Obliczanie logarytmów

Musimy odpowiedzieć sobie na pytanie – do jakiej potęgi należy podnieść \(3\), aby otrzymać \(9\). To akurat jest dość proste, bo przecież to \(3^2=9\), zatem rozwiązaniem tego logarytmu będzie na pewno \(2\):
$$log_{3}9=2$$

Nie ma co ukrywać, był to bardzo prosty przykład, ale z czasem pojawią się nieco trudniejsze z którymi nie poradzimy sobie licząc wszystko w pamięci. Bazując więc na tym prostym przykładzie omówmy prostą metodę rozwiązywania logarytmów. Zgodnie z naszą definicją logarytmu, chcąc obliczyć \(log_{3}9\) musimy rozwiązać równanie:
$$3^x=9$$

Jak rozwiązać takie nietypowe równanie? Wystarczy sprowadzić lewą i prawą stronę do tej samej podstawy potęgi. W tej sytuacji wystarczy więc zamienić dziewiątkę na \(3^2\). Otrzymamy wtedy:
$$3^x=3^2$$

Mając te same podstawy logarytmów po lewej i prawej stronie możemy już pozbyć się tych podstaw (nawet je możemy skreślić) i zostaje nam już tylko to, co było w wykładnikach potęg, czyli:
$$x=2$$

Drugi przykład jesteśmy także w stanie obliczyć w pamięci. Do jakiej potęgi musimy podnieść \(2\), aby otrzymać \(16\)? Oczywiście do czwartej, bo \(2^4=16\). To oznacza, że:
$$log_{2}16=4$$

Rozwiążmy jeszcze ten sam przykład metodą równań, sprowadzając lewą i prawą stronę równania do tej samej podstawy potęgi:
$$2^x=16 \\
2^x=2^4 \\
x=4$$

Tutaj również mamy bardzo prosty przykład logarytmu, bowiem da się go obliczyć bez problemów w pamięci. Musimy sobie ponownie odpowiedzieć na pytanie – do jakiej potęgi należy podnieść \(4\), aby otrzymać \(4\)? Oczywiście do potęgi pierwszej, bo \(4^1=4\). Zatem:
$$log_{4}4=1$$

Spróbujmy jeszcze rozwiązać ten sam przykład z wykorzystaniem naszej metody równań.
$$4^x=4 \\
4^x=4^1 \\
x=1$$

W tym momencie musimy już trochę pomyśleć. Do której potęgi musimy podnieść siódemkę i ósemkę, aby otrzymać wynik równy \(1\)? Tu przyda nam się zasada poznana w dziale potęg, która mówi nam o tym, że każda dowolna liczba podniesiona do potęgi zerowej daje wynik równy \(1\). To oznacza, że \(7^0=1\) oraz \(8^0=1\), zatem:
$$log_{7}1=0 \\
log_{8}1=0$$

Wykorzystując metodę równań otrzymalibyśmy następujące równanie:
$$7^x=1 \\
7^x=7^0 \\
x=0 \\
\quad \\
8^x=1 \\
8^x=8^0 \\
x=0$$

To jest pierwszy przykład w którym możemy mieć trudności z obliczeniem tego w pamięci. Kluczowa staje się w tym momencie metoda równań, którą ćwiczyliśmy na prostych przykładach i od razu do niej przejdziemy. Aby obliczyć \(log_{2}\frac{1}{8}\) musimy rozwiązać następujące równanie:
$$2^x=\frac{1}{8}$$

Musimy teraz zamienić \(\frac{1}{8}\) na potęgę o podstawie równej \(2\). Skoro \(8=2^3\), to \(\frac{1}{8}=2^{-3}\). To oznacza, że:
$$2^x=\frac{1}{8} \\
2^x=2^{-3} \\
x=-3$$

Zatem \(log_{2}\frac{1}{8}=-3\).

Aby obliczyć \(log_{\frac{1}{3}}9\) musimy rozwiązać następujące równanie:
$$\left(\frac{1}{3}\right)^x=9$$

Musimy teraz dziewiątkę po prawej stronie zamienić na potęgę o podstawie \(\frac{1}{3}\). Przyda nam się wiedza z działu potęg i pamiętanie o tym w tej sytuacji będziemy musieli podnieść liczbę do potęgi ujemnej. Skoro \(\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}\), to \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=9\). Zatem:
$$\left(\frac{1}{3}\right)^x=9 \\
\left(\frac{1}{3}\right)^x=\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \\
x=-2$$

To jedna z trudniejszych sytuacji z jakimi możemy się spotkać. Musimy odpowiedzieć na pytanie – do jakiej potęgi trzeba podnieść \(\frac{1}{4}\), aby otrzymać \(\frac{1}{2}\), czyli powstanie nam równanie:
$$\left(\frac{1}{4}\right)^x=\frac{1}{2}$$

Musimy teraz ustalić jak przekształcić ułamek \(\frac{1}{2}\) na potęgę, która miałaby w podstawie \(\frac{1}{4}\). Wiemy, że \(\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\). Jak teraz powiązać tę informację i zapisać to w formie potęgi? Musimy sobie w tym momencie przypomnieć wiedzę z działu potęg i pierwiastków.
$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

W związku z tym możemy zapisać, że: \(\sqrt[2]{\frac{1}{4}}=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}\).

Teraz możemy wrócić do naszego równania i otrzymamy:
$$\left(\frac{1}{4}\right)^x=\frac{1}{2} \\
\left(\frac{1}{4}\right)^x=\sqrt[2]{\frac{1}{4}} \\
\left(\frac{1}{4}\right)^x=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}} \\
x=\frac{1}{2}$$

To oznacza, że:
$$log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$