Monotoniczność ciągu

W zależności od tego jak układają się wyrazy w naszym ciągu możemy wyróżnić:
Ciągi monotoniczne – rosnący, malejący, stały (to trzy główne) oraz niemalejący i nierosnący
Ciągi niemonotoniczne – wszystkie inne, które nie są monotoniczne

Ciągi monotoniczne
Ciąg rosnący – każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego. Można więc zapisać, że ciąg rosnący to taki w którym \(a_{n+1}\gt a_{n}\) np.:
$$2, 4, 6, 8, 10… \\
5, 10, 15, 20, 25… \\
-3, -2, -1, 0, 1…$$

Ciąg malejący – każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego. Można więc zapisać, że ciąg malejący to taki w którym \(a_{n+1}\lt a_{n}\) np.:
$$100, 90, 80, 70, 60… \\
3, 2, 1, 0, -1… \\
-15, -16, -17, -18, -19…$$

Ciąg stały – każda kolejna liczba jest taka sama jak poprzednia np.:
$$2, 2, 2, 2, 2… \\
5, 5, 5, 5, 5…$$

Ciąg niemalejący – ciąg w którym każdy kolejny wyraz jest większy lub równy poprzedniemu np.:
$$1, 1, 2, 2, 3… \\
2, 7, 7, 8, 9…$$

Ciąg nierosnący – ciąg w którym każdy kolejny wyraz jest mniejszy lub równy poprzedniemu np.:
$$4, 4, 3, 3, 2… \\
10, 10, 10, 9, 7…$$

Ciągi niemonotoniczne
Ciąg niemonotoniczny – ciąg który nie jest monotoniczny, czyli taki w którym kolejne wyrazy czasem rosną, czasem maleją np.:
$$-1, 2, -4, 8, -16… \\
-1, 2, 4, -8, 16… \\
1, -2, 3, -4, 5…$$

Badanie monotoniczności ciągu
Czasami w zadaniach (zwłaszcza dowodowych) przydaje się umiejętność badania monotoniczności ciągu, czyli wykazania że np. dany ciąg jest rosnący lub malejący.

Aby ciąg był rosnący to musi zajść dla każdego \(n\) relacja:
$$a_{n+1}\gt a_{n} \\
\text{czyli} \\
a_{n+1}-a_{n}\gt0$$

Aby ciąg był malejący to musi zajść dla każdego \(n\) relacja:
$$a_{n+1}\lt a_{n} \\
\text{czyli} \\
a_{n+1}-a_{n}\lt0$$

Krótko mówiąc – aby sprawdzić czy ciąg jest rosnący czy malejący musimy sprawdzić ile wynosi różnica \(a_{n+1}-a_{n}\). Po wykonaniu takiego odejmowania możemy otrzymać jeden z czterech wyników:
• Gdy otrzymany wynik jest liczbą dodatnią, to ciąg jest rosnący;
• Gdy otrzymany wynik jest liczbą ujemną, to ciąg jest malejący;
• Gdy otrzymany wynik jest równy \(0\), to ciąg jest stały;
• Gdy otrzymany wynik jest wyrażeniem z \(n\) to ciąg może być rosnący, malejący, stały, a nawet może być niemonotoniczny.

Jak dokonać takiego badania monotoniczności w praktyce? Nie można tego zrobić na zwykłych liczbach! Nie można więc obliczyć wartości np. pierwszego i drugiego wyrazu i powiedzieć, że skoro drugi wyraz ciągu jest większy od pierwszego to ciąg jest rosnący, bo to niekoniecznie będzie prawda (może to być przecież ciąg niemonotoniczny). Spójrzmy zatem jak poprawnie badać monotoniczność:

Przykład 1. Wykaż, że ciąg określony wzorem \(a_{n}=4n-2\) jest rosnący.

Wartość \(a_{n}\) jest podana w treści zadania. Aby obliczyć wartość \(a_{n+1}\) musimy we wzorze ciągu podstawić \(n+1\) w miejsce \(n\). Zatem:
$$a_{n}=4n-2 \\
a_{n+1}=4(n+1)-2=4n+3-2=4n+1$$

Wiemy już ile wynosi wartość \(a_{n}\) oraz \(a_{n+1}\), zatem możemy przejść do obliczenia różnicy \(a_{n+1}-a_{n}\):
$$a_{n+1}-a_{n}=(4n+1)-(4n-2)=4n+1-4n+2=3$$

Różnica \(a_{n+1}-a_{n}\) wyszła nam dodatnia, zatem ciąg ten jest na pewno rosnący.

