Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia to takie wzory, które umożliwiają nam szybsze obliczenia na liczbach oraz wyrażeniach algebraicznych. Na poziomie podstawowym posługujemy się przede wszystkim trzema następującymi wzorami:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \\
(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Oprócz powyższych wzorów możemy jeszcze wyróżnić kilka innych, które przydadzą się przede wszystkim na poziomie rozszerzonym:

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \\
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \\
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

Do czego przydają się nam wzory skróconego mnożenia?
Teoretycznie ktoś mógłby powiedzieć, że wzory skróconego mnożenia nie mają w ogóle sensownego uzasadnienia, bo przecież nawet jeśli nie znamy wzoru na obliczenie ile to jest np. \((x+7)^2\), to nic nie stoi na przeszkodzie by wykonać ręcznie mnożenie \((x+7)\cdot(x+7)\). Możemy nawet spróbować rozwiązać ten przykład korzystając raz ze wzorów skróconego mnożenia, a raz wymnażając poszczególne wyrazy:
$$(x+7)^2=x^2+2\cdot x\cdot7+7^2=x^2+14x+49 \\
(x+7)^2=(x+7)\cdot(x+7)=x^2+7x+7x+49=x^2+14x+49$$

Wyszło nam oczywiście to samo, ale w tym momencie uwidoczniła nam się pierwsza zaleta wzorów skróconego mnożenia – są one znacznie szybsze od takiego tradycyjnego wymnażania, zwłaszcza jeśli nabierzemy wprawy i od razu zapiszemy wynik. Za tym z kolei idzie druga ważna cecha: stosując wzory skróconego mnożenia mniej rzeczy się rozpisuje, zapis jest więc czytelniejszy, a zatem ryzyko popełnienia błędu rachunkowego jest mniejsze (co widać zwłaszcza w działaniach z liczbami ujemnymi).

Trzecim powodem dla którego warto korzystać z tych wzorów jest fakt, że umożliwiają nam one wykonanie dość sprytnych obliczeń. Załóżmy, że chcemy się dowiedzieć ile to jest \(206^2\). Jeśli nie mamy kalkulatora to zmuszeni jesteśmy wykonać dość długie mnożenie pisemne. Znając jednak wzory skróconego mnożenia możemy sprytnie rozbić liczbę \(206\) na sumę \(200+6\). Co nam to da? Spójrzmy:
$$206^2=(200+6)^2=40000+2\cdot200\cdot6+36=40000+2400+36=42436$$

Dość trudną potęgę udało nam się obliczyć dosłownie w kilkanaście sekund.

Czwarty powód jest jednak chyba najistotniejszy. Otóż czy to na egzaminach, czy to na sprawdzianach, czy przede wszystkim na maturze – pojawiają się zadania, których bez wzorów skróconego mnożenia (i bez wprawy w ich stosowaniu) w ogóle nie ruszymy. Są to w szczególności różne zadania dowodowe, ale i nie tylko. Przykładowo musimy uprościć takie wyrażenie:
$$\frac{9a^2-4b^2}{3a-2b}$$

Tutaj aby rozwiązać to zadanie trzeba zauważyć, że licznik tego ułamka ma coś wspólnego ze wzorem skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\). Dostrzegając to, możemy przekształcić całość do następującej postaci:
$$\require{cancel}\frac{(3a+2b)\cancel{(3a-2b)}}{\cancel{3a-2b}}=3a+2b$$

Uproszczenie tego w ten sposób nie jest możliwe bez wiedzy o wzorach skróconego mnożenia. Na maturze tego typu zadanie mogłoby brzmieć nawet: Udowodnij, że jeżeli \(a\) oraz \(b\) są dodatnie, to wartość wyrażenia \(\frac{9a^2-4b^2}{3a-2b}\) jest także liczbą dodatnią. Wtedy należałoby właśnie uprościć cały zapis do postaci \(3a+2b\) i dopisać, że skoro \(a\) oraz \(b\) są dodatnie, to suma trzykrotności i dwukrotności tych liczb musi być także dodatnia.

Przećwiczmy sobie stosowanie wzorów skróconego mnożenia na kilku przykładach:

Przykład 1. Oblicz \((x+5)^2\).

Zastosujemy tutaj wzór: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).
$$(x+5)^2=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=x^2+10x+25$$

Przykład 2. Oblicz \((x-5)^2\).

Zastosujemy tutaj wzór: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
$$(x-5)^2=x^2-2\cdot x\cdot5+5^2=x^2-10x+25$$

Przykład 3. Oblicz \((x+5)(x-5)\).

Zastosujemy tutaj wzór: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).
$$(x+5)(x-5)=x^2-5^2=x^2-25$$

Przykład 4. Oblicz kwadrat liczby \(\sqrt{5}+3\).

Musimy obliczyć kwadrat liczby, czyli wykonać działanie \((\sqrt{5}+3)^2\)
Zastosujemy tutaj wzór: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).
$$(\sqrt{5}+3)^2=(\sqrt{5})^2+2\cdot\sqrt{5}\cdot3+3^2=5+6\sqrt{5}+9=14+6\sqrt{5}$$

Przykład 5. Oblicz \(201^2-199^2\).

To bardzo sprytne zadanie w którym możemy wykorzystać wzory skróconego mnożenia. Jeżeli przyjmiemy sobie, że \(a=201\) oraz \(b=199\) to możemy ten przykład rozpisać korzystając ze wzoru \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\). Podstawiając do tego wzoru nasze liczby otrzymamy:
$$201^2-199^2=(201+199)(201-199)=400\cdot2=800$$

Dodaj komentarz