwadratu.
Skoro nasz prostokąt jest podzielony na \(15\) kwadratów, to każdy z nich ma pole powierzchni równe:
$$45cm^2:15=3cm^2$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Zwróćmy uwagę, że wszystkie małe trójkąty mają identyczne wymiary oraz identyczne pole powierzchni. Kwadrat \(ABCD\) składa się z czterech takich trójkącików, natomiast każdy z kwadratów \(EAOD\) oraz \(BFCO\) składa się z dwóch trójkącików. Razem więc kwadraty \(EAOD\) oraz \(BFCO\) mają identyczną sumę trójkącików (czyli identyczne pole powierzchni) co kwadrat \(ABCD\). Pierwsze zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Warto pamiętać, że przekątne kwadratu mają jednakową długość. Jeżeli więc przykładowo przekątna \(AD\) w kwadracie \(EAOD\) ma długość równą boku kwadratu \(ABCD\), to także przekątna \(EO\) musi mieć taką samą długość. Kwadraty \(EAOD\) i \(BFCO\) mają więc łącznie \(4\) przekątne, każda o długości boku kwadratu \(ABCD\), czyli zdanie jest prawdą. Wszelkie wątpliwości rozwieje poniższy rysunek pomocniczy:

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Obliczenie pola kwadratu \(ABCD\).
Jeżeli założymy, że kwadrat ma bok o długości \(a\), to pole kwadratu będzie równe:
$$P_{ABCD}=a^2$$

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(FEC\).
Skoro bok kwadratu ma długość \(a\), to odcinki \(FC\) oraz \(CE\) mają długość \(\frac{1}{2}a\), bo są to połowy poszczególnych boków kwadratu. Podstawiając te dane do klasycznego wzoru na pole trójkąta otrzymamy:
$$P_{FEC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{2}a \\
P_{FEC}=\frac{1}{8}a^2$$

Krok 3. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Porównując te dwa wyniki otrzymane w pierwszym i drugim kroku widzimy, że nasz trójkąt \(FEC\) faktycznie stanowi \(\frac{1}{8}\) pola kwadratu \(ABCD\), czyli pierwsze zdanie jest prawdą.

Krok 4. Obliczenie pola czworokąta \(DBEF\) i ocena prawdziwości drugiego zdania.
Pole tego czworokąta policzymy nieco sprytniej. Nasz czworokąt \(DBEF\) jest tak naprawdę wynikiem odjęcia od pola dużego trójkąta \(DBC\) pola małego trójkąta \(FEC\). Możemy więc matematycznie zapisać, że:
$$P_{DBEF}=P_{DBC}-P_{FEC}$$

Pole trójkąta \(DBC\) jest równe połowie pola kwadratu, a pole trójkąta \(FEC\) obliczyliśmy w poprzednim kroku, zatem:
$$P_{DBEF}=\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{8}a^2 \\
P_{DBEF}=\frac{4}{8}a^2-\frac{1}{8}a^2 \\
P_{DBEF}=\frac{3}{8}a^2$$

W związku z tym drugie zdanie jest także prawdą, bo faktycznie pole czworokąta \(DBEF\) stanowi \(\frac{3}{8}\) pola kwadratu \(ABCD\).

Pole kwadratu wynosi \(144cm^2\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli założymy sobie, że kwadrat ma bok długości \(a\), to zgodnie z treścią zadania odcinek \(DE\) ma długość \(\frac{1}{3}a\).

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Wiemy że trójkąt \(AED\) jest trójkątem prostokątnym i ma pole równe \(24cm^2\). Podstawa tego trójkąta ma długość \(\frac{1}{3}a\), natomiast wysokość ma długość \(a\). Wykorzystując więc wzór na pole trójkąta możemy ułożyć równanie z którego obliczymy długość boku \(a\) (czyli tym samym długość boku kwadratu).
$$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}a\cdot a=24 \\
\frac{1}{6}a^2=24 \\
a^2=144 \\
a=12[cm]$$

Krok 3. Obliczenie pola kwadratu.
Wiemy już, że nasz kwadrat ma bok długości \(12cm\), zatem jego pole będzie równe:
$$P=12cm\cdot12cm \\
P=144cm^2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie długość boku kwadratu (Krok 2.).
LUB
• Gdy dostrzeżesz, że pole kwadratu jest \(6\) razy większe od pola trójkąta \(AED\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Obwód figury F wynosi \(66cm\).

Krok 1. Obliczenie długości boku kwadratu \(ABCD\).
Skoro pole naszego kwadratu jest równe \(400cm^2\), to korzystając ze wzoru na pole kwadratu możemy zapisać, że:
$$P=a^2 \\
400cm^2=a^2 \\
a=20cm$$

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu \(K_{1}\).
Długość boku kwadratu \(K_{1}\) obliczymy dokładnie w ten sam sposób, co długość boku kwadratu \(ABCD\):
$$P=a^2 \\
49cm^2=a^2 \\
a=7cm$$

Krok 3. Obliczenie długości boku kwadratu \(K_{2}\).
Wiemy już, że duży kwadrat \(ABCD\) ma bok o długości \(20\), czyli że przykładowo odcinek \(|BC|=20cm\). Wiemy też, że kwadrat \(K_{1}\) ma długość boku \(7cm\). Jeżeli więc spojrzymy na bok \(BC\), to będziemy mogli wywnioskować, że kwadrat \(K_{2}\) ma bok o długości \(20-7=13\).


Krok 4. Obliczenie obwodu figury \(F\).
Spójrzmy na poniższy rysunek oraz na długości boków figury \(F\):


Z rysunku wynika, że obwód figury \(F\) będzie równy:
$$20cm+7cm+13cm+6cm+7cm+13cm=66cm$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość boku kwadratu \(ABCD\) (patrz: Krok 1.) oraz \(K_{1}\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długości boków figury \(F\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C

Krok 1. Obliczenie długości boku kwadratu \(EFCD\).
Wiemy, że kwadrat \(EFCD\) ma obwód równy \(32cm\). Kwadrat ma wszystkie boki równej długości, zatem każdy bok tego kwadratu ma długość:
$$32cm:4=8cm$$

Krok 2. Obliczenie obwodu prostokąta \(ABFE\).
Wiemy, że prostokąt \(ABFE\) ma obwód o \(6cm\) mniejszy od kwadratu, zatem:
$$Obw_{ABFE}=32cm-6cm=26cm$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AE\).
Spójrzmy na prostokąt \(ABFE\). Z kroku pierwszego wiemy, że \(EF=8cm\), zatem także \(AB=8cm\). Te dwa boki prostokąta mają więc razem \(8cm+8cm=16cm\). To oznacza, że na pozostałe boki prostokąta \(ABFE\), czyli na boki \(AE\) oraz \(BF\), zostaje nam \(26cm-16cm=10cm\). Te dwa boki prostokąta są oczywiście równej miary, zatem każdy z nich ma długość \(10cm:2=5cm\).

Udowodniono wykorzystując własności trójkątów przystających.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy sobie zwizualizować jak będzie wyglądać nasz trójkąt równoboczny i jak rozkładają się poszczególne miary kątów:


Naszym zadaniem jest udowodnienie, że pole prostokąta \(ABCD\) jest równe polu trójkąta \(ACE\).

Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów przystających i zakończenie dowodzenia.
Spójrzmy najpierw na prostokąt \(ABCD\). Pole naszego prostokąta \(ABCD\) składa się z pól dwóch trójkątów: \(ABC\) oraz \(ACD\). Wiemy też, że te dwa trójkąty są trójkątami przystającymi (czyli takimi które mają jednakowe miary i tym samym jednakowe pole powierzchni), bo przekątna dzieli zawsze prostokąt na dwie równe części.

Teraz spójrzmy na trójkąt \(ACE\), który jest naszym trójkątem równobocznym. Tutaj także mamy dwa trójkąty przystające, tym razem \(ABC\) oraz \(ABE\) i suma tych dwóch trójkątów daje pole dużego trójkąta równobocznego.

Skoro więc trójkąt \(ABC\) jest trójkątem przystającym do \(ACD\) oraz \(ABE\), to znaczy że te dwa trójkąty (\(ACD\) oraz \(ABE\)) są także przystające względem siebie i mają jednakowe pole powierzchni. To sprawia, że możemy zakończyć dowodzenie, bo udowodniliśmy że pole zarówno prostokąta jak i trójkąta równobocznego składa się z dwóch trójkątów o identycznych polach powierzchni.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy przeprowadzisz dowodzenie na podstawionych przez siebie liczbach.
1 pkt
• Gdy dorysujesz trójkąt \(ABE\), wskażesz że trójkąt \(ACE\) jest równoboczny i na tym zakończysz dowodzenie (Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz miary kątów trójkąta \(ACD\) (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Prostokąt \(EFCD\) ma boki o długości \(11cm\) oraz \(2cm\), zatem jego pole będzie równe:
$$P=11cm\cdot2cm \\
P=22cm^2$$

Wiemy, że to pole stanowi \(\frac{2}{7}\) pola prostokąta \(ABCD\), zatem:
$$\frac{2}{7}P=22cm^2 \quad\bigg/\cdot\frac{7}{2} \\
P=77cm^2$$

Ewentualnie możemy skorzystać z prostej proporcji:
Skoro \(\frac{2}{7}\) pola to \(22cm^2\)
To \(\frac{1}{7}\) pola to \(11cm^2\)
Więc całe pole to \(77cm^2\)

To oznacza, że zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Bok \(EF\) ma długość \(11\), więc analogicznie i bok \(AB\) będzie mieć tą samą długość. Ustaliliśmy już, że pole prostokąta \(ABCD\) wynosi \(77cm^2\). Korzystając ze wzoru na pole prostokąta możemy więc zapisać, że drugi bok tej figury ma długość:
$$P=ab \\
77cm^2=11cm\cdot b \\
b=7cm$$

To oznacza, że odcinek \(AD\) ma długość \(7cm\). Skoro więc odcinek \(ED\) ma długość \(2cm\), to odcinek \(AE\) ma długość \(7cm-2cm=5cm\). Zdanie jest więc fałszem.

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Oznaczmy sobie miejsce przecięcia się przekątnych jako punkt \(S\).
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Spójrzmy na trójkąt \(DCS\). Jest to trójkąt równoramienny o podstawie \(DC\). W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równą miarę, zatem kąt \(DCA\) (lub też \(DCS\)) ma miarę:
$$|\sphericalangle DCA|=(180°-140°):2 \\
|\sphericalangle DCA|=40°:2 \\
|\sphericalangle DCA|=20°$$

Zdanie jest więc fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Korzystając z własności kątów przyległych możemy zapisać, że:
$$|\sphericalangle ASD|=180°-140°=40°$$

Trójkąt \(ADS\) jest także trójkątem równoramiennym o podstawie \(AD\), zatem kąty przy podstawie (w tym intresujący nas kąt \(DAC\)) ma miarę:
$$|\sphericalangle DAC|=(180°-40°):2 \\
|\sphericalangle DAC|=140°:2 \\
|\sphericalangle DAC|=70°$$

Zdanie jest więc prawdą.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Obliczenie długości boków prostokąta.
Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej długości, zatem skoro obwód tej figury wynosi \(18cm\), to bok tego trójkąta będzie mieć długość:
$$18cm:3=6cm$$

Tym samym krótszy bok prostokąta ma długość \(6cm\).

