Potęgi – zadania maturalne

\(2^{-3}\)

Musimy wykonać działania na potęgach, pamiętając że \(32=2^5\) oraz \(\frac{1}{8}=2^{-3}\), zatem:
$$32^{-3}:\left(\frac{1}{8}\right)^4=(2^5)^{-3}:(2^{-3})^4= \\
=2^{5\cdot(-3)}:2^{-3\cdot4}=2^{-15}:2^{-12}=2^{-15-(-12)}=2^{-3}$$

\(1\)

Tego zadania nie musimy tak naprawdę obliczać, bo niezależnie od tego jaka wartość wyjdzie nam w nawiasie (ważne tylko by była różna od zera, a ta na pewno będzie, bo są same liczby dodatnie) to po podniesieniu jej do potęgi zerowej otrzymamy wynik równy \(1\).

\(3^{16}\)

Z zaprezentowanych odpowiedzi wynika, że musimy zarówno \(81\) jak i \(9\) zapisać w postaci potęgi liczby \(3\), a następnie wykonać poprawnie działania na potęgach. Skoro \(81=3^4\) oraz \(9=3^2\), to:
$$81^2\cdot9^4=(3^4)^2\cdot(3^2)^4=3^{4\cdot2}\cdot3^{2\cdot4}= \\
=3^8\cdot3^8=3^{8+8}=3^{16}$$

\(\left(\frac{x}{y}\right)^{-5}\)

Jedyną prawidłową zależnością jest ta, która znalazła się w drugiej odpowiedzi, bowiem podnoszenie liczby do potęgi ujemnej jest związane z potęgowaniem liczby odwrotnej. Tak też będzie i w tym przypadku:
$$\left(\frac{x}{y}\right)^{-5}=\left(\frac{y}{x}\right)^{5}$$

\(9^{-1}\)

Naszym zadaniem jest poprawne wykonanie działań na potęgach, pamiętając o tym że \(3^2=9\). Całość krok po kroku możemy rozpisać w następujący sposób:
$$9^{-5}\cdot3^{8}=9^{-5}\cdot3^{2\cdot4}=9^{-5}\cdot(3^2)^4= \\
=9^{-5}:9^{4}=9^{-5+4}=9^{-1}$$

\(3\)

Z racji tego iż nie mamy żadnych wzorów na dodawanie potęg, to musimy wykazać się sprytem i wyłączyć wspólny czynnik przed nawias:
$$\require{cancel}
\frac{3^{27}+3^{26}}{3^{26}+3^{25}}=\frac{3^{26}\cdot\cancel{(3+1)}}{3^{25}\cdot\cancel{(3+1)}}= \\
=\frac{3^{26}}{3^{25}}=3^{26-25}=3^1=3$$

\(2^{2013}\)

Potęgowanie to zwielokrotnione mnożenie. Możemy więc \(2^{2014}\) zapisać jako \(2\cdot2^{2013}\), a tę dwójkę którą wyłączyliśmy możemy skrócić z ułamkiem \(\frac{1}{2}\). Otrzymamy wtedy:
$$\frac{1}{2}\cdot2^{2014}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2^{2013}=1\cdot2^{2013}=2^{2013}$$

Ewentualnie możemy zamienić ułamek \(\frac{1}{2}\) na potęgę \(2^{-1}\) i wykonać poprawnie działania na potęgach:
$$\frac{1}{2}\cdot2^{2014}=2^{-1}\cdot2^{2014}=2^{-1+2014}=2^{2013}$$

\(2^{57}\)

Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie poniższego równania:
$$\frac{1}{2}\cdot(4^{28}+4^{28}+4^{28}+4^{28})=...$$

Warto zauważyć, że mamy cztery razy dodawanie liczby \(4^{28}\), co możemy zapisać oczywiście jako \(4\cdot4^{28}\). Dostrzeżenie tego faktu jest tak naprawdę kluczem do rozwiązywania tego typu zadań. Na sam koniec musimy już tylko wykonać poprawnie działania na potęgach, tak aby w podstawie potęgi znalazła się liczba \(2\).
$$\frac{1}{2}\cdot4\cdot4^{28}=2\cdot4^{28}= \\
=2\cdot(2^2)^{28}=2^1\cdot2^{56}=2^{57}$$

\(5^{4}\)

Liczbę \(45\) znajdującą się w mianowniku możemy rozbić na iloczyn \(9\cdot5\), zatem:
$$\require{cancel}
\frac{9^5\cdot5^9}{45^5}=\frac{9^5\cdot5^9}{(9\cdot5)^5}=\frac{\cancel{9^5}\cdot5^9}{\cancel{9^5}\cdot5^5}= \\
=5^9:5^5=5^{9-5}=5^4$$

\(a^{-3,9}\)

