Działania na wielomianach

Z praktycznego punktu widzenia, działania na wielomianach opierają się na tym samym co działania na wyrażeniach algebraicznych. Na matematyce omawiać będziemy cztery działania: dodawanie wielomianów, odejmowanie, mnożenie oraz dzielenie. Chcąc wykonać każdą z tych czynności, będziemy mierzyć się z koniecznością redukcji wyrazów podobnych czy też porządkowania zapisu. Zacznijmy od tych najprostszych działań, czyli od dodawania i odejmowania.

Dodawanie wielomianów

Przykład 1. Wykonaj poniższe dodawanie wielomianów:
$$(x^5+2x^4-3x^2)+(-3x^4+3x^2-3)$$

Chcąc rozwiązać ten przykład musimy dodać do siebie wyrazy podobne (czyli takie, które mają jednakowy wykładnik potęgi przy zmiennej \(x\)), a następnie uporządkować cały zapis (tak aby mieć zapis od największego do najmniejszego stopnia potęgi). Jest to nasz pierwszy przykład, więc może rozpiszmy to bardzo dokładnie, tak aby dobrze było widać jak to wygląda w praktyce:
$$(x^5+2x^4-3x^2)+(-3x^4+3x^2-3)= \\
=x^5+2x^4+(-3x^4)+(-3x^2)+3x^2+(-3)= \\
=x^5+2x^4-3x^4-3x^2+3x^2-3= \\
=x^5-x^4-3$$

Oczywiście nie musimy tego tak dokładnie rozpisywać – wraz z nabraniem doświadczenia będziemy coraz częściej wykonywać poszczególne działania w pamięci. Niezależnie od przyjętej metody, otrzymaliśmy w ten sposób nowy wielomian (możemy nawet dodać, że jest to wielomian piątego stopnia), który jest właśnie sumą dwóch wielomianów podanych w treści zadania.

Tego typu zadania na dodawanie mogą też przybrać taką oto formę:

Przykład 2.
Dany jest wielomian \(W(x)=3x^2+5\) oraz \(P(x)=-x^2-6\). Oblicz sumę \(W(x)+P(x)\).

Istota zadania jest identyczna jak w poprzednim przykładzie, musimy po prostu podstawić odpowiednie wielomiany do działania i obliczyć w ten sposób sumę. Całość (już bez zbędnego rozpisywania) wyglądałaby więc następująco:
$$W(x)+P(x)=(3x^2+5)+(x^3-x^2-6)=x^3+2x^2-1$$

Odejmowanie wielomianów
Analogicznie do dodawania wielomianów będziemy wykonywać odejmowanie. Jeśli chodzi o odejmowanie, to tutaj warto pochylić się nad jedną rzeczą, która może sprawić mniejsze lub większe trudności. Bardzo ważne jest to, aby odejmowany wielomian obowiązkowo zapisywać w nawiasie, bo tylko to sprawi, że odejmiemy cały wielomian, a nie zaledwie jego część. Przy dodawaniu wielomianów takiego obowiązku nie ma, choć właśnie bardzo często mimo wszystko się te nawiasy stosuje (tak jak miało to miejsce w poprzednich przykładach), tak aby wyrobić sobie dobry nawyk przy działaniach na wielomianach. Bardzo dobrze będzie to widać na poniższym przykładzie:

Przykład 3.
Dany jest wielomian \(W(x)=4x^2+5\) oraz \(P(x)=2x^2-x-2\). Oblicz różnicę \(W(x)-P(x)\).

