Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Chcąc dodać do siebie dwa logarytmy o tej samej podstawie możemy skorzystać ze wzoru:
$$log_{a}b+log_{a}c=log_{a}(b\cdot c)$$
Jeżeli chcemy odjąć od siebie dwa logarytmy o tej samej podstawie, to możemy skorzystać ze wzoru:
$$log_{a}b-log_{a}c=log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)$$

Sprawdźmy jak te wzory są wykorzystywane w praktyce:

Przykład 1. Oblicz \(log_{2}4+log_{2}2\).

Oba logarytmy mają tą samą podstawę, więc możemy skorzystać ze wzoru na dodawanie logarytmów i zapisać, że:
$$log_{2}4+log_{2}2=log_{2}(4\cdot2)=log_{2}8=3$$

Patrząc na pierwszy przykład mogłoby się wydawać, że te wzory zapisane na początku nie są zbyt użyteczne, bo przecież równie dobrze moglibyśmy najpierw obliczyć logarytm \(log_{2}4\), potem drugi \(log_{2}2\) i na końcu dodalibyśmy do siebie te wyniki. Wtedy działanie wyglądałoby w następujący sposób:
$$log_{2}4+log_{2}2=2+1=3$$

Po co więc korzystamy z tych wzorów? Czasami może się okazać, że obliczenie poszczególnych logarytmów będzie bardzo trudne, a w zasadzie jedyną możliwością rozwiązania zadania będzie skorzystanie ze wzorów.

Przykład 2. Oblicz \(log_{6}4+log_{6}9\).

To jest przykład zadania w którym musimy wręcz skorzystać ze wzorów na dodawanie logarytmów. Nie jesteśmy w stanie samodzielnie obliczyć ile to jest \(log_{6}4\), ani ile to jest \(log_{6}9\). Jesteśmy natomiast w stanie obliczyć sumę tych logarytmów, bowiem:
$$log_{6}4+log_{6}9=log_{6}(4\cdot9)=log_{6}36=2$$

Przykład 3. Oblicz \(log_{2}24-log_{2}3\).

Tutaj ponownie nie jesteśmy w stanie obliczyć oddzielnie każdego z logarytmów, ale możemy skorzystać ze wzoru na różnicę logarytmów, upraszczając w ten sposób całość działania:
$$log_{2}24-log_{2}3=log_{2}\frac{24}{3}=log_{2}8=3$$

Przykład 4. Oblicz \(log_{5}20+log_{5}\frac{5}{4}\).

Skorzystamy ze wzoru na sumę logarytmów:
$$log_{5}20+log_{5}\frac{5}{4}=log_{5}\left(20\cdot\frac{5}{4}\right)=log_{5}\frac{100}{4}=log_{5}25=2$$

Dodaj komentarz