Jednomiany

Jednomiany to matematyczny zapis liczb oraz liter, które albo występują samodzielnie albo też są połączone ze sobą znakiem mnożenia. Przykładami jednomianów będą więc \(3, x, y, 4, a\) oraz dowolne połączenia typu \(3x, 4xy, \frac{1}{2}x, x^2, abc\).

Przykładowe jednomiany
Przyjrzyjmy się jak powstają takie przykładowe jednomiany:
Jednomian \(3x\) jest równoważny z mnożeniem \(3\cdot x\)
Jednomian \(4xy\) jest równoważny z mnożeniem \(4\cdot x\cdot y\)
Jednomian \(\frac{1}{2}x\) jest równoważny z mnożeniem \(\frac{1}{2}\cdot x\)
Jednomian \(x^2\) jest równoważny z mnożeniem \(x\cdot x\)
Jednomian \(abc\) jest równoważny z mnożeniem \(a\cdot b\cdot c\)

Współczynnik liczbowy jednomianu
To co z punktu jednomianów jest dość istotne to fakt iż każdy jednomian ma tak zwany współczynnik liczbowy wielomianu. Jest to liczba, która się w takim jednomianie znajduje. Przykładowo w jednomianie \(3x\) współczynnik liczbowy jest równy \(3\). W jednomianie \(4xy\) współczynnik liczbowy wynosi \(4\). W tych przypadkach współczynnik był dość prosty do określenia, ale jaki jest współczynnik liczbowy jednomianów \(x^2\) albo \(abc\)? W przypadku gdy w jednomianie nie mamy zapisanej liczby, to znaczy że współczynnik liczbowy jest równy \(1\). Czyli jednomian \(x^2\) to \(1x^2\), natomiast \(abc\) to tak naprawdę \(1abc\).

Jednomiany podobne
Jeżeli jakieś jednomiany różnią się między sobą jedynie współczynnikiem liczbowym, to nazywać je będziemy jednomianami podobnymi. Jednomianami podobnymi będą więc np. \(5x\) oraz \(7x\), bo różni je tylko liczba znajdująca się przed iksem. Jednomianami podobnymi nie będą natomiast \(5a\) oraz \(7b\), bo tutaj mamy dwie różne litery. Warto też zwrócić uwagę na to, że \(2x^2\) oraz \(5x^2\) to jednomiany podobne, ale już \(2x^2\) oraz \(5x^3\) podobne nie są (bo różni je wykładnik potęgi).

Porządkowanie jednomianów
Ważnym spostrzeżeniem jest także fakt, iż skoro w jednomianach mamy styczność z mnożeniem, to nie kolejność zapisywania składników nie ma tak naprawdę znaczenia, bo mnożenie jest przemienne. To oznacza, że np.:
\(bac\) to to samo co \(abc\)
\(5yx\) to to samo co \(5xy\)

To dość ważna uwaga, bo w zapisach algebraicznych dążymy do tego, by zachować pewien matematyczny ład i porządek. Z tego też względu przyjęło się by na początku jednomianów zapisywać liczbę, a następie litery w kolejności alfabetycznej. Jeżeli więc gdzieś w wyniku obliczeń otrzymamy taką postać jak \(bac\), czy też \(5yx\), to finalnie powinniśmy to zamienić na \(abc\) oraz \(5xy\). Taką czynność nazywamy porządkowaniem jednomianów.

Mnożenie jednomianów
Najistotniejsze w tym temacie jest jednak umiejętne wykonywanie działań na jednomianach, a w szczególności mnożenia jednomianów, dlatego też sprawdźmy na konkretnych przykładach z jakimi sytuacjami możemy się spotkać na matematyce.

Przykład 1. Wykonaj mnożenie \(4x\cdot3\).

Aby zrozumieć jak wykonywać tego typu działania to całość (korzystając z tego że mnożenie jest przemienne) możemy rozpisać w następujący sposób:
$$4x\cdot3=4\cdot x\cdot3=4\cdot3\cdot x=12x$$

Przykład 2. Wykonaj mnożenie i zapisz w jak najprostszej postaci wynik działania \(x^2\cdot3x\).

