Logarytm w wykładniku potęgi

Jeżeli logarytm pojawia się w wykładniku potęgi, a podstawa logarytmu jest taka sama jak podstawa potęgi, to wbrew pozorom nie musimy obliczać wartości logarytmu, bo całe wyrażenie możemy obliczyć korzystając ze wzoru:
$$a^{log_{a}b}=b$$
Przykład 1. Oblicz \(3^{log_{3}17}\).

Podstawa potęgi jest równa \(3\). Podstawa logarytmu znajdującego się w wykładniku jest także równa \(3\). To oznacza, że jak najbardziej możemy zastosować omawiany wzór. W związku z tym:
$$3^{log_{3}17}=17$$

Przykład 2. Oblicz \(4^{log_{4}11}\).

Podstawa potęgi jest równa \(4\). Podstawa logarytmu znajdującego się w wykładniku jest także równa \(4\). Czyli w tym przypadku także możemy zastosować omawiany wzór. Zatem:
$$4^{log_{4}11}=11$$

Przykład 3. Oblicz \(6^{log_{2}4}\).

Podstawa potęgi jest równa \(6\). Podstawa logarytmu znajdującego się w wykładniku jest równa \(2\). To jest przykład zadania, w którym nie możemy wykorzystać naszego wzoru i musimy po prostu obliczyć wartość logarytmu znajdującego się w wykładniku. Mamy więc:
$$6^{log_{2}4}=6^2=36$$

Przykład 4. Oblicz \(25^{log_{5}3}\).

W tym przypadku podstawa potęgi jest równa \(25\), natomiast podstawa logarytmu jest równa \(5\). Teoretycznie więc nie zachodzą warunki do tego, by skorzystać ze wzoru na logarytm w wykładniku potęgi. Możemy jednak delikatnie przekształcić to działanie w taki sposób, by otrzymać w podstawie potęgi liczbę \(5\), bo przecież \(25=5^2\), zatem:
$$25^{log_{5}3}=5^{2^{log_{5}3}}=5^{2log_{5}3}=5^{log_{5}3^2}=5^{log_{5}9}=9$$

Przykład 5. Oblicz \(3^{2+log_{3}6}\).

To dość nietypowy przykład, ale to też jest sytuacja w której możemy wykorzystać nasz wzór. Aby jednak móc wykorzystać ten wzór, to musimy rozbić to działanie na dwa czynniki, tak aby w jednym wykładniku potęgi znalazła się liczba \(2\), a w drugim by znalazł się nasz \(log_{3}6\). Całość wyglądać będzie następująco:
$$3^{2+log_{3}6}=3^2\cdot3^{log_{3}6}=9\cdot6=54$$

Uwaga! Zwróć uwagę na znak mnożenia między \(3^2\) oraz \(3^{log_{3}6}\), tam musi być mnożenie, a nie dodawanie (wynika to wprost z własności potęg: \(a^{b+c}=a^b\cdot a^c\)).

Więcej wzorów z logarytmami znajdziesz tutaj:

Dodaj komentarz