Przykład 2. Zbadaj monotoniczność ciągu określonego wzorem \(a_{n}=-3n+5\).

Tak naprawdę choć treść zadania jest nieco zmieniona, to musimy wykonać dokładnie to samo co przed chwilą:
$$a_{n}=-3n+5 \\
a_{n+1}=-3(n+1)+5=-3n-3+5=-3n+2 \\
\quad \\
a_{n+1}-a_{n}=(-3n+2)-(-3n+5)=-3n+2+3n-5=-3$$

Różnica \(a_{n+1}-a_{n}\) jest ujemna, zatem ciąg ten jest na pewno malejący.

Przykład 3. Zbadaj monotoniczność ciągu określonego wzorem \(a_{n}=n^2-10n-4\).

Postępujemy dokładnie tak samo jak w poprzednich przykładach
$$a_{n}=n^2-10n-4 \\
a_{n+1}=(n+1)^2-10\cdot(n+1)-4=n^2+2n+1-10n-10-4=n^2-8n-13 \\
\quad \\
a_{n+1}-a_{n}=(n^2-8n-13)-(n^2-10n-4)=n^2-8n-13-n^2+10n+4=2n-9$$

Otrzymaliśmy wynik z wartości \(n\) i teraz musimy zastanowić się jak go poprawnie zinterpretować? Wiemy, że ciąg jest rosnący, gdy otrzymany wynik jest większy od zera, malejący gdy jest mniejszy od zera lub też stały gdy wynik jest równy zero. Zatem możemy zapisać, że:

• Ciąg jest rosnący, gdy:
$$2n-9\gt0 \\
2n\gt9 \\
n\gt4,5$$

Z racji tego, iż w ciągach \(n\) jest liczbą naturalną, to możemy zapisać, że ciąg jest rosnący dla \(n\in\{5,6,7,…\}\).

• Ciąg jest malejący, gdy:
$$2n-9\lt0 \\
2n\lt9 \\
n\lt4,5$$

Z racji tego, iż w ciągach \(n\) jest liczbą naturalną, to możemy zapisać, że ciąg jest rosnący dla \(n\in\{1,2,3,4\}\).

• Ciąg jest stały, gdy:
$$2n-9\lt0 \\
2n=9 \\
n=4,5$$

Z racji tego, iż w ciągach \(n\) jest liczbą naturalną, to ciąg nie będzie nigdy stały, bo nie ma takiego wyrazu jak \(n=4,5\).

Wniosek z tego jest taki, że nasz ciąg jest niemonotoniczny, ale potrafimy wydzielić przedział dla którego rośnie i dla którego maleje.

Ten konkretny przykład może się wydać nieco trudniejszy i mniej zrozumiały. Z tego też względu zobaczmy w ogóle jak wyglądają poszczególne wyrazy tego ciągu, a dowiemy się tego podstawiając do wzoru odpowiednio \(n=1, n=2, n=3,…\).
\(a_{1}=1^2-10\cdot1-4=-13 \\
a_{2}=2^2-10\cdot2-4=-20 \\
a_{3}=3^2-10\cdot3-4=-25 \\
a_{4}=4^2-10\cdot4-4=-28 \\
a_{5}=5^2-10\cdot5-4=-29 \\
a_{6}=6^2-10\cdot6-4=-28 \\
a_{7}=7^2-10\cdot7-4=-25 \\
a_{8}=8^2-10\cdot8-4=-20 \\
a_{9}=9^2-10\cdot9-4=-13 \\
a_{10}=10^2-10\cdot10-4=-4\)

Widzimy wyraźnie, że nasz ciąg od pierwszego do czwartego wyrazu jest malejący, a od piątego wyrazu w górę zaczyna być rosnący. Tak też wyszło z naszych obliczeń.

Zobacz też: Ciąg arytmetyczny
Zobacz też: Ciąg geometryczny

Dodaj komentarz