Kreska ułamkowa jest formą dzielenia, stąd też całość możemy rozpisać jako:
$$\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}=a^{-2,6}:a^{1,3}=a^{-2,6-1,3}=a^{-3,9}$$

\(6\)

$$\require{cancel}
\frac{7^6\cdot6^7} {42^6}=\frac{7^6\cdot6^7}{(7\cdot6)^6}=\frac{\cancel{7^6}\cdot6^7}{\cancel{7^6}\cdot6^6}= \\
=6^7:6^6=6^{7-6}=6^1=6$$

\(4\)

Aby móc rozwiązać to zadanie to musimy liczbę \(20\) rozbić na iloczyn \(4\cdot5\), a następnie wykonać poprawnie działania na potęgach. Całość krok po kroku będzie wyglądać następująco:
$$\require{cancel}\frac{4^5\cdot5^4}{20^4}=\frac{4^5\cdot5^4}{(4\cdot5)^4}=\frac{4^5\cdot\cancel{5^4}}{4^4\cdot\cancel{5^4}}=\frac{4^5}{4^4}= \\
=4^5:4^4=4^{5-4}=4^1=4$$

\(\left(\frac{5}{2}\right)^8\)

Pamiętając o tym, że \(16=2^4\), a także korzystając ze wzorów \((a^x)^y=a^{x\cdot y}\) oraz \(a^{-x}=\frac{1}{a^{x}}\) możemy całość rozpisać w następujący sposób:
$$5^8\cdot16^{-2}=5^8\cdot(2^4)^{-2}=5^8\cdot2^{-8}= \\
5^8\cdot\frac{1}{2^8}=\frac{5^{8}}{2^{8}}=\left(\frac{5}{2}\right)^8$$

\(9\cdot\sqrt[4]{3}\)

Przyglądając się odpowiedziom od razu możemy odrzucić odpowiedź \(D\), bowiem mnożąc dwie liczby o tej samej podstawie potęgi musimy dodać do siebie wykładniki tych potęg. Zatem w odpowiedzi \(D\) otrzymalibyśmy:
$$3^9\cdot3^{\frac{1}{4}}=3^{9+\frac{1}{4}}=3^{9\frac{1}{4}}$$

Po pozostałych odpowiedziach widzimy, że interesuje nas odpowiedź w której pojawi się \(\sqrt[4]{3}\). Ułamek \(\frac{9}{4}\) możemy zapisać jako \(2\frac{1}{4}\) i taki zapis znacznie nam uprości rozwiązanie tego zadania:
$$3^{\frac{9}{4}}=3^{2+\frac{1}{4}}=3^2\cdot3^{\frac{1}{4}}=9\cdot\sqrt[4]{3}$$

Udowodniono sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika.

Krok 1. Obliczenie wartości potęgowanych wyrazów.
Podniesienie liczby do potęgi \(-1\) daje wynik, który jest odwrotnością potęgowanej liczby. To oznacza, że:
$$a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$

Krok 2. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.
Aby móc dodać do siebie te wszystkie ułamki musimy je sprowadzić do wspólnego mianownika. W naszym przypadku wspólnym mianownikiem będzie \(abc\), zatem:
$$\require{cancel}
\frac{1\cdot \cancel{a}bc}{\cancel{a}\cdot abc}+\frac{1\cdot a\cancel{b}c}{\cancel{b}\cdot abc}+\frac{1\cdot ab\cancel{c}}{\cancel{c}\cdot abc}= \\
=\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{ab}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{abc}$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z treści zadania wynika, że \(abc=1\), zatem:
$$a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{1}= \\
=bc+ac+ab=ab+ac+bc$$

W ten oto sposób dowód możemy uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy pod wartości \(a, b, c\) podstawisz konkretne liczby.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci \(\frac{bc+ac+ab}{abc}\) ale nie wyciągniesz z tego żadnych wniosków i nie zakończysz dowodzenia.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono wyłączając odpowiednie czynniki przed nawias.

Aby wykazać, że dana liczba jest podzielna przez \(17\) to dobrze byłoby zamienić to dodawanie na iloczyn liczb (wyłączając przed nawias odpowiednie wartości) i to w taki sposób by jednym z czynników była albo liczba \(17\) albo jej wielokrotność. Na początku warto wyciągnąć przed nawias wartość \(4^{2017}\):
$$4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}= \\
=4^{2017}\cdot(1+4^1+4^2+4^3)= \\
=4^{2017}\cdot(1+4+16+64)= \\
=4^{2017}\cdot85= \\
=4^{2017}\cdot17\cdot5$$

Doprowadzenie równania do tej postaci kończy nasz dowód, bo skoro jednym z czynników równania jest liczba \(17\), to całe działanie jest także podzielne przez \(17\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyłączysz odpowiedni czynnik przed nawias i zapiszesz liczbę np. w postaci \(4^{2017}\cdot(1+4^1+4^2+4^3)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Udowodniono zapisując liczby w postaci potęg i wyłączając wspólny czynnik przed nawias.

