Dziedzina funkcji

Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich argumentów (czyli iksów) dla których funkcja przyjmuje jakąś wartość. Bardzo często dziedziną funkcji jest po prostu zbiór liczb rzeczywistych, co oznacza że funkcja przyjmuje wartości dla dowolnego argumentu \(x\). Tak też będzie w przypadku standardowych funkcji liniowych czy kwadratowych, dzięki czemu do wzorów takich funkcji możemy podstawiać dowolne liczby. Czasami jednak będziemy mieć do czynienia z sytuacją, w której z jakichś powodów dziedzina funkcji będzie mniej lub bardziej ograniczona.

Co może powodować iż dziedzina będzie zawierała jakieś wykluczenia?
Zawężenie dziedziny może wynikać przede wszystkim z następujących sytuacji:
1. \(x\) znajdujący się w mianowniku ułamka np. \(y=\frac{5}{x}\) – jeżeli nasza niewiadoma \(x\) znajduje się w mianowniku ułamka, to musimy uwzględnić fakt iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), czyli że mianownik musi być różny od zera.
2. \(x\) znajdujący się pod pierwiastkiem parzystego stopnia np. \(y=\sqrt{3x}-5\) – tu trzeba pamiętać, że nie da się obliczyć pierwiastka z liczb ujemnych.
3. \(x\) znajdujący się w logarytmach np. \(log_{2}x\) – trzeba pamiętać, że podstawa logarytmu musi być liczbą większą od \(0\) i różną od \(1\), a liczba logarytmowana musi być większa od \(0\).

Z tych trzech powyższych sytuacji zdecydowanie najpopularniejszą jest ta pierwsza i to ona jako jedyna występuje na matematyce na poziomie podstawowym. Z sytuacjami z drugiego i trzeciego punktu spotkają się raczej uczniowie mający matematykę rozszerzoną.

Przykład 1. Określ dziedzinę funkcji \(f(x)=3x-\frac{8}{9}\).

W tym przypadku mamy funkcję liniową, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych – pod \(x\) możemy podstawić dowolną liczbę, obliczając w ten sposób wartość funkcji. Przykładowo:
$$f(1)=3\cdot1-\frac{8}{9}=3-\frac{8}{9}=2\frac{1}{9} \\
f(0)=3\cdot0-\frac{8}{9}=0-\frac{8}{9}=-\frac{8}{9} \\
f(\sqrt{2})=3\cdot\sqrt{2}-\frac{8}{9}=3\sqrt{2}-\frac{8}{9}$$

Dziedziną tej funkcji jest zatem \(x\in\mathbb{R}\).

Przykład 2. Określ dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{3}{x-2}\).

Tym razem nie możemy podstawić dowolnej liczby do wzoru funkcji. Ogranicza nas mianownik ułamka, a konkretniej wiedza o tym iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\). Gdybyśmy podstawili \(x=2\), to w mianowniku mielibyśmy właśnie \(2-2=0\). Każda inna liczba jest możliwa do podstawienia.

Dziedziną funkcji jest więc \(x\in\mathbb{R}\backslash\{2\}\).
Możemy to też zapisać w postaci przedziałów \(x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty)\).
Albo możemy po prostu zapisać, że \(x\neq2\).

Dodaj komentarz