Mnożenie i dzielenie sum algebraicznych

Mnożenie i dzielenie sum algebraicznych przez liczbę oraz przez jednomian jest jedną z tych czynności, która zwłaszcza na początku sprawia spore problemy. Zobaczmy więc na czym polega trudność wykonywania mnożenia i dzielenia i na co należy zwracać szczególną uwagę.

Przypomnijmy sobie jeszcze czym są sumy algebraiczne. To nic innego jak wyrażenia typu \(2x+3y\) czy też \(5x-3y\). Są to więc tak naprawdę jednomiany połączone ze sobą znakiem dodawania lub odejmowania. W tym dziale będziemy więc chcieli mnożyć i dzielić takie sumy algebraiczne:
– przez liczby, otrzymując działania typu \(4\cdot(2x+3y)\)
– przez jednomiany, otrzymując działania typu \(4x\cdot(2x+3y)\)
– przez inne sumy algebraiczne, otrzymując działania typu \((2x+3y)\cdot(5x-3y)\)

Mnożenie sum algebraicznych przez liczbę
Aby zrozumieć mnożenie sum algebraicznych przez liczbę, to przypomnijmy sobie jak wykonujemy proste mnożenie jednomianów przez liczby. Zasada wykonywania tego typu działań jest prosta: mnożymy przez siebie poszczególne liczby i przepisujemy literkę. Przykładowo:
a) \(3\cdot x=3x\)
b) \(2\cdot4x=8x\)
c) \(3x\cdot5=15x\)
d) \(-3\cdot2x=-6x\)
e) \(-5\cdot(-2x)=10x\)

W powyższych przykładach mnożyliśmy liczbę przez pojedynczy jednomian, a teraz pomnożymy sumę algebraiczną znajdującą się w nawiasie przez jakąś liczbę. Tutaj mnożenie odbywa się w ten sposób, że liczbę stojącą przed nawiasem (lub tuż za nim) mnożymy przez każdy kolejny jednomian, który się w tym nawiasie znalazł.
a) \(4(3a+5)=4\cdot3a+4\cdot5=12a+20\)
b) \(4(3a+5b)=4\cdot3a+4\cdot5b=12a+20b\)
c) \(-2(7x+3y)=-2\cdot7x+(-2)\cdot3y=-14x+(-6y)=-14x-6y\)
d) \((a+2b-3c)(-2)=-2\cdot a+(-2)\cdot2b+(-2)\cdot(-3c)=-2a+(-4b)+6c=-2a-4b+6c\)
e) \(-(6x-2y+3z)=-6x+2y-3z\)

Dobrą praktyką (zwłaszcza na początku przygody z algebrą) jest używanie znaku dodawania po każdym kolejnym wymnożeniu, nawet jeśli mnożymy przez liczbę ujemną (dokładnie tak jak jest to rozpisane w przykładzie b) oraz c)). Dzięki temu wydzieleniu wymnożonych elementów będziemy mogli szybciej wykonać sprawdzenie i ewentualną poprawę błędów, a poza tym taki sposób zapisu pomaga w tym by się nie pogubić w obliczeniach. Nie jest to oczywiście konieczne (w wielu książkach jest to nawet pomijane), ale jeśli uczymy się dopiero tego zagadnienia, to łatwiej jest to zrozumieć kiedy sobie wszystko tak ładnie rozpiszemy.

Dzielenie sum algebraicznych przez liczbę
Mamy omówione mnożenie sum przez liczby to teraz spójrzmy na dzielenie. Zacznijmy od przypomnienia jak wyglądało dzielenie zwykłych jednomianów przez liczby. Tutaj sytuacja będzie podobna do tego co mieliśmy w mnożeniu – dzielimy przez siebie występujące tutaj liczby i dopisujemy odpowiednią literkę.
a) \(4x:2=2x\)
b) \(-9x:3=-3x\)
c) \(-8x:(-4)=2x\)
d) \(5x:5=1x=x\)

Spójrzmy zatem na sytuację w której będziemy wykonywać dzielenie sumy algebraicznej przez liczbę. Tutaj także jak to miało miejsce w przypadku mnożenia – każdy z wyrazów w nawiasie dzielimy przez liczbę, która znalazła się poza nawiasem. To dość ważna uwaga, bo często kiedy jest dodawanie i odejmowanie w nawiasach to zapominamy o tym by wymnożyć lub przedzielić wszystkie wyrazy, które się tam znalazły.
a) \((4a+8b+6c):2=4a:2+8b:2+6c:2=2a+4b+3c\)
b) \((9a+6b-12c):3=9a:3+6b:3+(-12c):3=3a+2b+(-4c)=3a+2b-4c\)
c) \((2x+3y):5=2x:5+3y:5=\frac{2}{5}x+\frac{3}{5}y\)
d) \((4x+6y):(-2)=4x:(-2)+6y:(-2)=-2x+(-3y)=-2x-3y\)

Rozpatrzyliśmy sobie chyba wszystkie możliwości mnożenia i dzielenia przez liczby. Czasami jednak zdarzy się, że trzeba będzie wykonać mnożenie lub dzielenie nie przez liczbę, a przez jednomian (np. przez \(3a\), przez \(2x\), przez \(\frac{1}{2}x\) itd.). Rozpatrzmy zatem kilka przykładów, rozpisując je krok po kroku.