Teraz obliczmy długość boku kwadratu. Jeżeli pole tego kwadratu wynosi \(64cm^2\), to korzystając ze wzoru na pole kwadratu wyjdzie nam, że:
$$P=a^2 \\
64cm^2=a^2 \\
a=8cm \quad\lor\quad a=-8cm$$

Długość boku kwadratu nie może być ujemna, więc zostaje nam \(a=8cm\). Tym samym dłuższy bok prostokąta ma długość \(8cm\).

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Nasz prostokąt ma wymiary \(6cm\times8cm\). Jego pole powierzchni będzie więc równe:
$$P=6cm\cdot8cm \\
P=48cm^2$$

Pole kwadratu było równe \(64cm^2\), czyli faktycznie pole prostokąta jest o \(16cm^2\) mniejsze (bo \(64-48=16\)). Zdanie jest więc prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Obwód naszego prostokąta będzie równy:
$$Obw=2\cdot6cm+2\cdot8cm \\
Obw=12cm+16cm \\
Obw=28cm$$

Skoro obwód trójkąta wynosił \(18cm\), to znaczy, że obwód naszego prostokąta jest faktycznie o \(10cm\) dłuższy (bo \(28-18=10\)). Zdanie jest więc prawdą.

Działka ma wymiary \(50m\times75m\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.


Krok 2. Wyznaczenie wartości \(x\).
Patrząc się na działkę możemy zauważyć, że jest ona prostokątem o bokach \(2x\) oraz \(3x\). Wiemy też, że jej pole powierzchni jest równe \(3750m^2\). Możemy zatem zapisać, że:
$$2x\cdot3x=3750m^2 \\
6x^2=3750m^2 \\
x^2=625m^2 \\
x=25m$$

Krok 3. Wyznaczenie wymiarów działki.
Skoro boki działki to \(2x\) oraz \(3x\), to mają one długość:
$$2x=2\cdot25m=50m \\
3x=3\cdot25m=75m$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz (lub zaznaczysz na rysunku), że stosunek długości boków pojedynczej działki po podziale jest równy \(2:1\), czyli że jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz (lub zaznaczysz na rysunku), że stosunek długości boków całej dużej działki jest równy \(3:2\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz jeden z wymiarów małego prostokąta (patrz: Krok 2.) lub dużego prostokąta (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(Obw=42\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Małe prostokąty są przystające, czyli mówiąc wprost - każdy z nich ma te same wymiary. Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że dłuższy bok prostokąta ma miarę trzy razy większą od krótszego boku:


Krok 2. Obliczenie długości krótszego boku prostokąta.
Z rysunku wynika, że suma dłuższego i krótszego boku prostokąta ma łącznie długość \(8,4\). Stosując zatem nasze oznaczenia, możemy zapisać, że:
$$3x+x=8,4 \\
4x=8,4 \\
x=2,1$$

To oznacza, że krótszy bok prostokąta ma długość \(2,1\). Gdyby zaszła taka potrzeba, moglibyśmy przy okazji policzyć, że dłuższy bok prostokąta ma długość \(3\cdot2,1=6,3\).

Krok 3. Obliczenie obwodu dużego prostokąta.
Celem zadania jest obliczenie obwodu dużego prostokąta. Patrząc się na rysunek widzimy, że dolny bok prostokąta ma długość \(3x+x+x+x=6x\), a boczny bok ma długość \(3x+x=4x\) (lub po prostu \(8,4\), bo wynika to z rysunku). To oznacza, że obwód tej figury jest równy:
$$Obw=2\cdot6x+2\cdot4x \\
Obw=12x+8x \\
Obw=20x \\
Obw=20\cdot2,1 \\
Obw=42$$

Prostokąt o mniejszym obwodzie ma wymiary \(6\) i \(2\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro wyjściowy prostokąt ma wymiary \(12\times6\) to możemy wprowadzić następujące oznaczenia:


Krok 2. Obliczenie obwodów mniejszego i większego prostokąta.
Mniejszy prostokąt ma obwód równy:
$$Obw_{M}=2\cdot x+2\cdot6=2x+12$$

Większy prostokąt ma obwód równy:
$$Obw_{D}=2\cdot(12-x)+2\cdot6 \\
Obw_{D}=24-2x+12 \\
Obw_{D}=36-2x$$

Krok 3. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wiemy, że obwód dużego prostokąta jest dwukrotnie większy, zatem powstaje nam równanie:
$$Obw_{D}=2\cdot Obw_{M} \\
36-2x=2\cdot(2x+12) \\
36-2x=4x+24 \\
12=6x \\
x=2$$

Krok 4. Wyznaczenie wymiarów mniejszego prostokąta.
Patrząc się na rysunek pomocniczy widzimy, że nasz mniejszy prostokąt ma wymiary \(6\) i \(x\), czyli \(6\) i \(2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia (Krok 1.).
LUB
• Gdy dostrzeżesz, że po przesunięciu linii podziału suma obwodów otrzymanych figur nie zmieni się.
LUB
• Gdy metodą prób i błędów będziesz obliczać wymiary prostokątów.
2 pkt
• Gdy ułożysz poprawnie równanie (Krok 3.).
LUB
• Gdy obliczysz obwód mniejszego prostokąta (\(16cm\)).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(|KB|=0,8cm\)

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni trapezu \(KBCL\).
Z treści zadania wynika, że prostokąt \(ABCD\) ma wymiary \(7cm\times8cm\). W związku z tym pole tego prostokąta jest równe:
$$P_{ABCD}=7cm\cdot8cm=56cm^2$$

