Rozkład wielomianu na czynniki

Rozkład wielomianu na czynniki to czynność odwrotna do mnożenia wielomianów. Sprawdźmy zatem w jaki sposób dokonuje się takiego rozkładu i co tak naprawdę z niego wynika.

Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, to zobrazujmy sobie omawiane tutaj zagadnienie na zwykłych liczbach. Jeśli wykonamy mnożenie \(7\cdot3\), to otrzymamy wynik równy \(21\). Dokonując rozkładu liczby \(21\) na czynniki (czyli dokonując tego co będziemy omawiać w tym temacie), powiedzielibyśmy \(21\) da się rozłożyć na iloczyn \(7\cdot3\).

W przypadku liczb jest to dość proste, ale jak dokonywać takiego rozkładu na wielomianach? Jak np. ustalić, co przez co należy pomnożyć, aby otrzymać wielomian \(12x^3+7x^2\)? Pomoże nam w tym kilka podstawowych metod (czasem zadziała jedna, czasem inna), zatem omówmy je po kolei.

Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias
To zdecydowanie najpopularniejsza metoda, która tak naprawdę przewija się przez cały dział wielomianów czy też równań. Spójrzmy na przykład:

Przykład 1. Rozłóż wielomian \(W(x)=12x^3+7x^2\) na czynniki co najwyżej drugiego stopnia.

Mamy wielomian trzeciego stopnia i zgodnie z treścią zadania chcemy go rozbić na takie czynniki, z których każdy będzie maksymalnie drugiego stopnia (czyli możemy mieć w zapisie maksymalnie wykładnik potęgi równy \(2\)). Aby tego dokonać, wystarczy zauważyć, że \(12x^3\) jest równe \(x^2\cdot12x\), natomiast \(7x^2\) to nic innego jak \(x^2\cdot7\). To oznacza, że powtarzający się czynnik \(x^2\) dalibyśmy radę wyłączyć przed nawias. Zapisalibyśmy więc, że:
$$W(x)=12x^3+7x^2=x^2\cdot12x+x^2\cdot7=x^2\cdot(12x+7)$$

Oczywiście nie musimy tego aż tak mocno rozpisywać, jeśli wykonywanie takich działań nie sprawia nam już problemu. Koniec końców otrzymaliśmy wynik, z którym są dwa czynniki, czyli \(x^2\) (pierwszy czynnik), mnożymy przez \(12x+7\) (drugi czynnik). Maksymalny wykładnik potęgi jest tutaj równy \(2\), więc udało nam się rozpisać ten wielomian na czynniki co najwyżej drugiego stopnia.

Przykład 2. Rozłóż wielomian \(W(x)=12x^3+8x^2\) na czynniki co najwyżej drugiego stopnia.

Zadanie bardzo podobne do poprzedniego i prawdę mówiąc nie byłoby dużym błędem, gdybyśmy rozpisali to w ten sposób jak przed chwilą, czyli:
$$W(x)=12x^3+8x^2=x^2\cdot12x+x^2\cdot8=x^2\cdot(12x+8)$$

Ale tutaj dobrze byłoby zauważyć, że przed nawias możemy wyłączyć coś więcej niż \(x^2\). Moglibyśmy wyłączyć przecież \(4x^2\) i całość rozpisać jako:
$$W(x)=12x^3+8x^2=4x^2\cdot3x+4x^2\cdot2=x^2\cdot(3x+2)$$

Ten rozkład też jest jak najbardziej poprawny i tak prawdę mówiąc jest nawet dokładniejszy, bo zazwyczaj staramy się przed nawias wyłączyć jak największą wartość.

Grupowanie wyrażeń
Część wielomianów da się rozbić na czynniki wykorzystując metodę grupowania wyrażeń (najczęściej w pary). Idea tej metody polega na tym, by umiejętnie wyłączyć czynnik z pogrupowanych części wielomianu, co pozwoli nam później zapisać całość w postaci iloczynu. Dobrze to wyjaśni poniższy przykład.

Przykład 3. Rozłóż wielomian \(W(x)=15x^3+9x^2+10x+6\) na czynniki co najwyżej drugiego stopnia.

Nie damy rady wyłączyć wspólnego czynnika, tak jak to miało miejsce w poprzednim przykładzie. Możemy jednak pogrupować te wyrazy, tak aby z danej pary wyłączyć ten wspólny czynnik. W naszym przypadku pierwszą parą byłoby \(15x^3+9x^2\) i tutaj moglibyśmy wyłączyć \(3x^2\), otrzymując \(3x^2\cdot(5x+3)\). Drugą parą byłoby \(10x+6\) i tutaj moglibyśmy wyłączyć \(2\), otrzymując \(2\cdot(5x+3)\). Kluczem do sukcesu jest to, że w nawiasach z jednej i drugiej pary otrzymaliśmy ten sam wielomian. To pozwoli nam rozpisać całość w następujący sposób:
$$W(x)=15x^3+9x^2+10x+6= \\
=3x^2\cdot(5x+3)+2\cdot(5x+3)= \\
=(3x^2+2)\cdot(5x+3)$$

W ten oto sposób udało nam się rozłożyć „duży” wielomian na iloczyn dwóch „mniejszych”.

Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia
Może się okazać, że dany wielomian jest tak naprawdę wynikiem zastosowania jakiegoś wzoru skróconego mnożenia. Przykładowo:

Przykład 4. Rozłóż wielomian \(W(x)=4x^2-36\) na czynniki co najwyżej pierwszego stopnia.

Zgodnie z treścią zadania musimy tak przekształcić nasz wielomian, aby pozbyć się potęgi. Jak tego dokonać? Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Powinniśmy zauważyć, że \(4x^2=(2x)^2\), natomiast \(36=6^2\). Bazując na wzorze skróconego mnożenia moglibyśmy nawet roboczo przyjąć, że \(a=2x\), natomiast \(b=6\). Skoro tak, to moglibyśmy to rozpisać w następujący sposób:
$$W(x)=4x^2-36=(2x-6)(2x+6)$$

W ten oto sposób rozbiliśmy wielomian na czynniki, pozbywając się przy okazji potęg.

Wyznaczenie miejsc zerowych wielomianu
Istota tej metody jest dokładnie taka sama jak zamiana równań kwadratowych w postaci ogólnej na postać iloczynową. Jeśli wyznaczymy miejsca zerowe wielomianu, będziemy w stanie zapisać całość w postaci iloczynu.

Przykład 5. Rozłóż wielomian \(W(x)=x^2-2x-35\) na czynniki co najwyżej pierwszego stopnia.

Chcąc wyznaczyć miejsca zerowe wielomianu musimy sprawdzić, dla jakiej zmiennej \(x\) wielomian przyjmie wartość równą \(0\). Mówiąc bardzo obrazowo, musimy po prostu rozwiązać równanie kwadratowe \(x^2-2x-35=0\). Jest to równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=-35\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-35)=4-(140)=144 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{144}=12$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)-12}{2\cdot1}=\frac{2-12}{2}=\frac{-10}{2}=-5 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)+12}{2\cdot1}=\frac{2+12}{2}=\frac{14}{2}=7$$

Znając miejsca zerowe moglibyśmy zapisać, że:
$$W(x)=(x-(-5))(x-7)=(x+5)(x-7)$$

Otrzymaliśmy więc postać iloczynową, w której pierwszym czynnikiem jest \(x+5\), a drugim \(x-7\).

Co nam daje rozkład wielomianu na czynniki?
No właśnie, po co tak naprawdę staramy się zamieniać jeden wielomian na jakieś mniejsze części? Aby zrozumieć zastosowanie tej czynności spójrzmy chociażby na ten przykład, w którym zamieniliśmy wielomian \(W(x)=12x^3+8x^2\) na iloczyn \(4x^2\cdot(3x+2)\). Być może ten drugi zapis wygląda nawet nieco gorzej, ale udało nam się tutaj zamienić sumę na iloczyn, a to otwiera nam drogę do dwóch kluczowych zastosowań:

1. Możemy sprawniej wykonywać niektóre przykłady z dzieleniem wielomianów.
Wyobraźmy sobie, że musimy wykonać następujące dzielenie:
$$(12x^3+8x^2):(3x+2)$$

Obliczenie tego nie jest takie łatwe, ale jeżeli wiemy, że \(12x^3+8x^2\) jest równe \(4x^2\cdot(3x+2)\), to wynik tego dzielenia można zapisać niemalże od ręki, ponieważ:
$$12x^3+8x^2=4x^2\cdot(3x+2):(3x+2)=4x^2$$

2. W wielu różnych tematach (także tych związanych z równaniami czy funkcjami), będziemy się zastanawiać kiedy dany wielomian/równanie/funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). I tu z działu równań powinniśmy kojarzyć, że równania zapisane w postaci iloczynowej rozwiązuje się najszybciej. Mówiąc bardzo obrazowo, dużo łatwiej rozwiązuje się równanie \(4x^2\cdot(3x+2)=0\) niż \(12x^3+8x^2=0\). Gdyby więc zaszła konieczność rozwiązania równania \(12x^3+8x^2=0\), to w momencie gdy zapiszemy je w postaci iloczynowej, to wyjdzie nam, że:
$$4x^2=0 \quad\lor\quad 3x+2=0 \\
x=0 \quad\lor\quad 3x=-2 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3}$$

Więcej informacji na temat wielomianów znajdziesz tutaj:

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments