Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Aby wyliczyć miejsce zerowe funkcji kwadratowej musimy przyrównać jej wzór do zera. To oznacza, że miejsca zerowe będziemy wyliczać dokładnie tak samo jak rozwiązuje się równania kwadratowe.

Jeżeli chcesz przypomnieć sobie wiedzę na temat rozwiązywania równań kwadratowych, to obszerne omówienie tego zagadnienia znajdziesz w tym temacie:

Przykład 1. Wyznacz miejsca zerowe funkcji \(y=x^2+2x-8\).

Aby poznać miejsca zerowe musimy przyrównać wzór funkcji do zera, dzięki czemu otrzymamy równanie:
$$x^2+2x-8=0$$

W tej sytuacji funkcja kwadratowa była przedstawiona w postaci ogólnej, a więc i równanie jest w postaci ogólnej, zatem skorzystamy tutaj z klasycznej delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-8\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-8)=4-(-32)=4+32=36 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-6}{2\cdot1}=\frac{-8}{2}=-2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+6}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=4$$

To oznacza, że miejscami zerowymi tej funkcji kwadratowej są \(x=-2\) oraz \(x=4\).

Przykład 2. Wyznacz miejsca zerowe funkcji \(y=(x+8)(x-3)\).

Ponownie musimy przyrównać wzór funkcji do zera, zatem otrzymamy równanie:
$$(x+8)(x-3)=0$$

Z postaci iloczynowej bardzo łatwo jest wyznaczyć miejsca zerowe, bo aby całe równanie było równe zero to któryś z nawiasów musi być równy zero. W związku z tym:
$$x+8=0 \quad\lor\quad x-3=0 \\
x=-8 \quad\lor\quad x=3$$

To oznacza, że miejscami zerowymi tej funkcji kwadratowej są \(x=-8\) oraz \(x=3\).

Przykład 3. Wyznacz miejsca zerowe funkcji \(y=(x-3)^2-1\).

Przyrównujemy wzór funkcji do zera otrzymując równanie:
$$(x-3)^2-1=0$$

Aby móc obliczyć miejsca zerowe z postaci kanonicznej musimy doprowadzić całość do postaci ogólnej z której wyliczymy deltę. Dokonamy tego po prostu wykonując potęgowanie i upraszczając zapis:
$$(x-3)^2-1=0 \\
x^2-6x+9-1=0 \\
x^2-6x+8=0$$

Współczynniki: \(a=1,\;b=-6,\;c=8\)
$$Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot8=36-32=4 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{4}=2$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)-2}{2\cdot1}=\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)+2}{2\cdot1}=\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4$$

To oznacza, że miejscami zerowymi tej funkcji kwadratowej są \(x=2\) oraz \(x=4\).

Dodaj komentarz