Środek odcinka

W tym temacie dowiemy się jak wyznaczać środek odcinka w układzie współrzędnych oraz jak wykorzystywać wzór na środek odcinka w przykładowych zadaniach.

Wzór na środek odcinka:
Współrzędne środka odcinka \(AB\), gdzie \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) obliczymy ze wzoru:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

W praktyce bardzo często będziemy sobie rozbijać ten wzór na współrzędną iksową oraz igrekową punktu \(S=(x_{S};y_{S})\) w następujący sposób:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$$

Sprawdźmy zatem gdzie i jak będziemy wykorzystywać wzór na środek odcinka.

Przykład 1. Wyznacz współrzędne środka odcinka \(AB\) w którym \(A=(-3;7)\) oraz \(B=(5;1)\).

Sytuacja jest prosta, bowiem znając współrzędne krańców odcinka \(AB\) bez problemu wyznaczymy współrzędne środka tego odcinka. Podstawiając do wzoru odpowiednie współrzędne otrzymamy:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right) \\
S=\left(\frac{-3+5}{2};\frac{7+1}{2}\right) \\
S=\left(\frac{2}{2};\frac{8}{2}\right) \\
S=(1;4)$$

To oznacza, że odcinek \(AB\) ma swój środek w punkcie \(S=(1;4)\).

Jak widać na powyższym przykładzie – mając wzór i współrzędne interesujących nas punktów, jesteśmy w stanie bardzo szybko wyznaczyć środek odcinka. Zróbmy sobie zatem przykład nieco trudniejszy, gdzie tym razem współrzędne środka odcinka będą znane, ale nieznany będzie jeden z krańcowych punktów.

Przykład 2. Odcinek \(AB\) ma swój środek w punkcie \(S=(-3;-2)\). Wyznacz współrzędną punktu \(B\), wiedząc że \(A=(-7;1)\).

Zadanie jest proste, bo znamy współrzędne punktu \(S\), znamy też współrzędne punktu \(A\), zatem współrzędne punktu \(B\) są jedynymi niewiadomymi, które wyznaczymy sobie z wykorzystaniem wzoru na środek odcinka. W tego typu zadaniach dla przejrzystości obliczeń będziemy zazwyczaj oddzielnie obliczać współrzędną iksową i oddzielnie współrzędną igrekową.

Krok 1. Obliczenie \(x_{B}\).
Wiemy, że \(x_{S}=-3\) oraz że \(x_{A}=-7\), zatem:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
-3=\frac{-7+x_{B}}{2} \\
-6=-7+x_{B} \\
x_{B}=1$$

Krok 2. Obliczenie \(y_{B}\).
Wiemy, że \(y_{S}=-2\) oraz że \(y_{A}=1\), zatem:
$$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
-2=\frac{1+y_{B}}{2} \\
-4=1+y_{B} \\
y_{B}=-5$$

To oznacza, że \(B=(1;-5)\).

Przykład 3. Punkty \(A=(x_{A};6)\) oraz \(B=(4;y_{B})\) tworzą odcinek \(AB\), którego środkiem jest punkt \(S=(1;4)\). Wyznacz \(x_{A}\) oraz \(y_{B}\) tych punktów.

Wbrew pozorom zadanie jest podobne do poprzedniego. Tutaj także najłatwiej będzie posłużyć się rozbitą formą wzoru na środek odcinka. Obliczmy najpierw współrzędną iksową punktu \(A\), czyli \(x_{A}\). Wiedząc, że \(x_{S}=1\) oraz że \(x_{B}=4\) otrzymamy:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
1=\frac{x_{A}+4}{2} \\
2=x_{A}+4 \\
x_{A}=-2$$

I analogicznie obliczamy współrzędną igrekową punktu \(B\), czyli \(y_{B}\). Wiedząc, że \(y_{S}=4\) oraz że \(y_{A}=6\) otrzymamy:
$$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
4=\frac{6+y_{B}}{2} \\
8=6+y_{B} \\
y_{B}=2$$

To oznacza, że \(x_{A}=-2\) oraz \(y_{B}=2\), czyli współrzędne naszych punktów będą wyglądać następująco: \(A=(-2;6)\) oraz \(B=(4;2)\).

Zadania związane ze środkiem odcinka często idą w parze z długością odcinka. Zróbmy sobie zatem i taki przykład:

Przykład 4. Oblicz długość odcinka \(AB\), którego środkiem jest punkt \(S=(3;7)\), jeżeli \(A=(1;4)\).

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AS\).
Środek odcinka dzieli nam odcinek na dwie równe części. To oznacza, że możemy obliczyć długość odcinka \(AS\), a następnie mnożąc ją przez \(2\) otrzymamy długość odcinka \(AB\). Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|AS|=\sqrt{(x_{S}-x_{A})^2+(y_{S}-y_{A})^2} \\
|AS|=\sqrt{(3-1)^2+(7-4)^2} \\
|AS|=\sqrt{2^2+3^2} \\
|AS|=\sqrt{4+9} \\
|AS|=\sqrt{13}$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Jak już ustaliliśmy – odcinek \(AB\) będzie dwukrotnie dłuższy od odcinka \(AS\), zatem:
$$|AB|=2\cdot|AS| \\
|AB|=2\sqrt{13}$$

Zobacz też: Długość odcinka
0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments