Objętość ostrosłupa

W tym temacie powiemy sobie jak obliczyć objętość ostrosłupa, zapoznamy się przede wszystkim ze wzorem na objętość oraz rozwiążemy sobie przykładowe zadania.

Objętość graniastosłupa obliczamy ze wzoru:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$
gdzie:
\(V\) – objętość graniastosłupa
\(P_{p}\) – pole podstawy graniastosłupa
\(H\) – wysokość graniastosłupa

Dla przypomnienia warto dodać, że objętość graniastosłupów obliczaliśmy ze wzoru \(V=P_{p}\cdot H\). Można więc powiedzieć, że jeżeli mamy graniastosłup oraz ostrosłup o tej samej podstawie oraz tej samej wysokości, to objętość ostrosłupa będzie trzy razy mniejsza od objętości graniastosłupa.

Przykład 1. Oblicz objętość poniższego ostrosłupa.

objętość ostrosłupa

Rozwiązanie:
W podstawie ostrosłupa znajduje się prostokąt o wymiarach \(3cm\times4cm\), a wysokość ostrosłupa ma długość \(6cm\). Oczywiście moglibyśmy najpierw osobno obliczyć pole powierzchni podstawy, a dopiero potem podstawilibyśmy tę wartość do wzoru, ale wiedząc że pole prostokąta to \(P=a\cdot b\) możemy od razu całość zapisać w jednym działaniu:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot a\cdot b\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot3cm\cdot4cm\cdot6cm \\
V=1cm\cdot4cm\cdot6cm \\
V=24cm^3$$

Przykład 2. Oblicz wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wiedząc, że \(V=15\sqrt{3}\) oraz że krawędź podstawy ma długość \(a=6\).

Rozwiązanie:
Skoro ostrosłup jest ostrosłupem prawidłowym trójkątnym, to wiemy już, że w podstawie znajdzie się trójkąt równoboczny. Pole trójkąta równobocznego obliczamy ze wzoru: \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). Podstawiając ten wzór pod pole podstawy otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H$$

Okazuje się więc, że poszukiwana przez nas wysokość bryły jest jedyną niewiadomą w tym wzorze, zatem podstawiając znane nam dane otrzymamy:
$$15\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{6^2\sqrt{3}}{4}\cdot H \\
15\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{36\sqrt{3}}{4}\cdot H \\
15\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot H \\
15\sqrt{3}=3\sqrt{3}\cdot H \\
H=5$$

Dodaj komentarz