Jeżeli pole trapezu jest czterokrotnie mniejsze od pola tego prostokąta, to znaczy że to pole jest równe:
$$P_{KBCL}=56cm^2:4=14cm^2$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(KB\).
O trapezie \(KBCL\) wiemy, że jedna z jego podstaw ma długość \(a=3,2cm\), wysokość ma miarę \(h=7cm\), a pole tego trapezu jest równe \(P=14cm^2\). W związku z tym jeżeli podstawę \(KB\) oznaczymy sobie symbolem \(b\), to korzystając ze wzoru na pole trapezu możemy zapisać, że:
$$P=\frac{a+b}{2}\cdot h \\
14cm^2=\frac{3,2cm+b}{2}\cdot7cm \quad\bigg/:7cm \\
2cm^2=\frac{3,2cm+b}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
4cm^2=3,2cm+b \\
b=0,8cm$$

To oznacza, że odcinek \(KB\) ma miarę \(0,8cm\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie w którym jedyną niewiadomą jest długość boku \(KB\) (patrz: Krok 2.), ale samo równanie rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy obliczysz, że trapez \(KBCL\) ma mieć powierzchnię równą \(14cm^2\) oraz podstawisz dane do wzoru na pole trapezu otrzymując wyrażenie algebraiczne typu \(\frac{3,2cm+b}{2}\cdot7cm\), ale nie wpadniesz na pomysł, że trzeba z tych dwóch danych ułożyć równanie typu \(\frac{3,2cm+b}{2}\cdot7cm=14cm^2\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C

Krok 1. Podzielenie figury na mniejsze części.
Aby rozwiązać to zadanie musimy podzielić ten wielokąt na dwie różne figury, których pola będziemy w stanie obliczyć. Jedną z figur będzie trójkąt o podstawie długości \(8cm\) i wysokości \(2cm\). Drugą figurą będzie trapez o podstawach \(6cm\) i \(8cm\) oraz wysokości \(3cm\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.
$$P_{1}=\frac{1}{2}ah \\
P_{1}=\frac{1}{2}\cdot8\cdot2 \\
P_{1}=8[cm^2]$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trapezu.
$$P_{2}=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P_{2}=\frac{1}{2}\cdot(6+8)\cdot3 \\
P_{2}=\frac{1}{2}\cdot14\cdot3 \\
P_{2}=7\cdot3 \\
P_{2}=21$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni figury.
Cała figura jest sumą pól powierzchni trójkąta i trapezu, zatem jej pole będzie równe:
$$P=P_{1}+P_{2} \\
P=8cm^2+21cm^2 \\
P=29cm^2$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oznaczmy sobie wysokość trapezu jako \(h\). Aby powstały nam dwa trójkąty prostokątne równoramienne, to sytuacja z treści zadania musi wyglądać następująco:


Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z rysunku jasno wynika, że aby powstały nam dwa trójkąty prostokątne równoramienne, to faktycznie wysokość trapezu i krótsza podstawa muszą mieć tą samą długość. Zdanie jest więc prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
To zdanie będzie prawdą. Jak to udowodnić? Spójrzmy na trójkąt \(ACD\). Jest to trójkąt prostokątny o kątach \(45°, 45°, 90°\), zatem długość przekątnej trapezu będzie mieć długość \(h\sqrt{2}\). Ta sama długość musi być też długością ramienia \(BC\) (bo ma powstać nam trójkąt prostokątny równoramienny). W takim razie podstawa \(AB\) jest przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego \(ABC\), który także jest trójkątem o kątach \(45°, 45°, 90°\). Jego długość będzie więc \(\sqrt{2}\) razy większa od długości przyprostokątnych, zatem:
$$|AB|=h\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} \\
|AB|=2h$$

Na rysunku wyglądałoby to następująco:


W ten oto sposób widzimy, że wysokość trapezu stanowi połowę dłuższej podstawy trapezu, stąd zdanie jest prawdą.

Pole trapezu jest równe \(256cm^2\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby rozpocząć rozwiązywanie zadania spróbujmy sobie naszkicować nasz trapez, tak aby dostrzec wszelkie zależności z których potem będziemy mogli skorzystać:


Krok 2. Obliczenie długości podstawy dolnej i górnej.
Skoro obwód naszego trapezu jest równy \(72cm\), a ramiona mają długość po \(20cm\) każde, to na obydwie podstawy zostaje nam:
$$72cm-20cm-20cm=32cm$$

Zapiszmy teraz to co wiemy o naszych podstawach w formie wyrażeń algebraicznych:
\(x\) - długość dłuższej podstawy (dolnej)
\(x-24\) - długość krótszej podstawy (górnej)

Skoro suma tych dwóch podstaw ma mieć długość \(32cm\), to prawdziwym będzie równanie:
$$x+(x-24)=32 \\
2x-24=32 \\
2x=56 \\
x=28[cm]$$

To oznacza, że dłuższa podstawa ma \(28cm\), a krótsza ma \(28cm-24cm=4cm\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AE\).
Z własności trapezów równoramiennych wiemy, że \(|AE|=|FB|\). Możemy też wywnioskować, że suma tych dwóch odcinków jest równa dokładnie \(24cm\), czyli tyle ile wynosi różnica między podstawami trapezu. Skoro tak, to odcinek \(AE\) ma długość równą połowie tej różnicy, czyli \(24cm:2=12cm\).

