Rozwiązywanie równań liniowych

Rozwiązywanie równań jest jedną z podstawowych umiejętności, dlatego w tym tekście rozwiejemy sobie wszelkie wątpliwości i na przykładach przeanalizujemy jak powinniśmy takie równania rozwiązywać.

Przykład 1. Rozpocznijmy od najprostszego przykładu równania:
$$x+5=9$$

Rozwiązanie takiego równania polega na tym, by dowiedzieć się jaka wartość liczbowa kryje się za wartością \(x\). Zanim przejdziemy do obliczeń musimy wiedzieć, że każde równanie ma zawsze dwie strony, lewą i prawą. Na powyższym przykładzie lewą stronę stanowi wartość \(x+5\), a prawą liczba \(9\). Pomiędzy tymi stronami jest znak równości, a to oznacza, że musimy znaleźć takiego \(x\), żeby lewa strona równania była równa prawej.

Pewnie tego typu zadanie jesteś w stanie zrobić w pamięci, ale właśnie na tym prostym przykładzie pokażmy mechanizm, którym będziemy rozwiązywać także nieco trudniejsze działania. Żeby rozwiązywać równania będziemy musieli doprowadzić do takiej sytuacji, aby po jednej stronie mieć naszą niewiadomą \(x\), a po drugiej całą resztę liczb. Żeby to zrobić będziemy musieli wykonywać działania matematyczne (w naszym przypadku będzie to odejmowanie), których dokonujemy jednocześnie po obydwu stronach naszego równania. Krótko mówiąc – jeśli obie strony (lewą i prawą) pomniejszymy o \(5\), to po lewej stronie pozostanie nam sam \(x\), a po prawej liczba \(9-5\), czyli \(4\). Wygląda to następująco:

$$x+5=9 \\
x+5\color{red}{-5}=9\color{red}{-5} \\
x=4$$

Oczywiście czerwone elementy w powyższych przykładach, służą jedynie zobrazowaniu tego w jaki sposób dokonujemy obliczeń. W rzeczywistości tego typu działania wykonujemy po prostu w pamięci. Często mówimy także o przenoszeniu liczby na drugą stronę ze zmianą znaku, co jest w zasadzie uproszczeniem zapisu tego, co właśnie zrobiliśmy.

Powiedzmy sobie jeszcze co to oznacza, że rozwiązaniem równania jest \(x=4\). Zgodnie z tym co powiedzieliśmy sobie przed chwilą, to oznacza, że jeżeli do równania \(x+5=9\) podstawimy pod iksa otrzymaną czwórkę, to lewa i prawa strona będą sobie równe. Sprawdźmy, czy rzeczywiście tak się stanie. Po lewej stronie równania mamy \(x+5\), czyli podstawiając pod iksa czwórkę mamy \(4+5\), co daje wynik równy \(9\). Lewa strona równania jest więc równa prawej, zatem faktycznie \(x=4\) jest rozwiązaniem tego równania.

W ten sposób możemy sprawdzić każde otrzymane rozwiązanie równania, dlatego jeśli nie jesteśmy pewnie czy jakieś zadanie rozwiązaliśmy poprawnie, to wystarczy otrzymany wynik podstawić do tego równania i sprawdzić, czy lewa strona będzie równa prawej.

Spróbujmy zrobić podobne zadanie, tym razem nieco trudniejsze.

Przykład 2. Musimy rozwiązać następujące równanie:
$$\frac{1}{4}x=8$$

Tym razem będziemy musieli obie strony pomnożyć przez \(4\), dzięki czemu po lewej stronie zostanie nam sam \(x\), a po prawej zostanie nam jego wartość.
$$\frac{1}{4}x=8 \quad\bigg/\cdot4\\
\frac{1}{4}x\cdot4=8\cdot4 \\
x=32$$

Pamiętaj! W równaniach możemy dodawać, odejmować, mnożyć lub dzielić przez DOWOLNĄ liczbę OBIE STRONY JEDNOCZEŚNIE. Wyjątkiem jest mnożenie i dzielenie przez \(0\) – te działania są zabronione.

Przykład 3. Rozwiążmy teraz równanie \(-\frac{1}{4}x=8\).

Mamy analogiczne zadanie jak wyżej, z tą różnicą że tym razem przed naszym ułamkiem pojawił się minus. To oznacza, że musimy poradzić sobie zarówno z ułamkiem, jak i wartością ujemną. Możemy od razu obie strony pomnożyć przez \(-4\), wtedy po lewej stronie będziemy mieć sam \(x\), a po prawej wyjdzie nam \(-32\), ale jeśli jeszcze nie jesteś zbyt biegły w równaniach, to zróbmy to po kolei mnożąc obie strony najpierw przez \(4\), a potem przez \(-1\)

$$-\frac{1}{4}x=8 \\
-\frac{1}{4}x =8 \quad\bigg/\cdot 4 \\
-x=32 \quad\bigg/\cdot (-1)\\
x=32$$

Umiemy już przenosić wyrażenia i liczby na drugą stronę, umiemy porządkować wyrażenia oraz obustronnie wykonywać działania. To w zasadzie są wszystkie podstawowe umiejętności, które powinniśmy znać chcąc zacząć rozwiązywać równania liniowe. Rozwiążmy sobie jeszcze jedno równanie w którym wykorzystamy wszystko to, czego się do tej pory nauczyliśmy:

Przykład 4. $$2x-2=\frac{1}{2}+1$$

Najpierw przeniesiemy sobie wszystkie niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą. Następnie podzielimy obie strony przez taką wartość, by wynikiem dzielenia po jednej stronie był sam \(x\), a po drugiej odpowiadająca mu liczba. Całość będzie wyglądać następująco:
$$2x-2=\frac{1}{2}+1 \\
2x-\frac{1}{2} = 1+2 \\
1\frac{1}{2}x=3 \\
x=2$$

Czasami rozwiązując równania liniowe możemy otrzymać dość nietypowy wynik w postaci \(3=3\) lub też \(3=4\). W pierwszej sytuacji będziemy mówić o równaniach tożsamościowych, a w drugiej o równaniach sprzecznych. Więcej na temat takich równań dowiesz się z tego tematu:

Dodaj komentarz