Usuwanie niewymierności z mianownika to jedna z częściej wykorzystywanych umiejętności w dziale pierwiastków. Sprawdźmy zatem jak wykonać taką operację i na co tutaj należy zwracać uwagę.
Czym jest niewymierność w mianowniku?
Na początek ustalmy w ogóle o jakich sytuacjach mówimy. Interesują nas te sytuacje w których w mianowniku ułamka pojawia się niewymierność będąca pierwiastkiem (z którego nie da się wyciągnąć całości). Przykładowo takimi ułamkami będą:
$$\frac{2}{\sqrt{5}},\quad\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}},\quad\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}},\quad\frac{1+\sqrt{3}}{2-\sqrt{2}}$$
To co znajduje się w liczniku nie ma znaczenia. Kluczowe jest to, że w mianowniku każdego z powyższych ułamków pojawił się pierwiastek i jest to dla nas sytuacja niezbyt pożądana (później powiemy sobie dlaczego te ułamki nie są zbyt przyjazne).
Jak usunąć niewymierność z mianownika?
Gdybyśmy się dobrze przyjrzeli różnym przykładom z niewymiernościami w mianowniku, to zauważylibyśmy, że możemy spotkać się z dwoma sytuacjami:
1. W mianowniku znajduje się sam pierwiastek lub pierwiastek pomnożony przez jakąś liczbę.
Przykładowymi liczbami będą chociażby \(\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{5}{2\sqrt{2}}\).
2. W mianowniku znajduje się suma lub różnica liczb, z których przynajmniej jedna liczba jest pierwiastkiem.
Przykładowymi liczbami będą chociażby \(\frac{2}{3+\sqrt{5}}, \frac{2+\sqrt{5}}{3-\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\).
Ten podział na te dwie sytuacje jest o tyle istotny, że do każdej z nich musimy podejść nieco inaczej. Zacznijmy od tego pierwszego wariantu.
Tutaj mamy do czynienia z sytuacją w której w mianowniku jest samotny pierwiastek. W takim przypadku, aby usunąć tę niewymierność, musimy pomnożyć licznik oraz mianownik przez pierwiastek znajdujący się w mianowniku. W tym przypadku licznik i mianownik pomnożylibyśmy przez \(\sqrt{2}\). Dzięki temu w mianowniku ułamka otrzymamy działanie \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\), a z działu pierwiastków wiemy już, że takie mnożenie da wynik równy \(2\). Całość obliczeń będzie więc wyglądać następująco:
$$\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$$
W ten sposób pozbyliśmy się niewymierności z mianownika, bo w mianowniku znajduje się już liczba całkowita.
Powyższy przykład wydaje się niemalże identyczny jak ten, który robiliśmy przed chwilą. Faktycznie, tok postępowania jest tutaj taki sam, czyli musimy pomnożyć licznik oraz mianownik przez \(\sqrt{3}\). W ten sposób otrzymamy:
$$\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$$
W tym przykładzie okazało się, że usuwając niewymierność z mianownika udało nam się dodatkowo skrócić ze sobą licznik i mianownik. Dzięki temu pozbyliśmy się nie tylko samej niewymierności, ale i całej postaci ułamkowej.
Tym razem w liczniku pojawiła nam się liczba \(2\sqrt{3}\). Aby pozbyć się tej niewymierności musimy pomnożyć licznik i mianownik przez \(\sqrt{3}\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{5}{2\sqrt{3}}=\frac{5\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{2\cdot3}=\frac{5\sqrt{3}}{6}$$
Tutaj sytuacja wydaje się być nieco bardziej skomplikowana, bo teraz w liczniku mamy więcej liczb niż w poprzednich przykładach. Nie mniej jednak tok postępowania jest tutaj cały czas taki sam, czyli licznik oraz mianownik musimy pomnożyć przez pierwiastek znajdujący się w mianowniku, czyli przez \(\sqrt{3}\). Pamiętaj, że skoro w liczniku mamy sumę, to każdy wyraz tej sumy trzeba będzie pomnożyć przez \(\sqrt{3}\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{5+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{(5+\sqrt{2})\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}+\sqrt{2\cdot3}}{2\cdot3}=\frac{5\sqrt{3}+\sqrt{6}}{6}$$
Teraz zajmiemy się trudniejszymi sytuacjami, czyli takimi w których w mianowniku mamy całe wyrażenia typu \(2-\sqrt{3}\) albo \(1+\sqrt{3}\). W takich sytuacjach pomnożenie licznika oraz mianownika przez \(\sqrt{3}\) się nie sprawdzi. Tutaj musimy zastosować sprytny zabieg związany ze wzorami skróconego mnożenia, a konkretnie ze wzorem \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). To oznacza, że jeżeli mamy w mianowniku wyrażenie np. \(2-\sqrt{3}\) to licznik oraz mianownik musimy pomnożyć przez wyrażenie ze zmienionym znakiem wewnątrz, czyli przez \(2+\sqrt{3}\) (zwróć uwagę na znaki!). Spójrzmy na przykłady:
Aby usunąć niewymierność musimy pomnożyć licznik i mianownik przez wyrażenie znajdujące się w mianowniku, ale ze zmienionym znakiem wewnątrz, tak aby móc zastosować wzór skróconego mnożenia. W tym przypadku licznik oraz mianownik musimy pomnożyć przez \(2+\sqrt{3}\). Dzięki temu w mianowniku otrzymamy działanie \((2-\sqrt{3})\cdot(2+\sqrt{3})\), które zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) będzie równe \(2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1\). Całość rozpisalibyśmy więc w następujący sposób:
$$\frac{3}{2-\sqrt{3}}=\frac{3\cdot(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})\cdot(2+\sqrt{3})}=\frac{6+3\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}= \\
=\frac{6+3\sqrt{3}}{4-3}=\frac{6+3\sqrt{3}}{1}=6+3\sqrt{3}$$
Bardzo podobnie jak to miało miejsce w poprzednim przykładzie, aby usunąć niewymierność z mianownika musimy pomnożyć licznik i mianownik przez wyrażenie znajdujące się w mianowniku, ze zmienionym znakiem wewnątrz. To oznacza, że tym razem musimy pomnożyć licznik i mianownik przez \(3-\sqrt{2}\). W ten sposób otrzymamy:
$$\frac{2}{3+\sqrt{2}}=\frac{2\cdot(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})\cdot(3-\sqrt{2})}=\frac{6-2\sqrt{2}}{3^2-(\sqrt{2})^2}= \\
=\frac{6-2\sqrt{2}}{9-2}=\frac{6-2\sqrt{2}}{7}$$
Tym razem mamy w mianowniku aż dwa pierwiastki. Czy to cokolwiek zmienia w sposobie usuwania tej niewymierności? Nie, tok postępowania jest cały czas taki sam. Musimy więc pomnożyć licznik i mianownik przez \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\), dzięki czemu otrzymamy:
$$\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{3\cdot(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})\cdot(\sqrt{5}-\sqrt{2})}=\frac{3\cdot(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2}= \\
=\frac{3\cdot(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2}=\frac{3\cdot(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3}=\sqrt{5}-\sqrt{2}$$
Po co usuwamy niewymierność z mianownika?
Pewnie część z Was zastanawia się po co usuwamy taką nierówność z mianownika. Tak prawdę mówiąc to są w sumie są dwa główne powody:
• Po pierwsze – ułatwia nam to wykonywanie działań na ułamkach. Dzięki temu, że w mianowniku nie mamy liczb typu \(\sqrt{2}\) czy \(\sqrt{3}\), a mamy całkowite liczby, to bez problemu będziemy w stanie dodać lub odjąć jakiś inny ułamek zwykły typu \(\frac{1}{2}\) czy też \(\frac{3}{4}\). Mając postać z pierwiastkiem w mianowniku nie bylibyśmy w stanie tego zrobić, a tak mając całkowitą liczbę w mianowniku nie ma żadnego problemu z doprowadzeniem ułamków do wspólnego mianownika.
• Po drugie – bardzo często zapis po usunięciu niewymierności jest po prostu krótszy. Zauważ, że w niektórych przykładach udało nam się wręcz pozbyć całkowicie postaci ułamka otrzymując wynik typu \(2\sqrt{3}\). To bardzo duże ułatwienie, zwłaszcza kiedy będziemy rozwiązywać bardziej skomplikowane przykłady.
Nie rozumiem co się stało w 4 przykładzie. Mnożymy tylko przez pierwiastek z trzy czy jeszcze przez 2? Czy może źle zapisane? Xd
Mnożymy przez √3 :) Zwróć uwagę na to, że w mianowniku mamy 2√3. Jak ten mianownik pomnożymy przez √3 to będziemy mieć tam tak jakby działanie 2*√3*√3 i stąd też jest 2*3 :)