Równanie oznaczone, tożsamościowe i sprzeczne

Rozwiązując równania liniowe zazwyczaj otrzymujemy wynik typu \(x=2\) albo \(x=5\). Jest to klasyczny przykład rozwiązania równania w którym po lewej stronie równania znajduje się nasza niewiadoma, a po prawej mamy jakąś wartość liczbową. W takiej sytuacji mówimy, że jest to równanie oznaczone. Zdarzyć się może jednak taka sytuacja w której rozwiązanie równania będzie bardziej nietypowe…

Równanie tożsamościowe
Spróbujmy rozwiązać równanie \(2\cdot(x+2)=2x+4\). Zaczynając od wymnożenia dwójki z tym co jest w nawiasie otrzymamy:
$$2\cdot(x+2)=2x+4 \\
2x+4=2x+4 \quad\bigg/-2x \\
4=4$$

Rozwiązując to równanie pozbyliśmy się po lewej i prawej stronie niewiadomej \(x\), otrzymując zapis \(4=4\). Jeżeli po lewej i prawej stronie otrzymamy tą samą wartość, to mówimy że równanie jest tożsamościowe. Kluczową własnością takiego równania jest to, że posiada ono nieskończenie wiele rozwiązań. Krotko mówiąc, jakiejkolwiek liczby nie podstawimy pod iksa w równaniu \(2\cdot(x+2)=2x+4\), to lewa i prawa strona będą sobie równe. Możemy to nawet sprawdzić, podstawiając różne liczby:
Podstawiając \(x=5\) otrzymamy:
$$2\cdot(5+2)=2\cdot5+4 \\
2\cdot7=10+4 \\
14=14$$

Podstawiając \(x=1\) otrzymamy:
$$2\cdot(1+2)=2\cdot1+4 \\
2\cdot3=2+4 \\
6=6$$

Równanie sprzeczne
Teraz spróbujmy rozwiązać równanie \(2\cdot(x+2)=2x+5\).
$$2\cdot(x+2)=2x+5 \\
2x+4=2x+5 \quad\bigg/-2x \\
4=5$$

Tym razem podczas rozwiązywania także pozbyliśmy się niewiadomej \(x\), ale otrzymaliśmy wynik w którym po lewej stronie równania jest inna liczba niż po prawej. W takiej sytuacji mówimy, że jest to równanie sprzeczne, bo nie jest przecież prawdą, że czwórka jest równa piątce. Ta sprzeczność przekłada się na to, że to równanie nie ma żadnych rozwiązań. Jakiejkolwiek liczby byśmy nie podstawili pod iksa, to nigdy lewa i prawa strona równania nie będą sobie równe.

Spójrzmy zatem na przykładowe zadania: