Objętość graniastosłupa

W tym temacie powiemy sobie jak obliczyć objętość graniastosłupa oraz rozwiążemy wspólnie kilka zadań związanych z objętością graniastosłupa.

Objętość graniastosłupa obliczamy ze wzoru:

$$V=P_{p}\cdot H$$
gdzie:
\(V\) – objętość graniastosłupa
\(P_{p}\) – pole podstawy graniastosłupa
\(H\) – wysokość graniastosłupa

Bardzo często obliczając objętość nie będziemy liczyć oddzielnie pola powierzchni tylko po to, by potem podstawić tę wartość do wzoru. Z reguły wszystko będziemy zapisywać w jednym równaniu, bo tak jest zazwyczaj prościej i szybciej. Jeżeli więc przykładowo w podstawie graniastosłupa mamy np. kwadrat o boku \(a\) i wiemy, że pole kwadratu obliczamy ze wzoru \(P=a^2\), to często możemy spotkać się z sytuacją, że ktoś od razu zapisze, że w takim przypadku \(V=a^2\cdot H\).

Przykład 1. Oblicz objętość poniższego graniastosłupa.

objętość graniastosłupa

Rozwiązanie:
W podstawie naszego graniastosłupa mamy prostokąt o wymiarach \(6cm\times3cm\), a wysokość graniastosłupa ma długość \(10cm\). Nie musimy liczyć oddzielnie pola powierzchni podstawy, możemy od razu zapisać, że:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=a\cdot b\cdot H \\
V=6cm\cdot3cm\cdot10cm \\
V=18cm^2\cdot10cm \\
V=180cm^3$$

Oczywiście jeżeli nie czujemy się pewnie na matematyce, to możemy najpierw obliczyć oddzielnie pole podstawy, a potem obliczyć objętość. Wtedy zapisalibyśmy, że:
$$P_{p}=a\cdot b \\
P_{p}=6cm\cdot3cm \\
P_{p}=18cm^2 \\

I teraz wiedząc, że \(P_{p}=18cm^2\) oraz że \(H=10cm\) moglibyśmy obliczyć objętość graniastosłupa:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=18cm^2\cdot10cm \\
V=180cm^2$$

Przykład 2. Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, którego krawędź podstawy jest równa \(6cm\), a wysokość jest równa \(10cm\).

Rozwiązanie:
Tym razem zanim zaczniemy liczyć objętość to musimy w ogóle ustalić co tak naprawdę wynika z treści zadania. Mamy informację, że graniastosłup jest trójkątny, czyli w podstawie będzie miał trójkąt. Ale… to nie będzie byle jaki trójkąt. W treści zadania mamy podane, ze graniastosłup jest prawidłowy, a to z kolei oznacza, że w podstawie musimy mieć figurę foremną (czyli figurę, której wszystkie boki mają jednakową miarę). Wniosek z tego płynie taki, że w podstawie będziemy mieć trójkąt równoboczny, a skoro tak, to pole podstawy będziemy mogli obliczyć korzystając ze wzoru \(P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).

I tutaj ponownie – możemy policzyć oddzielnie pole podstawy, a potem obliczymy objętość, albo też możemy od razu podstawić pod \(P_{p}\) wzór na pole trójkąta równobocznego otrzymując postać:
$$V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H$$

Znamy długość krawędzi podstawy \(a=6cm\), znamy też wysokość całej bryły \(H=10cm\), zatem:
$$V=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}\cdot10 \\
V=\frac{36\sqrt{3}}{4}\cdot10 \\
V=9\sqrt{3}\cdot10 \\
V=90\sqrt{3} [cm^3]$$

Przykład 3. Oblicz wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wiedząc, że \(V=100cm^3\) oraz że krawędź podstawy ma długość \(a=5cm\).

Rozwiązanie:
Tym razem wykorzystamy informację na temat objętości, aby obliczyć inną długość – w tym przypadku wysokość. Z treści zadania wynika, że graniastosłup jest prawidłowy, zatem wiemy już że w podstawie musi znaleźć się figura foremna. Tą figurą będzie tym razem kwadrat, bo graniastosłup jest czworokątny. Skoro znamy długość boku tego kwadratu i znamy objętość całej bryły, to okazuje się, że poszukiwana wysokość jest jedyną niewiadomą. Zatem:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=a^2\cdot H \\
100cm^3=(5cm)^2\cdot H \\
100cm^3=25cm^2\cdot H \\
H=4cm$$

Dodaj komentarz