Potęgi - zadania
Zadanie 10. (1pkt) Dla każdej dodatniej liczby \(a\) iloraz \(\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}\) jest równy:
A) \(a^{-3,9}\)
B) \(a^{-2}\)
C) \(a^{-1,3}\)
D) \(a^{1,3}\)
Wyjaśnienie:
Kreska ułamkowa jest formą dzielenia, stąd też całość możemy rozpisać jako:
$$\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}=a^{-2,6}:a^{1,3}=a^{-2,6-1,3}=a^{-3,9}$$
Zadanie 15. (2pkt) Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(a, b, c\) spełniają warunek \(abc=1\), to \(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc\).
Odpowiedź
Udowodniono sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie wartości potęgowanych wyrazów.
Podniesienie liczby do potęgi \(-1\) daje wynik, który jest odwrotnością potęgowanej liczby. To oznacza, że:
$$a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$
Krok 2. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.
Aby móc dodać do siebie te wszystkie ułamki musimy je sprowadzić do wspólnego mianownika. W naszym przypadku wspólnym mianownikiem będzie \(abc\), zatem:
$$\require{cancel}
\frac{1\cdot \cancel{a}bc}{\cancel{a}\cdot abc}+\frac{1\cdot a\cancel{b}c}{\cancel{b}\cdot abc}+\frac{1\cdot ab\cancel{c}}{\cancel{c}\cdot abc}= \\
=\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{ab}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{abc}$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z treści zadania wynika, że \(abc=1\), zatem:
$$a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{1}= \\
=bc+ac+ab=ab+ac+bc$$
W ten oto sposób dowód możemy uznać za zakończony.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy pod wartości \(a, b, c\) podstawisz konkretne liczby.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci \(\frac{bc+ac+ab}{abc}\) ale nie wyciągniesz z tego żadnych wniosków i nie zakończysz dowodzenia.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Zadanie 16. (2pkt) Wykaż, że liczba \(4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}\) jest podzielna przez \(17\).
Odpowiedź
Udowodniono wyłączając odpowiednie czynniki przed nawias.
Wyjaśnienie:
Aby wykazać, że dana liczba jest podzielna przez \(17\) to dobrze byłoby zamienić to dodawanie na iloczyn liczb (wyłączając przed nawias odpowiednie wartości) i to w taki sposób by jednym z czynników była albo liczba \(17\) albo jej wielokrotność. Na początku warto wyciągnąć przed nawias wartość \(4^{2017}\):
$$4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}= \\
=4^{2017}\cdot(1+4^1+4^2+4^3)= \\
=4^{2017}\cdot(1+4+16+64)= \\
=4^{2017}\cdot85= \\
=4^{2017}\cdot17\cdot5$$
Doprowadzenie równania do tej postaci kończy nasz dowód, bo skoro jednym z czynników równania jest liczba \(17\), to całe działanie jest także podzielne przez \(17\).
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyłączysz odpowiedni czynnik przed nawias i zapiszesz liczbę np. w postaci \(4^{2017}\cdot(1+4^1+4^2+4^3)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).
Zadanie 17. (2pkt) Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od \(1\) do \(16\), czyli \(1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot16\), jest podzielny przez \(2^{15}\).
Odpowiedź
Udowodniono zapisując liczby w postaci potęg i wyłączając wspólny czynnik przed nawias.
Wyjaśnienie:
W tym zadaniu należało zauważyć, że wszystkie liczby parzyste można zapisać używając dwójki w pewnej potędze:
$$2=2^1 \\
4=2^2 \\
6=2^1\cdot3 \\
8=2^3 \\
10=2^1\cdot5 \\
12=2^2\cdot3 \\
14=2^1\cdot7 \\
16=2^4$$
Gdybyśmy teraz pomnożyli przez siebie te wszystkie liczby parzyste to otrzymalibyśmy:
$$2^1\cdot2^2\cdot2^1\cdot3\cdot2^3\cdot2^1\cdot5\cdot2^2\cdot3\cdot2^1\cdot7\cdot2^4= \\
=2^{1+2+1+3+1+2+1+4}\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7= \\
2^{15}\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7$$
Udało nam się udowodnić, że mnożąc przez siebie wszystkie parzyste liczby wynik jest na pewno podzielny przez \(2^{15}\). To oznacza, że możemy teraz mnożyć to działanie przez cokolwiek (np. przez liczby nieparzyste, które pominęliśmy), a wynik nadal będzie podzielny przez \(2^{15}\), co należało udowodnić.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozbijesz liczby na takie, które mają w potędze dwójkę.
ALBO
• Gdy rozłożysz poszczególne liczby na czynniki pierwsze.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Zadanie 18. (2pkt) Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej \(n\) liczba \(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\) jest wielokrotnością liczby \(10\).
Odpowiedź
Udowodniono wyłączając odpowiedni czynnik przed nawias.
Wyjaśnienie:
Nasze zadanie tak naprawdę sprowadza się do znalezienia sposobu na wyłączenie przed nawias dziesiątki (lub jej wielokrotności), co ostatecznie udowodniłoby fakt, że ta liczba będzie wielokrotnością \(10\). Całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n \\
3^{n+2}+3^n-2^{n+2}-2^n \\
3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1) \\
3^n\cdot10-2^n\cdot5 \\
3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot2\cdot5 \\
3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot10 \\
10\cdot(3^n-2^{n-1})$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz konkretne wartości liczbowe w miejsce niewiadomej \(n\).
1 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci \(3^n\cdot10-2^n\cdot5\) i nie udowodnisz dlaczego jest ona wielokrotnością liczby \(10\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Zadanie 19. (2pkt) Wykaż, że liczba \(6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}\) jest podzielna przez \(17\).
Odpowiedź
Udowodniono wyłączając odpowiednie czynniki przed nawias.
Wyjaśnienie:
Aby móc udowodnić, że wskazana liczba jest podzielna przez \(17\) najlepiej byłoby z całego zapisu wyłączyć liczbę \(17\) (lub jej wielokrotność) i właśnie w ten sposób udowodnimy wskazaną tezę.
Krok 1. Wyłączenie przed nawias wartości \(6^{98}\).
$$6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}= \\
=6^{98}\cdot(6^2-2\cdot6+10)= \\
=6^{98}\cdot(36-12+10)= \\
=6^{98}\cdot34=6^{98}\cdot2\cdot17$$
Krok 2. Interpretacja obliczeń i zakończenie dowodzenia.
Liczbę \(6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}\) przedstawiliśmy w formie mnożenia \(6^{98}\cdot2\cdot17\), którego jeden z czynników jest równy \(17\). To znaczy, że cała liczba jest podzielna przez \(17\), a wynikiem tego dzielenia byłoby \(6^{98}\cdot2\).
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyłączysz odpowiedni czynnik przed nawias np. otrzymując postać \(6^{98}\cdot(6^2-2\cdot6+10)\) lub \(6^{98}\cdot34\) (patrz: Krok 1.) i nie udowodnisz dlaczego ta liczba jest podzielna przez \(17\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Zadanie 20. (2pkt) Wykaż, że liczba \((1+2013^2)(1+2013^4)\) jest dzielnikiem liczby:
\(1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7\).
Odpowiedź
Udowodniono wyciągając przed nawias odpowiednie czynniki.
Wyjaśnienie:
Najprościej jest to zadanie udowodnić wyłączając wartość \((1+2013)\). Całość obliczeń wygląda następująco:
$$1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7= \\
=1\cdot(1+2013)+2013^2\cdot(1+2013)+2013^4\cdot(1+2013)+2013^6\cdot(1+2013)= \\
=(1+2013^2+2013^4+2013^6)\cdot(1+2013)= \\
(1+2013^2+2013^4+2013^6)\cdot2014$$
Teraz, wystarczy zauważyć, że:
$$(1+2013^2)(1+2013^4)=1+2013^2+2013^4+2013^6$$
To oznacza, że nasza liczba jest jak najbardziej podzielna przez \((1+2013^2)(1+2013^4)\), a wynikiem tego dzielenia będzie \(2014\).
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias otrzymując postać np. \(2014\cdot(1+2013^2+2013^4+2013^6)\) i nie zakończysz dowodzenia.
ALBO
• Gdy potraktujesz całą liczbę jako ciąg arytmetyczny i zapiszesz, że \(a_{1}=1\), \(q=2013\) oraz \(a_{8}=2013^7\), ale nie zakończysz dowodzenia.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Strona naprawdę super, mam nadzieję, że razem z nią zdam maturkę :D Poleciłam klasie :3 Byłoby fajnie gdyby pod koniec zadań można byłoby kliknąć żeby strona przekierowywała do video z kolejnym tematem :)
Dzięki za miłe słowa :) Co do pomysłu – planowałem ogólnie dawać spis tematów pod spodem lub na boku strony, ale strasznie dużo jest tych działów i zrobiłby się lekki chaos. Jak kiedyś będę różne modernizacje przeprowadzał to pomyślę nad różnymi rozwiązaniami ;)
w zad 4 przy potędze powinien być minus ???
(x/y)^-5 jest wzięte z odpowiedzi :) Przypatrz się dobrze