W tym temacie powiemy sobie jak obliczyć objętość ostrosłupa, zapoznamy się przede wszystkim ze wzorem na objętość oraz rozwiążemy sobie przykładowe zadania.
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$
gdzie:
\(V\) – objętość ostrosłupa
\(P_{p}\) – pole podstawy ostrosłupa
\(H\) – wysokość ostrosłupa
Dla przypomnienia warto dodać, że objętość graniastosłupów obliczaliśmy ze wzoru \(V=P_{p}\cdot H\). Można więc powiedzieć, że jeżeli mamy graniastosłup oraz ostrosłup o tej samej podstawie oraz tej samej wysokości, to objętość ostrosłupa będzie trzy razy mniejsza od objętości graniastosłupa.
Rozwiązanie:
W podstawie ostrosłupa znajduje się prostokąt o wymiarach \(3cm\times4cm\), a wysokość ostrosłupa ma długość \(6cm\). Oczywiście moglibyśmy najpierw osobno obliczyć pole powierzchni podstawy, a dopiero potem podstawilibyśmy tę wartość do wzoru, ale wiedząc że pole prostokąta to \(P=a\cdot b\) możemy od razu całość zapisać w jednym działaniu:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot a\cdot b\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot3cm\cdot4cm\cdot6cm \\
V=1cm\cdot4cm\cdot6cm \\
V=24cm^3$$
Rozwiązanie:
Skoro ostrosłup jest ostrosłupem prawidłowym trójkątnym, to wiemy już, że w podstawie znajdzie się trójkąt równoboczny. Pole trójkąta równobocznego obliczamy ze wzoru: \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). Podstawiając ten wzór pod pole podstawy otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H$$
Okazuje się więc, że poszukiwana przez nas wysokość bryły jest jedyną niewiadomą w tym wzorze, zatem podstawiając znane nam dane otrzymamy:
$$15\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{6^2\sqrt{3}}{4}\cdot H \\
15\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{36\sqrt{3}}{4}\cdot H \\
15\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot H \\
15\sqrt{3}=3\sqrt{3}\cdot H \\
H=5$$
pomocne
super! mega pomocne
robi wrażenie
Dlaczego w niektórych rozwiązaniach stosuje się powyższy wzór na objętość ostrosłupa, a w innych omija się 1/3?
Ale tutaj nigdzie się nie omija 1/3 ;) Objętość ostrosłupa zawsze jest z 1/3
Nie chodziło mi o Pana przykłady, tylko rozwiązania innych w internecie. Stosują zamiennie wzór z uwzględnieniem 1/3 lub bez, dlatego budziło to moje zakłopotanie :/
A to może gdzieś ktoś się pomylił – nie mniej jednak objętość ostrosłupa (a także stożka) liczmy z tym uwzględnieniem 1/3 ;)
Mam pytanie, dlaczego na koniec wychodzi h= 5, czy pwoinienem dodać jakieś kroki pomiędzy przedostatnim działaniem a wynikiem na samym dole
Dzielimy obustronnie przez 3√3 :) Można to faktycznie jeszcze rozpisać tak, że najpierw dzielimy przez √3, zostaje nam 15=3H i teraz już widać, że H=5 :)