Równanie oznaczone, tożsamościowe i sprzeczne

Rozwiązując równania liniowe zazwyczaj otrzymujemy wynik typu \(x=2\) albo \(x=5\). Jest to klasyczny przykład rozwiązania równania w którym po lewej stronie równania znajduje się nasza niewiadoma, a po prawej mamy jakąś wartość liczbową. W takiej sytuacji mówimy, że jest to równanie oznaczone. Zdarzyć się może jednak taka sytuacja w której rozwiązanie równania będzie bardziej nietypowe…

Równanie tożsamościowe
Spróbujmy rozwiązać równanie \(2\cdot(x+2)=2x+4\). Zaczynając od wymnożenia dwójki z tym co jest w nawiasie otrzymamy:
$$2\cdot(x+2)=2x+4 \\
2x+4=2x+4 \quad\bigg/-2x \\
4=4$$

Rozwiązując to równanie pozbyliśmy się po lewej i prawej stronie niewiadomej \(x\), otrzymując zapis \(4=4\). Jeżeli po lewej i prawej stronie otrzymamy tą samą wartość, to mówimy że równanie jest tożsamościowe. Kluczową własnością takiego równania jest to, że posiada ono nieskończenie wiele rozwiązań. Krotko mówiąc, jakiejkolwiek liczby nie podstawimy pod iksa w równaniu \(2\cdot(x+2)=2x+4\), to lewa i prawa strona będą sobie równe. Możemy to nawet sprawdzić, podstawiając różne liczby:
Podstawiając \(x=5\) otrzymamy:
$$2\cdot(5+2)=2\cdot5+4 \\
2\cdot7=10+4 \\
14=14$$

Podstawiając \(x=1\) otrzymamy:
$$2\cdot(1+2)=2\cdot1+4 \\
2\cdot3=2+4 \\
6=6$$

Równanie sprzeczne
Teraz spróbujmy rozwiązać równanie \(2\cdot(x+2)=2x+5\).
$$2\cdot(x+2)=2x+5 \\
2x+4=2x+5 \quad\bigg/-2x \\
4=5$$

Tym razem podczas rozwiązywania także pozbyliśmy się niewiadomej \(x\), ale otrzymaliśmy wynik w którym po lewej stronie równania jest inna liczba niż po prawej. W takiej sytuacji mówimy, że jest to równanie sprzeczne, bo nie jest przecież prawdą, że czwórka jest równa piątce. Ta sprzeczność przekłada się na to, że to równanie nie ma żadnych rozwiązań. Jakiejkolwiek liczby byśmy nie podstawili pod iksa, to nigdy lewa i prawa strona równania nie będą sobie równe.

Podsumowując:
• Gdy w rozwiązaniu równania otrzymamy postać typu \(x=3\) to równanie jest oznaczone i ma konkretne rozwiązanie.
• Gdy w rozwiązaniu równania otrzymamy postać typu \(3=3\) to równanie jest tożsamościowe i ma nieskończenie wiele rozwiązań.
• Gdy w rozwiązaniu równania otrzymamy postać typu \(3=5\) to równanie jest sprzeczne i nie ma w ogóle rozwiązań.

Spójrzmy zatem na przykładowe zadania:

Przykład 1. Rozwiąż równanie \(3x+5-2x+4=x+9\).

$$3x+5-2x+4=x+9 \\
x+9=x+9 \\
9=9$$

Jest to równanie tożsamościowe, czyli takie którego rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista.

Przykład 2. Rozwiąż równanie \(4x+6=3x-5\).

$$4x+6=3x-5 \\
x+6=-5 \\
x=1$$

To równanie jest oznaczone i jego rozwiązaniem jest \(x=1\).

Przykład 3. Rozwiąż równanie \(3\cdot(x+3)=3x\).

$$3\cdot(x+3)=3x \\
3x+9=3x \\
9=0$$

To równanie jest sprzeczne, czyli nie ma rozwiązań.

Dodaj komentarz