Czworokąty i wielokąty – zadania (egzamin ósmoklasisty)

Pole trapezu jest równe \(256cm^2\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby rozpocząć rozwiązywanie zadania spróbujmy sobie naszkicować nasz trapez, tak aby dostrzec wszelkie zależności z których potem będziemy mogli skorzystać:


Krok 2. Obliczenie długości podstawy dolnej i górnej.
Skoro obwód naszego trapezu jest równy \(72cm\), a ramiona mają długość po \(20cm\) każde, to na obydwie podstawy zostaje nam:
$$72cm-20cm-20cm=32cm$$

Zapiszmy teraz to co wiemy o naszych podstawach w formie wyrażeń algebraicznych:
\(x\) - długość dłuższej podstawy (dolnej)
\(x-24\) - długość krótszej podstawy (górnej)

Skoro suma tych dwóch podstaw ma mieć długość \(32cm\), to prawdziwym będzie równanie:
$$x+(x-24)=32 \\
2x-24=32 \\
2x=56 \\
x=28[cm]$$

To oznacza, że dłuższa podstawa ma \(28cm\), a krótsza ma \(28cm-24cm=4cm\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AE\).
Z własności trapezów równoramiennych wiemy, że \(|AE|=|FB|\). Możemy też wywnioskować, że suma tych dwóch odcinków jest równa dokładnie \(24cm\), czyli tyle ile wynosi różnica między podstawami trapezu. Skoro tak, to odcinek \(AE\) ma długość równą połowie tej różnicy, czyli \(24cm:2=12cm\).

Krok 4. Obliczenie wysokości trapezu.
Skorzystamy tutaj z trójkąta \(AED\) i Twierdzenia Pitagorasa. Szukamy wysokości \(DE\), a znamy już miary \(AE\) oraz \(AD\), zatem:
$$12^2+h^2=20^2 \\
144+h^2=400 \\
h^2=256 \\
h=16[cm]$$

Krok 5. Obliczenie pola trapezu.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, zatem możemy przystąpić do obliczenia pola trapezu:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(28+4)\cdot16 \\
P=\frac{1}{2}\cdot32\cdot16 \\
P=16\cdot16 \\
P=256[cm^2]$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krótszej lub dłuższej podstawy (Krok 2.) lub zapiszesz, że suma długości podstaw wynosi \(32cm\).
ALBO
• Gdy obliczysz długość odcinka \(AE\) (Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trapezu (Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wszystkie elementy zadania, ale otrzymany wynik będzie zły ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Do obliczenia pola trójkąta potrzebna jest długość podstawy oraz wysokość (\(P=\frac{1}{2}ah\)). Nie znamy dokładnych miar tych dwóch trójkątów, ale wystarczy zauważyć że obydwa trójkąty mają tą samą podstawę oraz ich wysokość ma tą samą długość. To oznacza, że niezależnie od wartości liczbowych pola jednego i drugiego trójkąta będą dokładnie takie same.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą. Zarówno równoległobok jak i trójkąt będą mieć dokładnie tą samą wysokość (opuszczoną z wierzchołka \(D\)). To co je różni to długość podstawy. Jeżeli \(|AK|=\frac{1}{2}|AB|\), to pole trójkąta będzie równe:
$$P_{t}=\frac{1}{2}ah \\
P_{t}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}|AB|\cdot H \\
P_{t}=\frac{1}{4}|AB|\cdot H$$

Pole równoległoboku będzie natomiast równe:
$$P_{r}=|AB|\cdot H$$

Widzimy wyraźnie, że to co różni te dwa wyrażenia to wartość ułamkowa stojąca przy polu trójkąta. To właśnie ona sprawia, że pole równoległoboku niezależnie od dokładnych wymiarów będzie cztery razy większe od pola trójkąta.

Udowodniono wykorzystując własności trójkątów przystających.