Gdybyśmy bezpośrednio podstawili podane wielomiany i zapisali, że \(W(x)-P(x)=4x^2+5-2x^2-x-2\), to popełnilibyśmy kluczowy błąd. Zapisując to w ten sposób, od wielomianu \(4x^2+5\) odjęlibyśmy tak naprawdę tylko \(2x^2\), a nie cały wielomian \(P(x)\). Dlatego też ten drugi wielomian (a najlepiej także i pierwszy) musimy wziąć w nawias. Czyli poprawny zapis interesującej nas różnicy wyglądałby w ten sposób:
$$W(x)-P(x)=(4x^2+5)-(2x^2-x-2)$$

Teraz musimy pamiętać, że chcąc opuścić nawiasy przed którymi stoi minus, musimy zmienić wszystkie znaki na przeciwne. W związku z tym obliczenia będą wyglądać następująco:
$$W(x)-P(x)=4x^2+5-2x^2+x+2=2x^2+x+7$$

I w ten oto sposób mamy obliczoną różnicę.

Mnożenie wielomianów
W przypadku mnożenia wielomianów musimy zastosować metodę „każdy z każdym”, czyli każdy jednomian pierwszego wielomianu, musimy wymnożyć przez każdy jednomian z wielomianu drugiego.

Przykład 4.
Oblicz \((x^2+5)\cdot(6x^3-4)\)

Z racji tego, iż jest to nasz pierwszy przykład na mnożenie, spróbujmy dokładnie rozpisać co będzie przez co mnożone:
$$(x^2+5)\cdot(6x^3-4)= \\
=x^2\cdot6x^3+x^2\cdot(-4)+5\cdot6x^3+5\cdot(-4)= \\
=6x^5-4x^2+30x^3-20 = \\
=6x^5+30x^3-4x^2-20$$

Tu warto zwrócić uwagę na dwie rzeczy. Po pierwsze, zdecydowanie największą trudnością podczas mnożenia jest poprawne wykonanie działań na potęgach. Przypomnę więc, że mnożąc potęgi o jednakowych podstawach musimy dodać do siebie wykładniki. Z tego też względu kiedy mieliśmy mnożenie \(x^2\cdot6x^3\), to zapisaliśmy sobie, że to będzie równe \(6x^5\), ponieważ \(x^2\cdot6x^3=6\cdot x^{2+3}=6x^5\). I po drugie, zapisując rozwiązanie, pamiętajmy o tym, by z każdym kolejnym jednomianem wykładnik potęgi był coraz mniejszy. Bardzo często będzie to właśnie konieczność podczas wykonywania mnożenia wielomianów.

Przykład 5. Dany jest wielomian \(P(x)=x^4-3\) oraz \(W(x)=x^3-1\). Oblicz \(2P(x)\cdot3W(x)\)

W tym przykładzie mamy mnożenie wielomianów jako takich, ale także mnożenie wielomianu przez liczbę. W tym przypadku wielomian \(P(x)\) jest mnożony przez \(2\), a wielomian \(W(x)\) przez \(3\). I tu podobnie jak to było przy odejmowaniu, koniecznie pamiętajmy o tym, by wielomiany zapisywać w nawiasach:
$$2P(x)\cdot3W(x)=2\cdot(x^4-3)\cdot3\cdot(x^3-1)$$

Mnożenie jest przemienne, więc można swobodnie decydować o tym co przez co wymnożymy najpierw. Najczęściej zaczynamy od wymnożenia liczb stojących przed nawiasami, tak aby trochę uprościć sobie zapis. I tu ważna uwaga – pamiętajmy, by w takiej sytuacji pozostawić nawiasy. Obliczenia wyglądałyby więc następująco:
$$2P(x)\cdot3W(x)=(2x^4-6)\cdot(3x^3-3)$$

Teraz możemy już postąpić tak jak w poprzednim przykładzie, czyli:
$$2P(x)\cdot3W(x)=2x^4\cdot3x^3+2x^4\cdot(-3)+(-6)\cdot3x^3+(-6)\cdot(-3)= \\
=6x^7-6x^4-18x^3+18$$

Dzielenie wielomianów
Z tych wszystkich działań zdecydowanie najtrudniejsze jest dzielenie. Sytuacja jest tutaj na tyle rozbudowana, że temu zagadnieniu poświęcimy sobie jeszcze osobny temat. O dzieleniu wielomianów przeczytasz w poniższej lekcji:

Więcej informacji na temat wielomianów znajdziesz tutaj:

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments