Potęgowanie iloczynu i ilorazu

Czasen zdarza się, że musimy podnieść do potęgi nie tylko jedną liczbę, ale jakiś iloczyn lub iloraz liczb. Jak w takiej sytuacji powinniśmy postąpić by nie popełnić błędu?

Do naszych obliczeń wykorzystamy następujące wzory:
$$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \\
(a:b)^n=a^n:b^n \text{ lub } \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$
Przykład 1. Oblicz \((6\cdot4)^2\).

W tym przypadku moglibyśmy teoretycznie wymnożyć najpierw zawartość w nawiasie, a potem podnieść całość do kwadratu. Spróbujmy jednak wykorzystać nasz wzór, by sprawdzić jego funkcjonowanie:
$$(6\cdot4)^2=6^2\cdot4^2=36\cdot16=576$$

Przykład 2. Oblicz \((6x)^2\).

\(6x\) to nic innego jak mnożenie \(6\cdot x\), zatem:
$$(6x)^2=(6\cdot x)^2=6^2\cdot x^2=36\cdot x^2=36x^2$$

Przykład 3. Oblicz \((-2a)^3\).

$$(-2a)^3=(-2\cdot a)^3=(-2)^3\cdot a^3=-8a^3$$

Przykład 4. Oblicz \((4xy)^2\).

$$(4xy)^2=(4\cdot x\cdot y)^2=4^2\cdot x^2\cdot y^2=16x^2y^2$$

Przykład 5. Oblicz \(\left(\frac{2}{3}\right)^2\).

Korzystając ze wzoru \(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\) otrzymamy następującą sytuację:
$$\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$$

Przykład 6. Oblicz \(\left(\frac{x}{3}\right)^2\).

$$\left(\frac{x}{3}\right)^2=\frac{x^2}{3^2}=\frac{x^2}{9}=\frac{1}{9}x^2$$

Przykład 7. Oblicz \((x:3)^2\).

Ta sytuacja jest niemalże identyczna jak powyżej, bo przecież dzielenie możemy zastąpić kreską ułamkową. Możemy nawet przekształcić \((x:3)\) na ułamek \(\frac{x}{3}\). Korzystając jednak ze wzoru \((a:b)^n=a^n:b^n\) otrzymamy:
$$(x:3)=x^2:3^2=x^2:9=\frac{1}{9}x^2$$

Przykład 8. Oblicz \(\left(\frac{2x}{3}\right)^3\).

$$\left(\frac{2x}{3}\right)^3=\frac{(2x)^3}{3^3}=\frac{2^3\cdot x^3}{27}=\frac{8x^3}{27}=\frac{8}{27}x^3$$

A co zrobić w sytuacji kiedy w nawiasie mamy dodawanie lub odejmowanie i chcemy daną sumę podnieść do potęgi? Jeśli jest to kwadrat lub sześcian takiej sumy/różnicy np. \((x+2)^2\), to możemy skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia:

Dodaj komentarz