Mediana

Mediana to tak zwana wartość środkowa, którą wyznaczamy z jakiegoś zbioru liczb. To co jest jednak niezwykle istotne to fakt, iż liczby w tym zbiorze muszą być uporządkowane od najmniejszej do największej (precyzyjniej rzecz ujmując: w kolejności niemalejącej). Dopiero w takim uporządkowanym zbiorze możemy wyznaczać medianę. Podczas wyznaczania mediany musimy rozpatrzeć dwa przypadki:

1. Gdy mamy nieparzystą liczbę wyrazów w zbiorze – wtedy mediana jest równa środkowej liczbie.
2. Gdy mamy parzystą liczbę wyrazów w zbiorze – wtedy mediana jest równa średniej arytmetycznej dwóch środkowych liczb.

Spójrzmy jak to wygląda na konkretnych przykładach:

Przykład 1. Oblicz medianę liczb: \(6,3,4,1,5\).

Na początek musimy ustawić te liczby w porządku niemalejącym, zatem:
$$1,3,4,5,6$$

W tym zbiorze mamy pięć liczb, zatem jest to nieparzysta ilość. To oznacza, że medianą jest środkowy wyraz, czyli w tym przypadku trzecia liczba, którą jest \(4\).

Przykład 2. Oblicz medianę liczb: \(-4,8,9,5,-12\).

Ustawiając liczby w porządku niemalejącym otrzymamy:
$$-12,-4,5,8,9$$

W tym zbiorze mamy także nieparzystą ilość liczb, zatem mediana jest równa środkowej liczbie, czyli w tym przypadku będzie to \(5\).

Przykład 3. Oblicz medianę liczb: \(3,2,6,8,9,12\).

Ustawiając liczby w porządku niemalejącym otrzymamy:
$$2,3,6,8,9,12$$

Tym razem mamy parzystą ilość wyrazów (dokładnie jest to sześć liczb). W związku z tym musimy wziąć dwa środkowe wyrazy i obliczyć z nich średnią arytmetyczną. W naszym przypadku środkowymi wyrazami są wyraz trzeci i czwarty, czyli \(6\) oraz \(8\):
$$\frac{6+8}{2}=\frac{14}{2}=7$$

To oznacza, że mediana jest równa \(7\).

W tym przykładzie zwróć uwagę na to, że mediana jest równa liczbie, która w ogóle w naszym zbiorze nie wystąpiła!

Przykład 4. Dany jest zbiór liczb: \(2,5,1,8,9,x\). Mediana jest równa \(6\). Oblicz wartość \(x\).

To chyba najtrudniejszy przykład zadań z medianą, bo trzeba po prostu dobrze przeanalizować sytuację. Na początku ustawmy znane nam liczby w porządku niemalejącym:
$$1,3,5,8,9$$

Do tego zbioru dojdzie nam jeszcze \(x\), czyli będziemy mieć parzystą liczbę wyrazów (mediana będzie zatem równa średniej arytmetycznej środkowych wyrazów). I tu pojawia się kluczowe pytanie – które to liczby będą tymi środkowymi? Przecież nie znamy wartości iksa, a to od niej teraz wszystko będzie zależeć. Przykładowo, gdy \(x=2\), to środkowymi wyrazami będą \(3\) oraz \(5\), ale kiedy np. \(x=100\) to środkowymi wyrazami będą \(5\) oraz \(8\). I właśnie w ten sposób powinniśmy zaobserwować, że nasz \(x\) musi brać udział w liczeniu średniej arytmetycznej, bo przecież kiedy środkowymi wyrazami będą \(3\) oraz \(5\), to mediana będzie równa \(\frac{3+5}{2}=4\), a kiedy środkowymi wyrazami będą \(5\) oraz \(8\), to mediana wyniesie \(\frac{5+8}{2}=6,5\). Możemy więc wywnioskować, że \(x\) będzie jedną z wartości środkowych, a jego wartość będzie równa:
$$\frac{5+x}{2}=6 \\
5+x=12 \\
x=7$$

Jest to jedyna możliwość aby mediana była równa \(6\), zatem \(x=7\).

Dodaj komentarz