Krok 1. Rozpisanie pól powierzchni.
Spójrzmy najpierw na pole trapezu \(ABCD\). Jest on sumą pól czworokąta \(ABED\) oraz trójkąta \(ECD\). Możemy więc zapisać, że:
$$P_{ABCD}=P_{ABED}+P_{ECD}$$

Teraz spójrzmy na trójkąt \(AFD\). Tutaj także jedną z części składowych jest czworokąt \(ABED\) oraz trójkąt \(BFE\):
$$P_{AFD}=P_{ABED}+P_{BFE}$$

Skoro tak, to wystarczyłoby udowodnić że trójkąty \(ECD\) oraz \(BFE\) są trójkątami przystającymi, czyli że mają jednakowe wymiary i pole powierzchni.

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego i przeprowadzenie dowodzenia.
Spróbujmy wprowadzić oznaczenia kątów na naszym rysunku:


Kąty \(CED\) oraz \(FEB\) są kątami wierzchołkowymi, więc na pewno mają tą samą miarę.
Kąty \(EBF\) oraz \(ECD\) to kąty naprzemianległe, więc także mają jednakową miarę.
Dodatkowo z treści zadania wiemy, że \(|CE|=|EB|\).

Na podstawie tych informacji możemy stwierdzić, że trójkąty \(ECD\) oraz \(BFE\) są trójkątami przystającymi na podstawie cechy przystawania trójkątów kąt-bok-kąt. Skoro są to trójkąty przystające to miara ich pól powierzchni jest jednakowa, co ostatecznie powoduje że \(P_{ABCD}=P_{AFD}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy uzasadnisz, że trójkąty \(ECD\) oraz \(BFE\) są trójkątami przystającymi (Krok 2.), ale nie wyciągniesz z tego wniosków prowadzących do zakończenia zadania.
ALBO
• Gdy podczas rozwiązywania oprzesz się na tym, że trójkąty \(ECD\) oraz \(BFE\) są trójkątami przystającymi, ale nie udowodnisz tego że są one faktycznie przystające.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C

Krok 1. Ustalenie miary kątów wewnętrznych sześciokąta.
Aby rozwiązać to zadanie musimy wiedzieć, że każdy kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma miarę \(120°\). Skąd to wiemy? Najprościej będzie to zapamiętać w ten sposób, że począwszy od trójkąta mamy następującą zależność jeśli chodzi o sumę kątów wewnętrznych:
Trójkąt - \(180°\)
Czworokąt - \(360°\)
Pięciokąt - \(540°\)
Sześciokąt - \(720°\)
Krótko mówiąc, z każdym kolejnym dodatkowym kątem figura ma sumę kątów wewnętrznych o \(180°\) większą.

My wiemy, że nasz sześciokąt jest foremny, a to oznacza że miary jego kątów są identyczne. Zatem miara pojedynczego kąta będzie równa po prostu:
$$720°:6=120°$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Mając informacje z kroku pierwszego oraz z treści zadania zróbmy sobie mały rysunek pomocniczy, na którym przy okazji zaznaczymy poszukiwaną wysokość trapezu.


Kąt \(CDE\) ma na pewno miarę równą \(120°:2=60°\), bo prosta \(AD\) podzieliła nam jeden z kątów wewnętrznych na dwie równe części. Wysokość trójkąta pada zawsze pod kątem \(90°\), a to z kolei oznacza że nasz trójkąt \(CDE\) jest klasycznym trójkątem o mierze kątów \(30°, 60°, 90°\). Dzięki temu możemy sobie oznaczyć poszczególne długości przyprostokątnych jako \(a\), \(a\sqrt{3}\) oraz przeciwprostokątną jako \(2a\).

Krok 3. Wykorzystanie własności trójkąta i wyznaczenie wysokości trapezu.
Znamy długość boku \(CD\) i jest ona równa \(2cm\). Skoro tak, to zgodnie z własnościami trójkątów \(30°, 60°, 90°\) odcinek \(ED\) będzie dwukrotnie krótszy, czyli będzie miał długość \(a=1cm\), a interesujący nas odcinek \(EC\) będący wysokością trójkąta będzie mieć miarę \(a\sqrt{3}\), czyli \(1\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}\).