W tym zadaniu należało zauważyć, że wszystkie liczby parzyste można zapisać używając dwójki w pewnej potędze:
$$2=2^1 \\
4=2^2 \\
6=2^1\cdot3 \\
8=2^3 \\
10=2^1\cdot5 \\
12=2^2\cdot3 \\
14=2^1\cdot7 \\
16=2^4$$

Gdybyśmy teraz pomnożyli przez siebie te wszystkie liczby parzyste to otrzymalibyśmy:
$$2^1\cdot2^2\cdot2^1\cdot3\cdot2^3\cdot2^1\cdot5\cdot2^2\cdot3\cdot2^1\cdot7\cdot2^4= \\
=2^{1+2+1+3+1+2+1+4}\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7= \\
2^{15}\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7$$

Udało nam się udowodnić, że mnożąc przez siebie wszystkie parzyste liczby wynik jest na pewno podzielny przez \(2^{15}\). To oznacza, że możemy teraz mnożyć to działanie przez cokolwiek (np. przez liczby nieparzyste, które pominęliśmy), a wynik nadal będzie podzielny przez \(2^{15}\), co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozbijesz liczby na takie, które mają w potędze dwójkę.
ALBO
• Gdy rozłożysz poszczególne liczby na czynniki pierwsze.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono wyłączając odpowiedni czynnik przed nawias.

Nasze zadanie tak naprawdę sprowadza się do znalezienia sposobu na wyłączenie przed nawias dziesiątki (lub jej wielokrotności), co ostatecznie udowodniłoby fakt, że ta liczba będzie wielokrotnością \(10\). Całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n \\
3^{n+2}+3^n-2^{n+2}-2^n \\
3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1) \\
3^n\cdot10-2^n\cdot5 \\
3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot2\cdot5 \\
3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot10 \\
10\cdot(3^n-2^{n-1})$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz konkretne wartości liczbowe w miejsce niewiadomej \(n\).
1 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci \(3^n\cdot10-2^n\cdot5\) i nie udowodnisz dlaczego jest ona wielokrotnością liczby \(10\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono wyłączając odpowiednie czynniki przed nawias.

Aby móc udowodnić, że wskazana liczba jest podzielna przez \(17\) najlepiej byłoby z całego zapisu wyłączyć liczbę \(17\) (lub jej wielokrotność) i właśnie w ten sposób udowodnimy wskazaną tezę.

Krok 1. Wyłączenie przed nawias wartości \(6^{98}\).
$$6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}= \\
=6^{98}\cdot(6^2-2\cdot6+10)= \\
=6^{98}\cdot(36-12+10)= \\
=6^{98}\cdot34=6^{98}\cdot2\cdot17$$

Krok 2. Interpretacja obliczeń i zakończenie dowodzenia.
Liczbę \(6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}\) przedstawiliśmy w formie mnożenia \(6^{98}\cdot2\cdot17\), którego jeden z czynników jest równy \(17\). To znaczy, że cała liczba jest podzielna przez \(17\), a wynikiem tego dzielenia byłoby \(6^{98}\cdot2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyłączysz odpowiedni czynnik przed nawias np. otrzymując postać \(6^{98}\cdot(6^2-2\cdot6+10)\) lub \(6^{98}\cdot34\) (patrz: Krok 1.) i nie udowodnisz dlaczego ta liczba jest podzielna przez \(17\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono wyciągając przed nawias odpowiednie czynniki.

Najprościej jest to zadanie udowodnić wyłączając wartość \((1+2013)\). Całość obliczeń wygląda następująco:
$$1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7= \\
=1\cdot(1+2013)+2013^2\cdot(1+2013)+2013^4\cdot(1+2013)+2013^6\cdot(1+2013)= \\
=(1+2013^2+2013^4+2013^6)\cdot(1+2013)= \\
(1+2013^2+2013^4+2013^6)\cdot2014$$

Teraz, wystarczy zauważyć, że:
$$(1+2013^2)(1+2013^4)=1+2013^2+2013^4+2013^6$$

To oznacza, że nasza liczba jest jak najbardziej podzielna przez \((1+2013^2)(1+2013^4)\), a wynikiem tego dzielenia będzie \(2014\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias otrzymując postać np. \(2014\cdot(1+2013^2+2013^4+2013^6)\) i nie zakończysz dowodzenia.
ALBO
• Gdy potraktujesz całą liczbę jako ciąg arytmetyczny i zapiszesz, że \(a_{1}=1\), \(q=2013\) oraz \(a_{8}=2013^7\), ale nie zakończysz dowodzenia.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.