Krok 4. Obliczenie wysokości trapezu.
Skorzystamy tutaj z trójkąta \(AED\) i Twierdzenia Pitagorasa. Szukamy wysokości \(DE\), a znamy już miary \(AE\) oraz \(AD\), zatem:
$$12^2+h^2=20^2 \\
144+h^2=400 \\
h^2=256 \\
h=16[cm]$$

Krok 5. Obliczenie pola trapezu.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, zatem możemy przystąpić do obliczenia pola trapezu:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(28+4)\cdot16 \\
P=\frac{1}{2}\cdot32\cdot16 \\
P=16\cdot16 \\
P=256[cm^2]$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krótszej lub dłuższej podstawy (Krok 2.) lub zapiszesz, że suma długości podstaw wynosi \(32cm\).
ALBO
• Gdy obliczysz długość odcinka \(AE\) (Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trapezu (Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wszystkie elementy zadania, ale otrzymany wynik będzie zły ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(|BE|=4\)

Krok 1. Obliczenie pola trapezu.
Korzystając ze wzoru na pole trapezu możemy zapisać, że:
$$P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(7+5)\cdot3 \\
P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot12\cdot3 \\
P_{ABCD}=6\cdot3 \\
P_{ABCD}=18$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(BE\).
Pole trójkąta \(BEC\) jest trzy razy mniejsze, czyli \(P_{BEC}=18:3=6\). Skoro tak, to:
$$P_{BEC}=\frac{1}{2}ah \\
6=\frac{1}{2}\cdot|BE|\cdot3 \\
6=1,5|BE| \\
|BE|=4$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie, pozwalające obliczyć długość odcinka \(BE\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(BEC\), które jest równe \(6\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wykorzystując własności trójkątów przystających.

Krok 1. Rozpisanie pól powierzchni.
Spójrzmy najpierw na pole trapezu \(ABCD\). Jest on sumą pól czworokąta \(ABED\) oraz trójkąta \(ECD\). Możemy więc zapisać, że:
$$P_{ABCD}=P_{ABED}+P_{ECD}$$

Teraz spójrzmy na trójkąt \(AFD\). Tutaj także jedną z części składowych jest czworokąt \(ABED\) oraz trójkąt \(BFE\):
$$P_{AFD}=P_{ABED}+P_{BFE}$$

Skoro tak, to wystarczyłoby udowodnić że trójkąty \(ECD\) oraz \(BFE\) są trójkątami przystającymi, czyli że mają jednakowe wymiary i pole powierzchni.

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego i przeprowadzenie dowodzenia.
Spróbujmy wprowadzić oznaczenia kątów na naszym rysunku:


Kąty \(CED\) oraz \(FEB\) są kątami wierzchołkowymi, więc na pewno mają tą samą miarę.
Kąty \(EBF\) oraz \(ECD\) to kąty naprzemianległe, więc także mają jednakową miarę.
Dodatkowo z treści zadania wiemy, że \(|CE|=|EB|\).

Na podstawie tych informacji możemy stwierdzić, że trójkąty \(ECD\) oraz \(BFE\) są trójkątami przystającymi na podstawie cechy przystawania trójkątów kąt-bok-kąt. Skoro są to trójkąty przystające to miara ich pól powierzchni jest jednakowa, co ostatecznie powoduje że \(P_{ABCD}=P_{AFD}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy uzasadnisz, że trójkąty \(ECD\) oraz \(BFE\) są trójkątami przystającymi (Krok 2.), ale nie wyciągniesz z tego wniosków prowadzących do zakończenia zadania.
ALBO
• Gdy podczas rozwiązywania oprzesz się na tym, że trójkąty \(ECD\) oraz \(BFE\) są trójkątami przystającymi, ale nie udowodnisz tego że są one faktycznie przystające.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=12cm^2\)

Krok 1. Obliczenie długości dolnej i górnej podstawy.
Zacznijmy od obliczenia długości górnej podstawy, czyli odcinka \(CD\). Wiemy, że jest to odcinek \(2\) razy dłuższy od odcinka \(AE\), zatem:
$$|CD|=2\cdot4cm \\
|CD|=8cm$$

Nasz trapez jest równoramienny, zatem jakbyśmy od punktu \(C\) poprowadzili wysokość, która przetnie odcinek \(AB\) w punkcie \(F\), to otrzymamy odcinek \(FB\), który będzie równy odcinkowi \(AE\), czyli także będzie miał on długość \(4cm\).


To z kolei oznacza, że dolna podstawa \(AB\) będzie mieć długość:
$$|AB|=4cm+8cm+4cm \\
|AB|=16cm$$

Krok 2. Obliczenie wysokości trapezu (czyli długości odcinka \(ED\)).
Wiemy już, że dolna podstawa ma długość \(a=16cm\), górna ma długość \(b=8cm\), a pole trapezu jest równe \(P=72cm^2\). Korzystając więc ze wzoru na pole trapezu możemy bez przeszkód obliczyć wysokość naszej figury:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
72cm^2=\frac{1}{2}\cdot(16cm+8cm)\cdot h \\
72cm^2=\frac{1}{2}\cdot24cm\cdot h \\
72cm^2=12cm\cdot h \\
h=6cm$$

Krok 3. Obliczenie pola trójkąta \(AED\).
Wiemy już, że wysokość trapezu wynosi \(6cm\), czyli \(|ED|=6cm\). Dolna przyprostokątna \(|AE|\) ma długość \(4cm\), zatem pole trójkąta \(AED\) będzie równe:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot4cm\cdot6cm \\
P=12cm^2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trapezu (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy w poprawny sposób będziesz obliczać pole trójkąta \(AED\) (patrz: Krok 3.), ale otrzymany wynik będzie błędny np. ze względu na błędy rachunkowe.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Różnica obwodów wynosi \(4cm\).

To zadanie rozwiążemy sobie na dwa sposoby:
I sposób - obliczając obwody trójkąta i trapezu.
Krok 1. Obliczenie długości boku \(BC\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć, że:
$$12^2+16^2=|BC|^2 \\
144+256=|BC|^2 \\
|BC|^2=400 \\
|BC|=20$$

Krok 2. Obliczenie obwodu trójkąta \(ABC\).
Trójkąt \(ABC\) ma obwód równy:
$$Obw_{ABC}=16cm+12cm+20cm=48cm$$

Krok 3. Obliczenie długości przecięcia.
Wiemy, że bok \(AC\) został podzielony przerywaną linią na dwie równe części, zatem powstała nam taka oto sytuacja:


Trójkąt \(DEC\) jest trójkątem podobnym do \(ABC\) (mają jednakowe miary kątów). Skoro tak, to stosunek długości odpowiadających boków musi być jednakowy, zatem możemy ułożyć następującą proporcję:
$$\frac{|AB|}{|DE|}=\frac{|AC|}{|DC|} \\
\frac{12}{|DE|}=\frac{16}{8}$$

Mnożąc na krzyż otrzymujemy:
$$16\cdot |DE|=96 \\
|DE|=6$$

Krok 4. Obliczenie długości ramion trapezu.
Spróbujmy nanieść na nasz trapez te wszystkie długości, które już znamy:
Kluczowe miary tego trapezu wyglądają następująco:


Do obliczenia obwodu trapezu brakuje nam jeszcze znajomości długości odcinków \(PT\) oraz \(SR\), czyli ramion trapezu. Te dwa odcinki są na pewno równej długości, bowiem jest to trapez równoramienny. Z Twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie wyliczyć długość ramienia \(PT\):
$$6^2+8^2=|PT|^2 \\
64+36=|PT|^2 \\
|PT|^2=100 \\
|PT|=10$$

Wyszło nam więc, że ramiona tego trapezu mają długość \(10cm\).

Krok 5. Obliczenie obwodu trapezu \(PRST\).
Znamy już wszystkie miary w trapezie, zatem dodając do siebie poszczególne długości otrzymamy obwód równy:
$$Obw_{PRST}=6cm+12cm+10cm+6cm+10cm=44cm$$

Krok 6. Obliczenie różnicy obwodów.
Skoro obwód trójkąta jest równy \(48cm\), a obwód trapezu to \(44cm\), to różnica obwodów wynosi:
$$48cm-44cm=4cm$$

II sposób - bez liczenia dokładnych wartości obwodów trójkąta i trapezu.
Moglibyśmy rozwiązanie tego zadania nieco uprościć, bowiem tak prawdę mówiąc to nie ma konieczności obliczania długości ramion trapezu, a tym samym nie ma konieczności obliczania dokładnych obwodów obydwu figur. Z rysunku wynika, że miara odcinka \(CB\) jest równa sumie długości ramion \(PT\) oraz \(SR\). Naszym zadaniem jest podanie jedynie różnicy między obwodem trójkąta i trapezu, więc skoro te odcinki są sobie równe to możemy je pominąć. W związku z tym wystarczyłoby dojść do trzeciego kroku z pierwszego sposobu rozwiązania i porównać sumę odcinków \(|AB|+|AC|\) z sumą \(|PR|+|TS|\). Skoro tak, to:
$$|AB|+|AC|=12cm+16cm=28cm \\
|PR|+|TS|=6cm+12cm+6cm=24cm$$

To oznacza, że różnica obwodów wynosi:
$$28cm-24cm=4cm$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie ułożysz równanie z którego można obliczyć długość boku \(BC\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz obwód trapezu (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawny sposób obliczenia obwodu trójkąta \(ABC\) i obwodu trapezu \(PRST\), ale popełnisz błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na obydwa rysunki odpowiednie miary, które występują w treści zadania:


Teraz zgodnie z treścią zadania musimy obliczyć pola oraz obwody obydwu trapezów, mając tak naprawdę wszystkie podane miary.

Krok 2. Obliczenie pola i obwodu pierwszego trapezu.
Zacznijmy od pola powierzchni. Nasz trapez jest nieco przekręcony, ale jego podstawy mają długość \(16cm\) oraz \(8cm\), natomiast wysokość jest równa \(6cm\), zatem:
$$P=\frac{a+b}{2}\cdot h \\
P=\frac{16+8}{2}\cdot6 \\
P=\frac{24}{2}\cdot6 \\
P=12\cdot6 \\
P=72[cm^2]$$

Obwód pierwszego trapezu jest natomiast równy:
$$Obw=6+8+10+16=40[cm]$$

Krok 3. Obliczenie pola i obwodu drugiego trapezu.
Teraz obliczmy te same dane dla drugiego trapezu. Tym razem nasz trapez ma podstawy równe \(12cm\) oraz \(6cm\), natomiast wysokość jest równa \(8cm\), zatem pole powierzchni będzie równe:
$$P=\frac{a+b}{2}\cdot h \\
P=\frac{12+6}{2}\cdot8 \\
P=\frac{18}{2}\cdot8 \\
P=9\cdot8 \\
P=72[cm^2]$$

Obwód tego drugiego trapezu będzie natomiast równy:
$$Obw=12+10+6+8=36cm$$

Krok 4. Ocena prawdziwości obydwu zdań.
Zgodnie z naszymi obliczeniami pola powierzchni obydwu trapezów są sobie równe, zatem pierwsze zdanie jest prawdą. Obwody trapezów są natomiast różne, co oznacza że drugie zdanie jest fałszem.

C

Krok 1. Ustalenie miary kątów wewnętrznych sześciokąta.
Aby rozwiązać to zadanie musimy wiedzieć, że każdy kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma miarę \(120°\). Skąd to wiemy? Najprościej będzie to zapamiętać w ten sposób, że począwszy od trójkąta mamy następującą zależność jeśli chodzi o sumę kątów wewnętrznych:
Trójkąt - \(180°\)
Czworokąt - \(360°\)
Pięciokąt - \(540°\)
Sześciokąt - \(720°\)
Krótko mówiąc, z każdym kolejnym dodatkowym kątem figura ma sumę kątów wewnętrznych o \(180°\) większą.

