Wielomiany – zadania maturalne

A

Naszym zadaniem jest tak naprawdę tylko dodanie tych wielomianów i ewentualnie uproszczenie otrzymanego wyniku. Uważajmy tylko na znaki.
$$W(x)+P(x)=(-2x^3+5x^2-3)+(2x^3+12x)= \\
=-2x^3+5x^2-3+2x^3+12x=5x^2+12x-3$$

A

Stopień wielomianu to tak naprawdę największa liczba która znajduje się przy potędze iksa w danym wielomianie. Aby poznać poszukiwany stopień musimy najpierw wykonać dodawanie tych wielomianów, zatem:
$$W(x)+V(x)=x^4-1+x^4+1=2x^4$$

Nasz \(x\) jest podnoszony do potęgi czwartej, zatem stopień wielomianu jest równy \(4\).

B

Przy tego typu zadaniach musimy wymnożyć przez siebie poszczególne wyrazy wielomianów. W tym konkretnym przypadku od razu widać, że prawidłowa musi być odpowiedź druga, bo powstały wielomian na pewno będzie wielomianem szóstego stopnia, a tylko w drugiej odpowiedzi znalazła się taka opcja. Jeśli jednak tego nie dostrzeżemy, to możemy zawsze wymnożyć wszystkie wyrazy, zatem:
$$W(x)\cdot V(x)=(x^3-3x+1)\cdot2x^3= \\
=x^3\cdot2x^3-3x\cdot2x^3+1\cdot2x^3=2x^6-6x^4+2x^3$$

B

Naszym zadaniem jest po prostu wymnożenie przez siebie tych dwóch wielomianów:
$$W(x)\cdot M(x)=(x-4)\cdot(x^2-2x)= \\
=x^3-2x^2-4x^2+8x= \\
=x^3-6x^2+8x$$

A

Aby obliczyć iloczyn tych wielomianów musimy tak naprawdę poprawnie wymnożyć przez siebie poszczególne wyrazy:
$$(2x-3)\cdot(-4x^2-6x-9)= \\
=-8x^3-12x^2-18x+12x^2+18x+27= \\
=-8x^3+27$$

C

Krok 1. Obliczenie stopnia wielomianu \(Q(x)\).
Stopień wielomianu to tak naprawdę jego najwyższa potęga jaka pojawia się w danym zapisie. W przypadku \(W(x)\) mamy drugi stopień wielomianu (bo pojawia się \(x^2\)), a \(P(x)\) jest wielomianem trzeciego stopnia (bo mamy \(x^3\)). Musimy poznać jeszcze stopień wielomianu \(Q(x)\):
$$Q(x)=(1-x)(x+1) \\
Q(x)=x+1-x^2-x \\
Q(x)=-x^2+1$$

Czyli \(Q(x)\) jest wielomianem drugiego stopnia.

Krok 2. Obliczenie stopnia iloczynu \(W(x)\cdot P(x)\cdot Q(x)\).
Nie musimy wymnażać przez siebie wszystkich wyrazów, aby poznać rozwiązanie tego zadania. Wystarczy wymnożyć przez siebie tylko te wyrazy z najwyższymi potęgami w każdym z wielomianów. Cała reszta nas nie interesuje. Zatem:
$$2x^2\cdot x^3\cdot(-x^2)=-2x^{2+3+2}=-2x^7$$

To oznacza, że powstanie nam wielomian siódmego stopnia.

C

Zgodnie z poleceniem musimy odjąć od siebie te wielomiany i uprościć cały zapis:
$$W(x)-M(x)=3x^3-2x^2+4-(x^3-2x^2+5)= \\
=3x^3-2x^2+4-x^3+2x^2-5=2x^3-1$$

B

Aby poznać stopień wielomianu (czyli tak naprawdę najwyższą wartość potęgi przy niewiadomej \(x\)) musimy zgodnie z treścią zadania odjąć od siebie te dwa wielomiany. Aby uniknąć błędu dobrze jest sobie to rozpisać przy użyciu nawiasów, wtedy nie pomylimy się ze znakami, zatem:
$$W(x)-V(x)=x^3+3x^2+x-11-(x^3+3x^2+1)= \\
=x^3+3x^2+x-11-x^3-3x^2-1=x-12$$

Otrzymaliśmy wynik równy \(x-12\), zatem jest to wielomian pierwszego stopnia. Jeśli nie jesteś co do tego przekonany, to zawsze można to zapisać jako \(x^1-12\).

A

Zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) otrzymamy:
$$(3x^2-2)^2=(3x^2)^2-2\cdot3x^2\cdot2+2^2= \\
=9x^4-12x^2+4$$

Jeśli masz problem z określeniem ile to jest \((3x^2)^2\) to można to sobie rozpisać jako:
$$(3x^2)^2=3^2\cdot(x^2)^2=9\cdot x^{2\cdot2}=9x^4$$

B

Możemy wymnożyć poszczególne nawiasy w każdej z odpowiedzi i sprawdzić, która odpowiedź da nam wartość równą wielomianowi \(W(x)\). Można jednak do zadania podejść nieco sprytniej.

Na samym wstępie powinniśmy odrzucić odpowiedzi \(A\) i \(D\). Dlaczego? W wyniku mnożenia wyrazów o najwyższej potędze otrzymamy w obydwu tych odpowiedziach \(x^5\), a my potrzebujemy mieć \(x^6\). Zostają nam więc tylko odpowiedzi \(B\) i \(C\), bo tu faktycznie wystąpi \(x^6\).
Odpowiedź \(C\) możemy odrzucić z tego względu, że jakichkolwiek wyrazów nie wymnożymy, to nie otrzymamy \(x^3\). Otrzymamy za to np. \(2x^4\), której nie ma w naszym wielomianie. Z tego też wynika, że poszukiwaną odpowiedzią jest \(B\), a oto dowód:

Odp. A. \((x^3+1)(x^2-2)=x^5-2x^3+x^2-2\)
Odp. B. \((x^3-1)(x^3+2)=x^6+x^3-2\)
Odp. C. \((x^2+2)(x^4-1)=x^6-x^2+2x^4-2\)
Odp. D. \((x^4-2)(x+1)=x^5+x^4-2x-2\)

B

Powyższy wielomian możemy rozpisać w następujący sposób:
$$W=x^3-2x^2+4x-8 \\
W=x^2(x-2)+4(x-2) \\
W=(x-2)(x^2+4)$$

B

W tym zadaniu wykorzystamy następujący wzór skróconego mnożenia: \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\).

Krok 1. Zapisanie wielomianu w formie \(a^2-b^2\).
Spróbujmy doprowadzić nasz wielomian do postaci \(a^2-b^2\), co pozwoli nam później zastosować wzór skróconego mnożenia, a więc:
$$4x^2-100=(2x)^2-10^2$$

Krok 2. Wykorzystanie wzoru skróconego mnożenia.
Zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia:
$$(2x)^2-10^2=(2x-10)(2x+10)$$

A to oznacza, że prawidłowa jest druga odpowiedź.

Jeśli nie jesteśmy w stanie dostrzec tych wszystkich zależności to mogliśmy też po prostu wymnożyć każdy z wariantów znajdujących się w odpowiedziach \(ABCD\) i sprawdzić, która wartość byłaby równa \(4x^2-100\).

C

Powyższy wielomian możemy rozpisać w następujący sposób:
$$W(x)=x^3-2x^2-4x+8 \\
W(x)=x^2(x-2)-4(x-2) \\
W(x)=(x^2-4)(x-2) \\
W(x)=(x+2)(x-2)(x-2) \\
W(x)=(x+2)(x-2)^2$$

C

Jeżeli dwukrotnym pierwiastkiem (czyli po prostu rozwiązaniem) tego wielomianu jest liczba \(-1\), to na pewno częścią składową tego wielomianu zapisanego w postaci iloczynowej będzie wyrażenie \((x+1)^2\). Zostają nam więc już tak naprawdę tylko dwie odpowiedzi do wyboru - B oraz C.

Wiemy też, że wielomian jest stopnia czwartego (czyli najwyższa potęga przy iksie musi być równa \(4\)). To wyklucza nam odpowiedź B, bo tutaj po wymnożeniu wszystkich wyrazów będziemy mieć maksymalnie \(x^3\). Prawidłową odpowiedzią jest więc odpowiedź C.

\(k=-13\)

Skoro liczba \(-2\) jest pierwiastkiem (czyli rozwiązaniem) wielomianu, to znaczy że podstawiając do tego wielomianu \(x=-2\) otrzymamy wartość równą \(0\). W związku z tym:
$$-2\cdot(-2)^3+3\cdot(-2)^2-(k+2)\cdot(-2)-6=0 \\
-2\cdot(-8)+3\cdot4-(-2k-4)-6=0 \\
16+12+2k+4-6=0 \\
26+2k=0 \\
26=-2k \\
k=-13$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy podstawisz do wzoru liczbę \(-2\), ale otrzymasz błędny wynik ze względu na błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a=-1\) oraz \(b=1\)

Krok 1. Wymnożenie wielomianów \(W(x)\) oraz \(Q(x)\).
Skoro iloczyn \(W(x)\cdot Q(x)\) ma być równy \(P(X)\) to poznajmy na początku wartość tego iloczynu:
$$W(x)\cdot Q(x)=(ax+b)\cdot(2x^2-x-1)= \\
=2ax^3-ax^2-ax+2bx^2-bx-b= \\
=2ax^3-ax^2+2bx^2-ax-bx-b= \\
=2ax^3+(-a+2b)x^2+(-a-b)x-b$$

Krok 2. Przyrównanie wielomianu \(P(x)\) do otrzymanego wyniku iloczynu.
Zgodnie z treścią zadania nasz wielomian \(P(x)\) jest równy dokładnie temu, co obliczyliśmy w pierwszym kroku. To pozwoli nam poznać wartości współczynników \(a\) oraz \(b\) bo możemy przyrównać do siebie poszczególne fragmenty tych wielomianów, a konkretniej wartości stojące przed \(x^3\), przed \(x^2\), przed \(x\) oraz wyrazy wolne:

W wielomianie \(P(x)\) przed \(x^3\) mamy liczbę \(-2\). W iloczynie przed \(x^3\) otrzymaliśmy \(2a\). Zatem:
$$-2=2a \\
a=-1$$

W wielomianie \(P(x)\) przed \(x^2\) mamy liczbę \(3\). W iloczynie przed \(x^2\) otrzymaliśmy \(-a+2b\). Wartość \(a\) już znamy, zatem:
$$3=-a+2b \\
3=-(-1)+2b \\
3=1+2b \\
2=2b \\
b=1$$

Dalej już porównywać nie musimy, bo z dwóch pierwszych porównań wyszło nam, że \(a=-1\) oraz \(b=1\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy uprościsz wielomian do postaci \(2ax^3+(-a+2b)x^2+(-a-b)x-b\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.