Równania logarytmiczne to takie równania w których gdzieś w naszym logarytmie pojawia się niewiadoma \(x\). Ta niewiadoma może się pojawić zarówno w podstawie logarytmu, jak i w liczbie logarytmowanej.
$$log_{a}b=c \quad\Longleftrightarrow\quad a^c=b$$
To właśnie ta zależność będzie kluczem do rozwiązania poszczególnych równań. Zanim jednak przejdziemy do zadań, to jeszcze jedna ważna uwaga dotycząca założeń. Z definicji logarytmów wiemy, że:
$$a\gt0 \text{ oraz } a\neq1 \\
b\gt0$$
Znajomość tych założeń jest bardzo ważna, bo właśnie na ich podstawie będziemy często odrzucać jakieś rozwiązania.
Na początku zapiszmy sobie nasze założenia dotyczące niewiadomej \(x\):
$$x\gt0 \;\land\; x\neq1$$
Mając założenia możemy przystąpić do przekształcenia równania logarytmicznego:
$$log_{x}9=2 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2=9$$
Powstało nam proste równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać.
$$x^2=9 \\
x=3 \;\lor\; x=-3$$
Ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo nie spełnia ono naszych założeń, zatem jedynym poprawnym rozwiązaniem jest \(x=3\).
Ponownie na początku zapisujemy założenia:
$$x\gt0 \;\land\; x\neq1$$
Teraz przekształcamy równanie logarytmiczne:
$$log_{x}27=3 \quad\Longleftrightarrow\quad x^3=27$$
Co prawda powstało nam równanie trzeciego stopnia, ale jest ono jednym z tych, które powinniśmy obliczyć w pamięci:
$$x^3=27 \\
x=3$$
Tym razem otrzymaliśmy jedno rozwiązanie, jest ono zgodne z założeniami, zatem jest to prawidłowa odpowiedź.
Zapisujemy założenia:
$$x\gt0 \;\land\; x\neq1$$
Teraz przekształcamy równanie logarytmiczne:
$$log_{x}\frac{1}{25}=-2 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{-2}=\frac{1}{25}$$
Z działu potęg wiemy, że podnoszenie liczby do potęgi ujemnej związane jest z odwróceniem liczby potęgowanej. Wtedy pozbędziemy się tego minusa z wykładnika. Zatem możemy zapisać, że:
$$x^{-2}=\frac{1}{25} \text{ to to samo, co } \left(\frac{1}{x}\right)^2=\frac{1}{25}$$
Jaka liczba podniesiona do kwadratu daje wynik \(\frac{1}{25}\)? Oczywiście \(\frac{1}{5}\) oraz \(-\frac{1}{5}\). Zatem nasz iks (który znalazł się w mianowniku) może być równy:
$$x=5 \;\lor\; x=-5$$
Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo jest niezgodne z założeniami, zatem zostaje nam jedynie \(x=5\).
To zadanie różni się tym od poprzednich, że tym razem w podstawie logarytmu mamy wyrażenie \(4x\), a nie \(x\). To wiele nie zmienia, ale wpływa chociażby na założenia, bo tym razem, nasze założenia będą takie:
$$4x\gt0 \;\land\; 4x\neq1 \\
x\gt0 \;\land\; x\neq\frac{1}{4}$$
Przekształćmy teraz równanie logarytmiczne:
$$log_{4x}9=2 \quad\Longleftrightarrow\quad (4x)^2=9$$
Jak rozwiązać to powstałe równanie kwadratowe? Możemy najpierw wykonać potęgowanie, a następnie obliczyć całość tradycyjnie metodą delty. Obliczenia wyglądałyby w ten sposób:
$$(4x)^2=9 \\
16x^2=9 \\
16x^2-9=0$$
Współczynniki: \(a=16,\;b=0,\;c=-9\)
$$∆=b^2-4ac \\
∆=0^2-4\cdot16\cdot(-9) \\
∆=0-(-576) \\
∆=576 \\
\quad \\
\sqrt{∆}=\sqrt{576}=24$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a}=\frac{-0-24}{32}=-\frac{24}{32}=-\frac{3}{4} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a}=\frac{-0+24}{32}=\frac{24}{32}=\frac{3}{4}$$
Z założeń odrzucamy ujemne rozwiązanie i zostaje nam, że \(x=\frac{3}{4}\).
Można też to równanie kwadratowe \((4x)^2=9\) obliczyć nieco sprytniej. Jaka liczba podniesiona do kwadratu daje nam wynik równy \(9\)? Oczywiście jest to \(3\) lub \(-3\). Zatem możemy zapisać, że:
$$4x=3 \quad\lor\quad 4x=-3 \\
x=\frac{3}{4} \quad\lor\quad x=-\frac{3}{4}$$
Ujemne rozwiązanie także odrzucamy ze względu na założenia i ponownie zostaje nam \(x=\frac{3}{4}\).
Zaczynamy tradycyjnie od założeń, tym razem będą one związane z liczbą logarytmowaną, bo to tam znalazła się nasza niewiadoma. Liczba logarytmowana musi być większa od zera, zatem:
$$2x-5\gt0 \\
2x-5\gt5 \\
x\gt2,5$$
Pojawienie się niewiadomej iks w innym miejscu nie zmienia toku rozumowania. W dalszym ciągu musimy przekształcić równanie logarytmiczne:
$$log_3(2x-5)=2 \quad\Longleftrightarrow\quad 3^2=2x-5$$
Powstało nam w ten sposób bardzo proste równanie do rozwiązania, z którego bezpośrednio wyliczymy wartość niewiadomej:
$$3^2=2x-5 \\
9=2x-5 \\
2x=14 \\
x=7$$
Otrzymany wynik jest zgodny z naszymi założeniami, zatem jest to poprawna odpowiedź.