My wiemy, że nasz sześciokąt jest foremny, a to oznacza że miary jego kątów są identyczne. Zatem miara pojedynczego kąta będzie równa po prostu:
$$720°:6=120°$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Mając informacje z kroku pierwszego oraz z treści zadania zróbmy sobie mały rysunek pomocniczy, na którym przy okazji zaznaczymy poszukiwaną wysokość trapezu.


Kąt \(CDE\) ma na pewno miarę równą \(120°:2=60°\), bo prosta \(AD\) podzieliła nam jeden z kątów wewnętrznych na dwie równe części. Wysokość trójkąta pada zawsze pod kątem \(90°\), a to z kolei oznacza że nasz trójkąt \(CDE\) jest klasycznym trójkątem o mierze kątów \(30°, 60°, 90°\). Dzięki temu możemy sobie oznaczyć poszczególne długości przyprostokątnych jako \(a\), \(a\sqrt{3}\) oraz przeciwprostokątną jako \(2a\).

Krok 3. Wykorzystanie własności trójkąta i wyznaczenie wysokości trapezu.
Znamy długość boku \(CD\) i jest ona równa \(2cm\). Skoro tak, to zgodnie z własnościami trójkątów \(30°, 60°, 90°\) odcinek \(ED\) będzie dwukrotnie krótszy, czyli będzie miał długość \(a=1cm\), a interesujący nas odcinek \(EC\) będący wysokością trójkąta będzie mieć miarę \(a\sqrt{3}\), czyli \(1\cdot\sqrt{3}cm=\sqrt{3}cm\).

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Jeżeli kąty ostre rombu mają miarę \(60°\), to kąty rozwarte w tym rombie będą mieć \(120°\), bo kąty przy jednym boku rombu mają łącznie \(180°\).
Krótsza przekątna rombu będzie dwusieczną naszego kąta rozwartego (patrz poniższy rysunek), zatem faktycznie powstaną nam trójkąty o kątach \(60°, 60°, 60°\), czyli powstaną nam trójkąty równoboczne. Zdanie jest więc prawdą.


Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Pole rombu będzie równe polu powierzchni dwóch trójkątów równobocznych o boku \(a=4\). Pole pojedynczego takiego trójkąta możemy obliczyć ze wzoru:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Skoro pole rombu składa się z dwóch takich trójkątów, to otrzymamy:
$$P_{r}=2\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{r}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2} \\
P_{r}=\frac{16\sqrt{3}}{2} \\
P_{r}=8\sqrt{3}$$

Zdanie jest więc prawdą.

A

Krok 1. Obliczenie długości pokonanego dystansu.
\(12\) minut to \(\frac{1}{5}\) godziny. Skoro piechur porusza się z prędkością \(4\frac{km}{h}\) i ma iść \(12\) minut, to w tym czasie pokona on dystans:
$$\frac{1}{5}h\cdot4\frac{km}{h}=\frac{4}{5}km$$

Krok 2. Obliczenie ilości wykonanych kroków.
Piechur pokona trasę \(\frac{4}{5}km\) czyli \(800m\). Skoro jego jeden krok ma długość \(0,8m\), to tych kroków wykona:
$$800m:0,8m=1000$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Wiemy, że podstawy wszystkich figur są jednakowe. To, co różni równoległobok \(P\) od równoległoboku \(R\) to jedynie wysokość. Z treści zadania możemy wywnioskować, że wysokość równoległoboku \(R\) jest dwa razy większa od \(P\). To oznacza, że pole równoległoboku \(R\) musi być dwa razy większe od pola równoległoboku \(P\). Jeżeli więc pole równoległoboku \(P\) jest równe \(4\), to pole równoległoboku \(R\) jest równe \(8\). Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wiemy, że pole równoległoboku obliczamy ze wzoru \(P=ah\), natomiast pole trójkąta ze wzoru \(P=\frac{1}{2}ah\).

Z treści zadania wynika, że podstawy figury \(P\) oraz \(S\) są jednakowe, za to wysokość trójkąta jest dwa razy wyższa (czyli możemy przyjąć, że wysokość trójkąta to \(2h\)). Skoro tak, to pole trójkąta \(S\) będziemy mogli zapisać jako \(P=\frac{1}{2}a\cdot2h=ah\).

Widzimy więc, że otrzymany wynik jest dokładnie taki sam jak wzór na pole równoległoboku, a to prowadzi nas do wniosku, że figury \(P\) oraz \(S\) mają jednakowe pola powierzchni. Pole trójkąta \(S\) będzie więc równe \(4\), zatem zdanie jest prawdą.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Do obliczenia pola trójkąta potrzebna jest długość podstawy oraz wysokość (\(P=\frac{1}{2}ah\)). Nie znamy dokładnych miar tych dwóch trójkątów, ale wystarczy zauważyć że obydwa trójkąty mają tą samą podstawę oraz ich wysokość ma tą samą długość. To oznacza, że niezależnie od wartości liczbowych pola jednego i drugiego trójkąta będą dokładnie takie same.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą. Zarówno równoległobok jak i trójkąt będą mieć dokładnie tą samą wysokość (opuszczoną z wierzchołka \(D\)). To co je różni to długość podstawy. Jeżeli \(|AK|=\frac{1}{2}|AB|\), to pole trójkąta będzie równe:
$$P_{t}=\frac{1}{2}ah \\
P_{t}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}|AB|\cdot H \\
P_{t}=\frac{1}{4}|AB|\cdot H$$

Pole równoległoboku będzie natomiast równe:
$$P_{r}=|AB|\cdot H$$

Widzimy wyraźnie, że to co różni te dwa wyrażenia to wartość ułamkowa stojąca przy polu trójkąta. To właśnie ona sprawia, że pole równoległoboku niezależnie od dokładnych wymiarów będzie cztery razy większe od pola trójkąta.