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na obydwa rysunki odpowiednie miary, które występują w treści zadania:


Teraz zgodnie z treścią zadania musimy obliczyć pola oraz obwody obydwu trapezów, mając tak naprawdę wszystkie podane miary.

Krok 2. Obliczenie pola i obwodu pierwszego trapezu.
Zacznijmy od pola powierzchni. Nasz trapez jest nieco przekręcony, ale jego podstawy mają długość \(16cm\) oraz \(8cm\), natomiast wysokość jest równa \(6cm\), zatem:
$$P=\frac{a+b}{2}\cdot h \\
P=\frac{16+8}{2}\cdot6 \\
P=\frac{24}{2}\cdot6 \\
P=12\cdot6 \\
P=72[cm^2]$$

Obwód pierwszego trapezu jest natomiast równy:
$$Obw=6+8+10+16=40[cm]$$

Krok 3. Obliczenie pola i obwodu drugiego trapezu.
Teraz obliczmy te same dane dla drugiego trapezu. Tym razem nasz trapez ma podstawy równe \(12cm\) oraz \(6cm\), natomiast wysokość jest równa \(8cm\), zatem pole powierzchni będzie równe:
$$P=\frac{a+b}{2}\cdot h \\
P=\frac{12+6}{2}\cdot8 \\
P=\frac{18}{2}\cdot8 \\
P=9\cdot8 \\
P=72[cm^2]$$

Obwód tego drugiego trapezu będzie natomiast równy:
$$Obw=12+10+6+8=36cm$$

Krok 4. Ocena prawdziwości obydwu zdań.
Zgodnie z naszymi obliczeniami pola powierzchni obydwu trapezów są sobie równe, zatem pierwsze zdanie jest prawdą. Obwody trapezów są natomiast różne, co oznacza że drugie zdanie jest fałszem.

Udowodniono wykorzystując własności trójkątów przystających.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy sobie zwizualizować jak będzie wyglądać nasz trójkąt równoboczny i jak rozkładają się poszczególne miary kątów:


Naszym zadaniem jest udowodnienie, że pole prostokąta \(ABCD\) jest równe polu trójkąta \(ACE\).

Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów przystających i zakończenie dowodzenia.
Spójrzmy najpierw na prostokąt \(ABCD\). Pole naszego prostokąta \(ABCD\) składa się z pól dwóch trójkątów: \(ABC\) oraz \(ACD\). Wiemy też, że te dwa trójkąty są trójkątami przystającymi (czyli takimi które mają jednakowe miary i tym samym jednakowe pole powierzchni), bo przekątna dzieli zawsze prostokąt na dwie równe części.

Teraz spójrzmy na trójkąt \(ACE\), który jest naszym trójkątem równobocznym. Tutaj także mamy dwa trójkąty przystające, tym razem \(ABC\) oraz \(ABE\) i suma tych dwóch trójkątów daje pole dużego trójkąta równobocznego.

Skoro więc trójkąt \(ABC\) jest trójkątem przystającym do \(ACD\) oraz \(ABE\), to znaczy że te dwa trójkąty (\(ACD\) oraz \(ABE\)) są także przystające względem siebie i mają jednakowe pole powierzchni. To sprawia, że możemy zakończyć dowodzenie, bo udowodniliśmy że pole zarówno prostokąta jak i trójkąta równobocznego składa się z dwóch trójkątów o identycznych polach powierzchni.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy przeprowadzisz dowodzenie na podstawionych przez siebie liczbach.
1 pkt
• Gdy dorysujesz trójkąt \(ABE\), wskażesz że trójkąt \(ACE\) jest równoboczny i na tym zakończysz dowodzenie (Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz miary kątów trójkąta \(ACD\) (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Obliczenie pola kwadratu \(ABCD\).
Jeżeli założymy, że kwadrat ma bok o długości \(a\), to pole kwadratu będzie równe:
$$P_{ABCD}=a^2$$

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(FEC\).
Skoro bok kwadratu ma długość \(a\), to odcinki \(FC\) oraz \(CE\) mają długość \(\frac{1}{2}a\), bo są to połowy poszczególnych boków kwadratu. Podstawiając te dane do klasycznego wzoru na pole trójkąta otrzymamy:
$$P_{FEC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{2}a \\
P_{FEC}=\frac{1}{8}a^2$$

Krok 3. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Porównując te dwa wyniki otrzymane w pierwszym i drugim kroku widzimy, że nasz trójkąt \(FEC\) faktycznie stanowi \(\frac{1}{8}\) pola kwadratu \(ABCD\), czyli pierwsze zdanie jest prawdą.

Krok 4. Obliczenie pola czworokąta \(DBEF\) i ocena prawdziwości drugiego zdania.
Pole tego czworokąta policzymy nieco sprytniej. Nasz czworokąt \(DBEF\) jest tak naprawdę wynikiem odjęcia od pola dużego trójkąta \(DBC\) pola małego trójkąta \(FEC\). Możemy więc matematycznie zapisać, że:
$$P_{DBEF}=P_{DBC}-P_{FEC}$$

Pole trójkąta \(DBC\) jest równe połowie pola kwadratu, a pole trójkąta \(FEC\) obliczyliśmy w poprzednim kroku, zatem:
$$P_{DBEF}=\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{8}a^2 \\
P_{DBEF}=\frac{4}{8}a^2-\frac{1}{8}a^2 \\
P_{DBEF}=\frac{3}{8}a^2$$

W związku z tym drugie zdanie jest także prawdą, bo faktycznie pole czworokąta \(DBEF\) stanowi \(\frac{3}{8}\) pola kwadratu \(ABCD\).

D

Krok 1. Obliczenie pola prostokąta.
Prostokąt o bokach \(3\sqrt{3}cm\) i \(5\sqrt{3}cm\) ma pole powierzchni równe:
$$3\sqrt{3}\cdot5\sqrt{3}=15\cdot3=45[cm^2]$$

Krok 2. Obliczenie pola pojedynczego kwadratu.
Skoro nasz prostokąt jest podzielony na \(15\) kwadratów, to każdy z nich ma pole powierzchni równe:
$$45cm^2:15=3cm^2$$

C

Krok 1. Podzielenie figury na mniejsze części.
Aby rozwiązać to zadanie musimy podzielić ten wielokąt na dwie różne figury, których pola będziemy w stanie obliczyć. Jedną z figur będzie trójkąt o podstawie długości \(8cm\) i wysokości \(2cm\). Drugą figurą będzie trapez o podstawach \(6cm\) i \(8cm\) oraz wysokości \(3cm\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.
$$P_{1}=\frac{1}{2}ah \\
P_{1}=\frac{1}{2}\cdot8\cdot2 \\
P_{1}=8[cm^2]$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trapezu.
$$P_{2}=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P_{2}=\frac{1}{2}\cdot(6+8)\cdot3 \\
P_{2}=\frac{1}{2}\cdot14\cdot3 \\
P_{2}=7\cdot3 \\
P_{2}=21$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni figury.
Cała figura jest sumą pól powierzchni trójkąta i trapezu, zatem jej pole będzie równe:
$$P=P_{1}+P_{2} \\
P=8cm^2+21cm^2 \\
P=29cm^2$$

C

Krok 1. Obliczenie długości boku trójkąta.
Bok trójkąta jest jednocześnie długością przekątnej \(DB\). Przekątna kwadratu o boku \(a=4\) ma długość \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$DB=4\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta równobocznego.
Znając długość boku możemy bez problemu obliczyć pole trójkąta równobocznego, korzystając z następującego wzoru:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{(4\sqrt{2})^2\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{16\cdot2\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{32\sqrt{3}}{4} \\
P=8\sqrt{3}$$