Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika to jedna z częściej wykorzystywanych umiejętności w dziale pierwiastków. Sprawdźmy zatem jak wykonać taką operację i na co tutaj należy zwracać uwagę.

Czym jest niewymierność w mianowniku?
Na początek ustalmy w ogóle o jakich sytuacjach mówimy. Interesują nas te sytuacje w których w mianowniku ułamka pojawia się niewymierność będąca pierwiastkiem (z którego nie da się wyciągnąć całości). Przykładowo takimi ułamkami będą:
$$\frac{2}{\sqrt{5}},\quad\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}},\quad\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}},\quad\frac{1+\sqrt{3}}{2-\sqrt{2}}$$

To co znajduje się w liczniku nie ma znaczenia. Kluczowe jest to, że w mianowniku każdego z powyższych ułamków pojawił się pierwiastek i jest to dla nas sytuacja niezbyt pożądana (później powiemy sobie dlaczego te ułamki nie są zbyt przyjazne).

Jak usunąć niewymierność z mianownika?
Gdybyśmy się dobrze przyjrzeli różnym przykładom z niewymiernościami w mianowniku, to zauważylibyśmy, że możemy spotkać się z dwoma sytuacjami:
1. W mianowniku znajduje się sam pierwiastek lub pierwiastek pomnożony przez jakąś liczbę.
Przykładowymi liczbami będą chociażby \(\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{5}{2\sqrt{2}}\).
2. W mianowniku znajduje się suma lub różnica liczb, z których przynajmniej jedna liczba jest pierwiastkiem.
Przykładowymi liczbami będą chociażby \(\frac{2}{3+\sqrt{5}}, \frac{2+\sqrt{5}}{3-\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\).

Ten podział na te dwie sytuacje jest o tyle istotny, że do każdej z nich musimy podejść nieco inaczej. Zacznijmy od tego pierwszego wariantu.

Przykład 1. Usuń niewymierność z mianownika ułamka \(\frac{5}{\sqrt{2}}\).
Tutaj mamy do czynienia z sytuacją w której w mianowniku jest samotny pierwiastek. W takim przypadku, aby usunąć tę niewymierność, musimy pomnożyć licznik oraz mianownik przez pierwiastek znajdujący się w mianowniku. W tym przypadku licznik i mianownik pomnożylibyśmy przez \(\sqrt{2}\). Dzięki temu w mianowniku ułamka otrzymamy działanie \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\), a z działu pierwiastków wiemy już, że takie mnożenie da wynik równy \(2\). Całość obliczeń będzie więc wyglądać następująco:
$$\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$$

W ten sposób pozbyliśmy się niewymierności z mianownika, bo w mianowniku znajduje się już liczba całkowita.

Przykład 2. Usuń niewymierność z mianownika ułamka \(\frac{6}{\sqrt{3}}\).
Powyższy przykład wydaje się niemalże identyczny jak ten, który robiliśmy przed chwilą. Faktycznie, tok postępowania jest tutaj taki sam, czyli musimy pomnożyć licznik oraz mianownik przez \(\sqrt{3}\). W ten sposób otrzymamy:
$$\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$$

W tym przykładzie okazało się, że usuwając niewymierność z mianownika udało nam się dodatkowo skrócić ze sobą licznik i mianownik. Dzięki temu pozbyliśmy się nie tylko samej niewymierności, ale i całej postaci ułamkowej.

Przykład 3. Usuń niewymierność z mianownika ułamka \(\frac{5}{2\sqrt{3}}\).

Tym razem w liczniku pojawiła nam się liczba \(2\sqrt{3}\). Aby pozbyć się tej niewymierności musimy pomnożyć licznik i mianownik przez \(\sqrt{3}\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{5}{2\sqrt{3}}=\frac{5\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{2\cdot3}=\frac{5\sqrt{3}}{6}$$

Przykład 4. Usuń niewymierność z mianownika ułamka \(\frac{5+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\).

Tutaj sytuacja wydaje się być nieco bardziej skomplikowana, bo teraz w liczniku mamy więcej liczb niż w poprzednich przykładach. Nie mniej jednak tok postępowania jest tutaj cały czas taki sam, czyli licznik oraz mianownik musimy pomnożyć przez pierwiastek znajdujący się w mianowniku, czyli przez \(\sqrt{3}\). Pamiętaj, że skoro w liczniku mamy sumę, to każdy wyraz tej sumy trzeba będzie pomnożyć przez \(\sqrt{3}\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{5+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{(5+\sqrt{2})\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}+2\sqrt{6}}{2\cdot3}= \\
=\frac{10\sqrt{3}+2\sqrt{6}}{6}=\frac{5\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3}$$

Teraz zajmiemy się trudniejszymi sytuacjami, czyli takimi w których w mianowniku mamy całe wyrażenia typu \(2-\sqrt{3}\) albo \(1+\sqrt{3}\). W takich sytuacjach pomnożenie licznika oraz mianownika przez \(\sqrt{3}\) się nie sprawdzi. Tutaj musimy zastosować sprytny zabieg związany ze wzorami skróconego mnożenia, a konkretnie ze wzorem \((a-b)(a+b)=a^2+b^2\). To oznacza, że jeżeli mamy w mianowniku wyrażenie np. \(2-\sqrt{3}\) to licznik oraz mianownik musimy pomnożyć przez wyrażenie ze zmienionym znakiem wewnątrz, czyli przez \(2+\sqrt{3}\) (zwróć uwagę na znaki!). Spójrzmy na przykłady:

Przykład 5. Usuń niewymierność z mianownika ułamka \(\frac{3}{2-\sqrt{3}}\).
Aby usunąć niewymierność musimy pomnożyć licznik i mianownik przez wyrażenie znajdujące się w mianowniku, ale ze zmienionym znakiem wewnątrz, tak aby móc zastosować wzór skróconego mnożenia. W tym przypadku licznik oraz mianownik musimy pomnożyć przez \(2+\sqrt{3}\). Dzięki temu w mianowniku otrzymamy działanie \((2-\sqrt{3})\cdot(2+\sqrt{3})\), które zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2+b^2\) będzie równe \(2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1\). Całość rozpisalibyśmy więc w następujący sposób:
$$\frac{3}{2-\sqrt{3}}=\frac{3\cdot(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})\cdot(2+\sqrt{3})}=\frac{6+3\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}= \\
=\frac{6+3\sqrt{3}}{4-3}=\frac{6+3\sqrt{3}}{1}=6+3\sqrt{3}$$
Przykład 6. Usuń niewymierność z mianownika ułamka \(\frac{2}{3+\sqrt{2}}\).

Bardzo podobnie jak to miało miejsce w poprzednim przykładzie, aby usunąć niewymierność z mianownika musimy pomnożyć licznik i mianownik przez wyrażenie znajdujące się w mianowniku, ze zmienionym znakiem wewnątrz. To oznacza, że tym razem musimy pomnożyć licznik i mianownik przez \(3-\sqrt{2}\). W ten sposób otrzymamy:
$$\frac{2}{3+\sqrt{2}}=\frac{2\cdot(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})\cdot(3-\sqrt{2})}=\frac{6-2\sqrt{2}}{3^2-(\sqrt{2})^2}= \\
=\frac{6-2\sqrt{2}}{9-2}=\frac{6-2\sqrt{2}}{7}$$

Przykład 7. Usuń niewymierność z mianownika ułamka \(\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\).

Tym razem mamy w mianowniku aż dwa pierwiastki. Czy to cokolwiek zmienia w sposobie usuwania tej niewymierności? Nie, tok postępowania jest cały czas taki sam. Musimy więc pomnożyć licznik i mianownik przez \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\), dzięki czemu otrzymamy:
$$\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{3\cdot(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})\cdot(\sqrt{5}-\sqrt{2})}=\frac{3\cdot(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2}= \\
=\frac{3\cdot(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2}=\frac{3\cdot(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3}=\sqrt{5}-\sqrt{2}$$

Po co usuwamy niewymierność z mianownika?
Pewnie część z Was zastanawia się po co usuwamy taką nierówność z mianownika. Tak prawdę mówiąc to są w sumie są dwa główne powody:
• Po pierwsze – ułatwia nam to wykonywanie działań na ułamkach. Dzięki temu, że w mianowniku nie mamy liczb typu \(\sqrt{2}\) czy \(\sqrt{3}\), a mamy całkowite liczby, to bez problemu będziemy w stanie dodać lub odjąć jakiś inny ułamek zwykły typu \(\frac{1}{2}\) czy też \(\frac{3}{4}\). Mając postać z pierwiastkiem w mianowniku nie bylibyśmy w stanie tego zrobić, a tak mając całkowitą liczbę w mianowniku nie ma żadnego problemu z doprowadzeniem ułamków do wspólnego mianownika.
• Po drugie – bardzo często zapis po usunięciu niewymierności jest po prostu krótszy. Zauważ, że w niektórych przykładach udało nam się wręcz pozbyć całkowicie postaci ułamka otrzymując wynik typu \(2\sqrt{3}\). To bardzo duże ułatwienie, zwłaszcza kiedy będziemy rozwiązywać bardziej skomplikowane przykłady.

Dodaj komentarz