A

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(ABC\).
W równoległoboku kąty przy jednym ramieniu mają łączną miarę \(180°\). Skoro tak, to kąt \(ABC\) ma miarę:
$$180°-106°=74°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(AED\).
Skoro kąt \(ABC\) ma miarę \(74°\), to kąt \(ADE\) ma także miarę \(74°\). Wiemy, że trójkąt \(ADE\) jest równoramienny, zatem kąty przy jego podstawie muszą mieć tą samą miarę. Skoro tak, to kąt \(DAE\) jest również kątem o mierze \(74°\). Powstała nam więc następująca sytuacja:


Teraz spójrzmy na trójkąt \(ADE\). Znamy miary dwóch kątów w tym trójkącie, zatem bez przeszkód obliczymy miarę tego trzeciego kąta:
$$|\sphericalangle AED|=180°-74°-74°=32°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(AEC\).
Kąty \(AED\) oraz \(AEC\) to kąty przyległe, a więc ich łączna miara wynosi \(180°\). Znając miarę kąta \(AED\) możemy zapisać, że:
$$|\sphericalangle AEC|=180°-32°=148°$$

\(P=120cm^2\)

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AE\).
Z treści zadania wynika, że wszystkie trójkąty są przystające (czyli mają jednakowe miary). To oznacza, że trójkąt \(AED\) ma tą samą długość podstawy co trójkąt \(EBF\). Skoro bok \(AB\) ma długość \(24cm\), to zarówno bok \(AE\) jak i \(EB\) będą mieć połowę tej miary, czyli tym samym \(|AE|=12cm\).

Krok 2. Obliczenie wysokości równoległoboku.
Spójrzmy na prostokątny trójkąt \(AED\). Wiemy już, że \(|AE|=12cm\). Z treści zadania odczytujemy, że \(|AD|=13\). Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość boku \(ED\), który jest jednocześnie wysokością naszego równoległoboku:
$$12^2+h^2=13^2 \\
144+h^2=169 \\
h^2=25 \\
h=5 \quad\lor\quad h=-5$$

Ujemną długość odrzucamy, bo wysokość jest zawsze dodatnia, zatem wiemy już, że \(h=5cm\).

Krok 3. Obliczenie pola równoległoboku \(ABCD\).
Z treści zadania wiemy, że podstawa równoległoboku ma długość \(a=24cm\). Obliczyliśmy też, że \(h=5cm\). Korzystając ze wzoru na pole równoległoboku możemy teraz zapisać, że:
$$P=a\cdot h \\
P=24cm\cdot5cm \\
P=120cm^2$$

Udowodniono obliczając długość każdego boku.

Krok 1. Analiza treści zadania.
Zastanówmy się co tak naprawdę musimy udowodnić i w jaki sposób możemy to zrobić. Naszym zadaniem jest udowodnienie, że gdy obwód tej figury jest równy \(100cm\), to figura jest rombem - czyli krótko mówiąc, jest czworokątem który ma wszystkie boki równej długości. Spróbujmy więc sprawdzić jaka jest wartość niewiadomej \(x\), gdy obwód tej figury jest równy \(100cm\). Poznanie tej wartości \(x\) pozwoli nam w dalszych krokach obliczyć długość każdego z boków.

Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).
Jeżeli zsumujemy długości wszystkich boków i zapiszemy, że obwód jest równy \(100cm\), to otrzymamy następujące równanie:
$$\left(\frac{1}{2}x+15\right)+\left(\frac{3}{2}x-5\right)+(x+5)+(2x-15)=100$$

Oczywiście nie ma potrzeby zapisywania tych wszystkich nawiasów, ale warto to zrobić by się nie pogubić w całym zapisie. Spróbujmy teraz rozwiązać nasze równanie. Zwróć uwagę, że tak naprawdę wartości liczbowe nam się skrócą, bo raz mamy \(+15\), potem \(-15\), raz mamy \(-5\), potem \(5\). Całość będzie więc wyglądać następująco:
$$\frac{1}{2}x+15+\frac{3}{2}x-5+x+5+2x-15=100 \\
5x=100 \\
x=20[cm]$$

Krok 3. Obliczenie długości każdego z boków czworokąta.
Podstawmy teraz do każdego z wyrażeń wartość \(x=20\). Zaczynając od dolnego boku:
I bok: \(\frac{1}{2}\cdot20+15=10+15=25[cm]\)
II bok: \(\frac{3}{2}\cdot20-5=30-5=25[cm]\)
III bok: \(20+5=25[cm]\)
IV bok: \(2\cdot20-15=40-15=25[cm]\)

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Wyszło nam, że gdy obwód tego czworokąta jest równy \(100cm\), to każdy z boków ma długość \(25cm\). To oznacza, że nasza figura jest faktycznie rombem, a to właśnie należało udowodnić.

A tak na marginesie - czy mamy pewność, że ta figura jest przy okazji kwadratem, skoro ma wszystkie boki równej długości? A no niestety takiej pewności nie mamy, bo nie wiemy, czy kąty między poszczególnymi bokami są kątami prostymi. Stąd też właśnie jesteśmy w stanie udowodnić, że ten czworokąt jest rombem, ale nie jesteśmy w stanie udowodnić, że będzie to kwadrat.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie składające się z sumy czterech boków czworokąta (patrz: Krok 2.).
LUB
• Gdy zapiszesz cztery oddzielne równania typu \(\frac{1}{2}x+15=25\) lub \(x+5=25\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.