Mnożenie sum algebraicznych przez jednomian
Przypomnijmy sobie jak wyglądało mnożenie jednomianów przez inne jednomiany:
a) \(4x\cdot2x=4\cdot x\cdot2\cdot x=4\cdot2\cdot x\cdot x=8x^2\)
b) \(3a\cdot2a\cdot5a=3\cdot a\cdot2\cdot a\cdot5\cdot a=30a^3\)
c) \(2a\cdot7b=2\cdot a\cdot7\cdot b=14ab\)
d) \(\frac{1}{4}a\cdot4a=\frac{1}{4}\cdot a\cdot4\cdot a=a^2\)

Teraz tak jak to miało miejsce w przypadku mnożenia sum algebraicznych przez liczby – musimy wymnożyć to co jest przed nawiasem z każdą wartością znajdującą się w nawiasie. Przykładowo:
a) \(2x(3x+4)=2x\cdot3x+2x\cdot4=6x^2+8x\)
a) \(2x(3x+4y)=2x\cdot3x+2x\cdot4y=6x^2+8xy\)
b) \(3a(b-c)=3a\cdot b+3a\cdot(-c)=3ab+(-3ac)=3ab-3ac\)
c) \((4x+2y)\cdot3xy=4x\cdot3xy+2y\cdot3xy=12x^2y+6xy^2\)
d) \((5x)^2=5x\cdot5x=25x^2\)

Dzielenie sum algebraicznych przez jednomian
Mała uwaga dotycząca dzielenia przez jednomiany – w matematyce nie istnieje coś takiego jak dzielenie przez zero. Stąd też często spotykać się będziemy z tak zwanymi założeniami, które będą nam wykluczać to nieistniejące działanie. Przypomnijmy sobie jak wyglądało dzielenie jednomianów przez inne jednomiany:
a) \(\require{cancel}6a:2a=\frac{6\cdot\cancel{a}}{2\cdot\cancel{a}}=3\)
zał: \(2a\neq0 \Rightarrow a\neq0\)
b) \(\require{cancel}4x:8x=\frac{4\cdot\cancel{x}}{8\cdot\cancel{x}}=\frac{1}{2}\)
zał: \(8x\neq0 \Rightarrow x\neq0\)
c) \(\require{cancel}10x^2:2x=\frac{10\cdot x\cdot\cancel{x}}{2\cdot\cancel{x}}=5x\)
zał: \(2x\neq0 \Rightarrow x\neq0\)

A teraz spójrzmy na dzielenie sum algebraicznych przez jednomian. Każde wyrażenie znajdujące się w nawiasie musimy podzielić przez jednomian znajdujący się za nawiasem:
a) \((15a+10):5a=15a:5a+10:5a=3+\frac{2}{a}\)
zał: \(5a\neq0 \Rightarrow a\neq0\)
b) \((15a+10b):5a=15a:5a+10b:5a=3+2\frac{b}{a}\)
zał: \(5a\neq0 \Rightarrow a\neq0\)
c) \((a+3b):3a=a:3a+3b:3a=\frac{1}{3}+\frac{b}{a}\)
zał: \(3a\neq0 \Rightarrow a\neq0\)

Mnożenie sum algebraicznych przez sumę
Na koniec zajmiemy się przykładami w których mnożymy między sobą jakieś dwie sumy. Aby wykonać takie mnożenie musimy wymnożyć między sobą wszystkie wyrazy i musimy pamiętać, aby zredukować wyrazy podobne. Przykładowo:
a) \((2x+3)\cdot(4x+5)=2x\cdot4x+2x\cdot5+3\cdot4x+3\cdot5= \\
=8x^2+10x+12x+15=8x^2+22x+15\)
b) \((2x+3y)\cdot(4x+5y)=2x\cdot4x+2x\cdot5y+3y\cdot4x+3y\cdot5y= \\
=8x^2+10xy+12xy+15y^2=8x^2+15y^2+22xy\)
c) \((2x-3y)\cdot(4x-5y)=2x\cdot4x+2x\cdot(-5y)+(-3y)\cdot4x+(-3y)\cdot(-5y)= \\
=8x^2-10xy-12xy+15y^2=8x^2+15y^2-22xy\)
d) \((x+2y)^2=(x+2y)\cdot(x+2y)=x\cdot x+x\cdot2y+2y\cdot x+2y\cdot2y= \\
x^2+2xy+2xy+4y^2=x^2+4y^2+4xy\)