Suma ciągu arytmetycznego

Sumę pierwszych \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego możemy obliczyć z następującego wzoru:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$

Aby więc obliczyć np. sumę dziesięciu pierwszych wyrazów \(S_{10}\) potrzebujemy znać wartość pierwszego i dziesiątego wyrazu. Sumę tych dwóch wyrazów musimy następnie podzielić zgodnie ze wzorem przez \(2\) i całość pomnożyć przez \(n=10\) (gdy interesuje nas suma dziesięciu wyrazów). Jednak czasem w treści zadania nie będziemy mieć podanego np. dziesiątego wyrazu, a podana zostanie różnica ciągu arytmetycznego. W takiej sytuacji musimy samodzielnie obliczyć wartość dziesiątego wyrazu ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) albo też bezpośrednio zastosować przekształcony wzór na sumę:

$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Przykład 1. Oblicz sumę \(10\) pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego określonego wzorem \(a_{n}=2n+3\).

Aby obliczyć sumę \(10\) pierwszych wyrazów potrzebujemy znać wartość pierwszego i dziesiątego wyrazu, zatem:
$$a_{1}=2\cdot1+3=2+3=5 \\
a_{10}=2\cdot10+3=20+3=23$$

To oznacza, że szukana suma jest równa:
$$S_{10}=\frac{a_{1}+a_{10}}{2}\cdot10 \\
S_{10}=\frac{5+23}{2}\cdot10 \\
S_{10}=\frac{28}{2}\cdot10 \\
S_{10}=14\cdot10 \\
S_{10}=140$$

Przykład 2. Dany jest ciągu arytmetyczny \((a_{n})\) w którym \(a_{1}=4\) oraz \(a_{4}=13\). Oblicz sumę trzydziestu początkowych wyrazów tego ciągu.

I sposób – korzystając z podstawowego wzoru na sumę \(n\) pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego:
Do obliczenia \(S_{30}\) potrzebujemy znać wartość trzydziestego wyrazu, czyli \(a_{30}\). Aby ją obliczyć potrzebujemy poznać różnicę tego ciągu, a tą wyznaczymy w prosty sposób, bo znamy przecież dwa wyrazy \(a_{1}=4\) oraz \(a_{4}=13\).
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{4}=a_{1}+(4-1)r \\
13=4+3r \\
3r=9 \\
r=3$$

To oznacza, że trzydziesty wyraz tego ciągu jest równy:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{30}=a_{1}+(30-1)r \\
a_{30}=a_{1}+29r \\
a_{30}=4+29\cdot3 \\
a_{30}=4+29\cdot3 \\
a_{30}=4+87 \\
a_{30}=91$$

Suma trzydziestu wyrazów tego ciągu jest zatem równa:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{30}=\frac{a_{1}+a_{30}}{2}\cdot30 \\
S_{30}=\frac{4+91}{2}\cdot30 \\
S_{30}=\frac{95}{2}\cdot30 \\
S_{30}=1425$$

II sposób – korzystając z przekształconego wzoru na sumę \(n\) pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego:
Kiedy obliczymy różnicę ciągu \(r=3\) (tak jak w pierwszym sposobie), to zamiast obliczać wartość trzydziestego wyrazu możemy od razu podstawić dane do tego drugiego wzoru:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \\
S_{30}=\frac{2a_{1}+(30-1)r}{2}\cdot30 \\
S_{30}=\frac{2a_{1}+29r}{2}\cdot30 \\
S_{30}=\frac{2\cdot4+29\cdot3}{2}\cdot30 \\
S_{30}=\frac{8+87}{2}\cdot30 \\
S_{30}=\frac{95}{2}\cdot30 \\
S_{30}=1425$$

Przykład 3. Suma dziesięciu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_{n})\) jest równa \(200\). Oblicz wartość pierwszego wyrazu tego ciągu, wiedząc że \(a_{10}=38\).

$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{10}=\frac{a_{1}+a_{10}}{2}\cdot10 \\
200=\frac{a_{1}+38}{2}\cdot10 \quad\bigg/:10 \\
20=\frac{a_{1}+38}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
40=a_{1}+38 \\
a_{1}=2$$

Zobacz też: Ciąg arytmetyczny

Dodaj komentarz