Na początku przygody z algebrą to z pozoru dość proste zadanie sprawia sporo problemów. Wiele osób wychodzi z założenia, że tego zapisu \(x^2\cdot3x\) nie da się już uprościć. Spróbujmy zatem rozbić to wszystko na czynniki (dokładnie jak w poprzednim przykładzie), tak aby rozwiać wszelkie wątpliwości:
$$x^2\cdot3x=x\cdot x\cdot3\cdot x=3\cdot x\cdot x\cdot x=3x^3$$

Zrozumienie istoty tego zadania jest niezwykle ważne. Kiedy nabierzemy wprawy to będziemy tego typu zadania rozwiązywać w pamięci, bez rozpisywania.

Przykład 3. Wykonaj mnożenie i zapisz w jak najprostszej postaci wynik działania \(2x\cdot3y\).

Choć w tym przykładzie pojawiają się nam już dwie różne litery, to przebieg naszych obliczeń jest cały czas taki sam:
$$2x\cdot3y=2\cdot x\cdot3\cdot y=2\cdot3\cdot x\cdot y=6xy$$

Przykład 4. Wykonaj mnożenie i zapisz w postaci jednomianu wyrażenie \(2x^2\cdot4xy\).

Zasada obliczeń jest identyczna jak przed chwilą, czyli tak naprawdę musimy pogrupować liczby oraz litery:
$$2x^2\cdot4xy=2\cdot x\cdot x\cdot4\cdot x\cdot y=8x^3y$$

Przykład 5. Wykonaj mnożenie i zapisz w postaci jednomianu wyrażenie \(b^2\cdot c^2\cdot a^5\cdot b^5\).

Cały czas postępujemy podobnie, zwracając szczególną uwagę na to, by tym razem wykonać dobrze działania na potęgach:
$$b^2\cdot c^2\cdot a^5\cdot b^3=a^5\cdot b^2\cdot b^5\cdot c^2=a^5\cdot b^{2+5}\cdot c^2=a^5\cdot b^7\cdot c^2$$

Z powyższych przykładów płynie dla nas wniosek, że aby wymnożyć jednomiany musimy najpierw pomnożyć przez siebie liczby które w tych jednomianach występują, a dopiero na koniec musimy wymnożyć litery. Nie musimy więc rozpisywać każdego przykładu, wystarczy że będziemy pamiętać o tym jakie takie mnożenie powinno się odbywać.

Pozostałe działania na jednomianach
Wszystkie powyższe przykłady były związane z mnożeniem, ale oczywiście możemy także wykonywać inne działania na jednomianach. Przykładowo:

Przykład 6. Wykonaj dzielenie i zapisz w jak najprostszej postaci wynik działania \(6x:3\).

W przypadku dzielenia jednomianu przez liczbę wystarczy wykonać dzielenie na samych liczbach:
$$6x:3=2x$$

Przykład 7. Wykonaj dzielenie i zapisz w jak najprostszej postaci wynik działania \(6x:3x\).

W przypadku dzielenia jednomianu przez inny jednomian (który jest jednomianem podobnym) najprościej będzie rozpisać sobie całą sytuację w postaci ułamka zwykłego, tak aby dostrzec cały proces liczenia:
$$\require{cancel}6x:3x=\frac{6\cdot\cancel{x}}{3\cdot\cancel{x}}=\frac{6}{3}=2$$

Przykład 8. Wykonaj dodawanie i zapisz w jak najprotszej postaci wynik działania \(2x+3x\).

Gdyby zadanie brzmiało: „Do dwóch jabłek dodaj trzy jabłka” to bez problemu powiedzielibyśmy że mamy łącznie pięć jabłek. Zatem traktując naszego „iksa” jako „jabłko” możemy analogicznie zapisać, że:
$$2x+3x=5x$$

Przykład 9. Wykonaj obliczenia i zapisz w jak najprotszej postaci wynik działania \(4x+6x-2x\).

Analogicznie jak w poprzednim przykładzie tak i tutaj możemy iksa zamienić na jabłko i całość działania opisać jako zadanie typu: „Mamy cztery jabłka, dostaliśmy jeszcze sześć jabłek, a dwa jabłka zjedliśmy. Oblicz ile jabłek zostało”. W związku z tym:
$$4x+6x-2x=8x$$

Więcej na temat dodawania i odejmowania jednomianów powiemy sobie jednak w kolejnych tematach, gdzie będziemy zajmować się sumami algebraicznymi. Tam też omówimy sobie nieco trudniejsze sytuacje w których występuje kilka działań jednocześnie.

Zobacz też: Sumy algebraiczne

Dodaj komentarz