Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny to taki ciąg liczb w którym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o tak zwany iloraz ciągu arytmetycznego, który zapisujemy symbolem \(q\). Można więc powiedzieć, że ciąg geometryczny polega na tym, że każdy kolejny wyraz jest \(q\) razy większy lub mniejszy od poprzedniego.

Przykładowe ciągi geometryczne
\(1,2,4,8,16…\) – jest to ciąg geometryczny w którym pierwszy wyraz jest równy \(1\) (czyli \(a_{1}=1\)), a każda kolejna liczba jest wynikiem mnożenia przez \(2\) liczby poprzedniej (czyli \(q=2\)).

\(-2,-6,-18,-54,-162…\) – jest to ciąg geometryczny w którym pierwszy wyraz jest równy \(-2\) (czyli \(a_{1}=-2\)), a każda kolejna liczba jest wynikiem mnożenia przez \(3\) liczby poprzedniej (czyli \(q=3\)).

Zauważ, że pierwszy ciąg był rosnący, a drugi był malejący, mimo iż obydwa mają dodatnią wartość ilorazu \(q\). Wszystko dlatego, że w pierwszej sytuacji pierwszy wyraz był liczbą dodatnią, a w drugiej był liczbą ujemną.

\(1,-2,4,-8,16…\) – jest to ciąg geometryczny w którym pierwszy wyraz jest równy \(1\) (czyli \(a_{1}=1\)), a każda kolejna liczba jest wynikiem mnożenia przez \(-2\) liczby poprzedniej (czyli \(q=-2\)).

Zauważ, że ten ciąg jest niemonotoniczny – raz rośnie, raz maleje.

\(8, 4, 2, 1, \frac{1}{2}\) – jest to ciąg geometryczny w którym pierwszy wyraz jest równy \(8\) (czyli \(a_{1}=8\)), a a każda kolejna liczba jest wynikiem mnożenia przez \(\frac{1}{2}\) liczby poprzedniej (czyli \(q=\frac{1}{2}\)).

\(2,5,8,11,14…\) – jest to ciąg arytmetyczny w którym pierwszy wyraz jest równy \(2\) (czyli \(a_{1}=2\)), a każda kolejna liczba jest o \(3\) większa od poprzedniej (czyli \(r=3\)).

\(-7, 7, 17,27,37…\) – jest to ciąg arytmetyczny w którym pierwszy wyraz jest równy \(-7\) (czyli \(a_{1}=-7\)), a każda kolejna liczba jest o 10 większa od poprzedniej (czyli \(r=10\)).

\(36,34,32,30,28…\) – jest to ciąg arytmetyczny w którym pierwszy wyraz jest równy \(36\) (czyli \(a_{1}=36\)), a każda kolejna liczba jest o \(2\) mniejsza od poprzedniej (czyli \(r=-2\)).

\(7,6\frac{1}{2},6,5\frac{1}{2},5…\) – jest to ciąg arytmetyczny w którym pierwszy wyraz jest równy \(7\) (czyli \(a_{1}=7\)), a każda kolejna liczba jest o \(\frac{1}{2}\) mniejsza od poprzedniej (czyli \(r=-\frac{1}{2}\)).

Wzorami z których korzystamy przy ciągach geometrycznych są:
Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
\text{lub }a_{n}=a_{k}\cdot q^{n-k}$$

Z pierwszego wzoru korzystamy chcąc obliczyć wartość jakiegoś wyrazu ciągu geometrycznego w sytuacji w której znamy wartość pierwszego wyrazu oraz iloraz ciągu.
Drugi wzór ma to samo zastosowanie, ale skorzystamy z niego wtedy kiedy zamiast wartości pierwszego wyrazu znamy wartość \(k\)-tego wyrazu (np. trzeciego, siódmego).

Wzór na sumę \(n\) pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}, \text{ dla } q\neq1$$

Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

(nie muszą to być trzy pierwsze wyrazy, może to być np. piąty, szósty i siódmy wyraz)

Przykładowe zadania w których wykorzystamy powyższe wzory:

Przykład 1. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego w którym \(q=2\) oraz \(a_{7}=64\).

Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{7}=a_{1}\cdot q^{7-1} \\
a_{7}=a_{1}\cdot q^6 \\
64=a_{1}\cdot q^6 \\
64=a_{1}\cdot 2^6 \\
64=a_{1}\cdot64 \\
a_{1}=1$$

Przykład 2. Wyznacz piąty wyraz ciągu geometrycznego w którym \(q=3\) oraz \(a_{1}=4\).

Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot q^{5-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot 3^4 \\
a_{5}=4\cdot3^4 \\
a_{5}=4\cdot81 \\
a_{5}=364$$

Przykład 3. Wyznacz iloraz rosnącego ciągu geometrycznego w którym \(a_{1}=\frac{1}{4}\) oraz \(a_{5}=4\).

Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot q^{5-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot q^4 \\
4=\frac{1}{4}\cdot q^4 \quad\bigg/\cdot4 \\
16=q^4 \\
q=2 \;\lor\; q=-2$$

Wyszły nam dwa rozwiązania. Warto w ogóle zapamiętać, że kiedy \(q\) będzie podniesione do potęgi parzystej to zawsze nam będą wychodzić dwa rozwiązania – dodatnie oraz ujemne. Czasem jednak jedno z tych rozwiązań trzeba odrzucić i tak też jest w tym przypadku. W treści zadania mamy informację, że nasz ciąg ma być rosnący. Sprawdźmy co się zatem stanie w obydwu otrzymanych przypadkach:
a) gdy \(q=2\) to ciąg wygląda tak: \(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4…\)
b) gdy \(q=-2\) to ciąg wygląda tak: \(\frac{1}{4}, -\frac{1}{2}, 1, -2, 4…\)

Ciąg jest więc rosnący tylko wtedy kiedy \(q=2\), stąd też to jest jedyne dobre rozwiązanie. Gdyby pytano nas o ciąg niemonotoniczny, to prawidłowym rozwiązaniem byłoby \(q=-2\).

Spoglądając na powyższy przykład musimy jeszcze poruszyć jedną kwestię. Kiedy mówiliśmy o ciągach arytmetycznych to omawiając własności takich ciągów wspominaliśmy sobie, że kiedy różnica ciągu \(r\) jest większa od zera to ciąg jest rosnący, a kiedy różnica \(r\) jest mniejsza od zera to ciąg jest malejący. W przypadku ciągów geometrycznych na podstawie wartości ilorazu \(q\) takich wniosków wyciągać nie możemy. Jeżeli gdzieś wyjdzie nam, że \(q\) jest dodatnie, to wcale nie oznacza, że ciąg jest rosnący. W przykładach na początku tematu mieliśmy przecież taki przypadek, gdzie \(q\) było dodatnie, a ciąg był malejący (bo na początku stała liczba ujemna). Z tego też względu zawsze w takich zadaniach jak to powyższe dobrze jest sprawdzić jak faktycznie wygląda ciąg dla danego ilorazu \(q\).

Przykład 4. Wyznacz liczbę wyrazów ciągu geometrycznego w którym \(a_{1}=\frac{1}{8}\), \(a_{n}=16\) oraz \(q=2\).

Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
16=\frac{1}{8}\cdot2^{n-1} \quad\bigg/\cdot8 \\
128=2^{n-1} \\
2^7=2^{n-1} \\
7=n-1 \\
n=8$$

To oznacza, że ten ciąg ma \(8\) wyrazów.

Przykład 5. Oblicz sumę ośmiu pierwszych wyrazów rosnącego ciągu geometrycznego w którym \(a_{1}=\frac{1}{2}\) oraz \(a_{3}=2\).

Skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$

Do obliczenia sumy ośmiu pierwszych wyrazów potrzebujemy \(a_{1}\) (to akurat mamy), \(a_{8}\) oraz \(q\) (te dwa ostatnie musimy obliczyć). Zacznijmy od obliczenia ilorazu \(q\), co uczynimy za pomocą wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego, podstawiając tam wartości \(a_{1}\) oraz \(a_{3}\).
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{3}=a_{1}\cdot q^{3-1} \\
a_{3}=a_{1}\cdot q^2 \\
2=\frac{1}{2}\cdot q^2 \quad\bigg/\cdot2 \\
q^2=4 \\
q=2 \;\lor\; q=-2$$

Wyszły nam dwie wartości ilorazu \(q\), ale jedną z nich musimy odrzucić. Którą? Kluczem do tego jest informacja o tym, że ciąg ma być rosnący. Wiemy, że \(a_{1}=\frac{1}{2}\) oraz \(a_{3}=2\). Gdyby \(q\) było równe \(-2\), to drugi wyraz wyszedłby nam ujemny, bo \(a_{2}=\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1\). To by oznaczało, że taki ciąg jest niemonotoniczny (raz by rósł, raz malał). Nas interesuje to, aby to był ciąg rosnący i taki też będzie dla \(q=2\).

Znając wartość ilorazu możemy z tego samego wzoru obliczyć wartość ósmego wyrazu ciągu:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{8}=a_{1}\cdot q^{8-1} \\
a_{8}=a_{1}\cdot q^7 \\
a_{8}=\frac{1}{2}\cdot2^7 \\
a_{8}=\frac{1}{2}\cdot128 \\
a_{8}=64$$

Teraz mając już obliczoną wartość ósmego wyrazu bez problemu obliczymy sumę ośmiu pierwszych wyrazów:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \\
S_{8}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-2^8}{1-2} \\
S_{8}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-256}{-1} \\
S_{8}=\frac{1}{2}\cdot\frac{-255}{-1} \\
S_{8}=\frac{1}{2}\cdot255 \\
S_{8}=127,5$$

Przykład 6. Dany jest ciąg trzech liczb: \(\sqrt{2}-1; \frac{1}{3}; \frac{\sqrt{2}+1}{9}\). Udowodnij, że jest to ciąg geometryczny.

Jeżeli ma to być ciąg geometryczny to musi zajść następująca relacja:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Sprawdźmy zatem, czy powyższa zależność zachodzi w tym ciągu, podstawiając poszczególne wyrazy do tego wzoru:
$$\left(\frac{1}{3}\right)^2=(\sqrt{2}-1)\cdot(\frac{\sqrt{2}+1}{9}) \\
\frac{1}{9}=\frac{(\sqrt{2}-1)\cdot(\sqrt{2}+1)}{9}$$
W liczniku korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), zatem:
$$\frac{1}{9}=\frac{2-1}{9} \\
\frac{1}{9}=\frac{1}{9} \\
L=P$$

Skoro lewa strona jest równa prawej, to udało nam się przeprowadzić dowód, że jest to ciąg geometryczny.

Dodaj komentarz