Silnia

Silnia liczby \(n\) (oznaczana symbolem \(n!\)) to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od \(1\) aż do \(n\). Przykładowo:
$$3!=1\cdot2\cdot3=6 \\
5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120 \\
10!=1\cdot2\cdot3\cdot…\cdot9\cdot10=3628800 \\
n!=1\cdot2\cdot3\cdot…\cdot(n-1)\cdot n \\
0!=1$$

To co najczęściej przydaje się w zadaniach z silnią to umiejętność rozbijania większych silni na mniejsze (tak aby np. potem coś skrócić). Skoro np. \(5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\) to w razie potrzeby możemy połączyć kilka początkowych czynników mnożenia w mniejszą silnię i zapisać, że przykładowo:
$$5!=2!\cdot3\cdot4\cdot5 \\
5!=3!\cdot4\cdot5 \\
5!=4!\cdot5$$

Często też w zadaniach przydaje się rozpisywanie \(n!\):
$$n!=(n-1)!\cdot n \\
n!=(n-2)!\cdot(n-1)\cdot n \\
n!=(n-3)!\cdot(n-2)!\cdot(n-1)\cdot n \\
itd.$$

Przykład 1. Oblicz \(\frac{7!}{6!}\).

Aby rozwiązać to zadanie musimy rozbić \(7!\) na iloczyn \(6!\cdot7\), tak aby potem skrócić licznik z mianownikiem:
$$\require{cancel}\frac{7!}{6!}=\frac{\cancel{6!}\cdot7}{\cancel{6!}}=7$$

Przykład 2. Oblicz \(\frac{10!}{8!\cdot2!}\).

Tym razem musimy rozbić \(10!\) w liczniku na \(8!\cdot9\cdot10\). Dzięki temu uda nam się pewne rzeczy uprościć:
$$\require{cancel}\frac{10!}{8!\cdot2!}=\frac{\cancel{8!}\cdot9\cdot10}{\cancel{8!}\cdot2!}=\frac{9\cdot10}{1\cdot2}=\frac{90}{2}=45$$

Przykład 3. Oblicz \(7!-6!\).

Ogólnie dodawanie i odejmowanie różnych silni jest często dość problematyczne, raczej z silniami wiązać się będą działania mnożenia i dzielenia. Jednak w tym przypadku jesteśmy w stanie dość sprytnie wykonać to odejmowanie, a aby tego dokonać to musimy rozbić \(7!\) na iloczyn \(6!\cdot7\), dzięki czemu otrzymamy odejmowanie \(6!\cdot7-6!\). Pojawia się jednak problem jak wykonać to odejmowanie? Wystarczy zamienić sposób zapisu na \(7\cdot6!-6!\) i całość będzie znacznie prostsza. Tak jak siedem jabłek odjąć jedno jabłko to sześć jabłek, tak tutaj:
$$7!-6!=7\cdot6!-6!=6\cdot6!$$

Przykład 4. Oblicz \(\frac{5!}{2!+3!}\).

W tym zadaniu mamy stosunkowo niewielkie silnie, moglibyśmy się nawet pokusić o wyliczenie tego rozpisując każdą silnię:
$$\frac{5!}{2!+3!}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}{1\cdot2+1\cdot2\cdot3}=\frac{120}{2+6}=\frac{120}{8}=15$$

Nie mniej jednak ten sposób nie zadziałałby w przypadku większych silni, dlatego najlepszym sposobem na wybrnięcie z takich zadań jest wyłączenie w mianowniku wspólnego czynnika przed nawias:
$$\frac{5!}{2!+3!}=\frac{\cancel{2!}\cdot3\cdot4\cdot5}{\cancel{2!}\cdot(1+3)}=\frac{60}{4}=15$$

Przykład 5. Oblicz \(\frac{50!-48!}{49!}\).

Rozbijając \(50!\) na \(48!\cdot49\cdot50\) oraz \(49!\) na \(48!\cdot49\) otrzymamy:
$$\frac{50!-48!}{49!}=\frac{48!\cdot49\cdot50-48!}{48!\cdot49}=\frac{48!\cdot(49\cdot50-1)}{48!\cdot49}=\frac{49\cdot50-1}{49}=\frac{2449}{49}$$

Ewentualnie możemy końcówkę \(\frac{49\cdot50-1}{49}\) rozpisać w następujący sposób:
$$\frac{49\cdot50-1}{49}=50-\frac{1}{49}=49\frac{48}{49}$$

Przykład 6. Oblicz \(\frac{30!}{20!}\).

W tego typu zadaniach gdzie wynik wychodzi bardzo duży (a tak będzie tutaj) nasz końcowy wynik możemy podać w formie iloczynu:
$$\frac{30!}{20!}=\frac{20!\cdot21\cdot22\cdot…\cdot29\cdot30}{20!}=21\cdot22\cdot…\cdot29\cdot30$$

Przykład 7. Oblicz \(\frac{n!}{(n-1)!}\).

Tak jak rozpisywaliśmy konkretne liczby, tak też możemy rozpisywać różne niewiadome. Wartość \(n!\) możemy rozpisać na \((n-1)!\cdot n\), zatem:
$$\frac{(n-1)!\cdot n}{(n-1)!}=n$$

Przykład 8. Oblicz \(\frac{(n-1)!}{(n+1)!}\).

Rozpisując w mianowniku \((n+1)!=(n-1)!\cdot n\cdot(n+1)\) otrzymamy:
$$\frac{(n-1)!}{(n+1)!}=\frac{(n-1)!}{(n-1)!\cdot n\cdot(n+1)}=\frac{1}{n\cdot(n+1)}=\frac{1}{n^2+n}$$

Zobacz też: Mediana

Dodaj komentarz