Rozwiązywanie nierówności liniowych

Rozwiązywanie nierówności liniowych odbywa się niemalże tak samo jak zwykłych równań z jednym małym wyjątkiem, o którym powiemy sobie za chwilę. Tutaj także naszym celem jest przeniesienie niewiadomej na lewą stronę i liczb na prawą stronę i tak jak w równaniach otrzymywaliśmy rozwiązanie typu \(x=5\), tak tutaj otrzymywać będziemy wynik typu \(x\lt5\). Rozwiążmy przykładowe równanie i nierówność, które oparte są na tych samych liczbach:

Przykład 1. Rozwiąż równanie \(3x-2=7\) oraz nierówność \(3x-2\lt7\).
\[ \begin{split} 3x-2=7\\ 3x=9\\ x=3\end{split} \qquad \qquad \begin{split}3x-2\lt7\\ 3x\lt9\\ x\lt3\end{split} \]

Widzimy wyraźnie, że cały proces liczenia był identyczny, a to co jest inne to końcowy rezultat, bowiem rozwiązaniem równania jest jedna liczba \(x=3\), a rozwiązaniem nierówności jest cały zestaw liczb gdzie \(x\) jest mniejszy od \(3\). Tak otrzymane rozwiązanie nierówności zapisujemy najczęściej w formie przedziału. W tym naszym konkretnym przypadku zapisalibyśmy, że \(x\in(-\infty;3)\).

Przykład 2. Rozwiąż nierówność \(6x-5\le4x+7\).

$$6x-5\le4x+7 \quad\bigg/-4x \\
2x-5\le7 \quad\bigg/+5 \\
2x\le12 \quad\bigg/:2 \\
x\le6$$

Teraz musimy jeszcze przedstawić to rozwiązanie w postaci przedziału. Skoro w nierówności wystąpił znak \(\le\), to tym razem przy szóstce będziemy musieli zastosować tak zwany nawias domknięty (lub inaczej mówiąc ostry). W związku z tym rozwiązanie zapiszemy jako \(x\in(-\infty;6\rangle\).

Tutaj pamiętaj, że nawiasów domkniętych nie stawiamy przy znaku nieskończoności – taki nawias jest zawsze otwarty.

Rozwiązywanie nierówności jest więc proste, o ile potrafimy rozwiązywać zwykłe równania. Jest jednak pewna rzecz, o której bardzo często wiele osób zapomina, która różni równania od nierówności. Otóż mnożąc lub dzieląc obie strony nierówności przez liczbę ujemną musimy zmienić znak nierówności. Spójrzmy na poniższy przykład:

Przykład 3. Rozwiąż nierówność \(-2x+5\lt3\).

To co na początku będziemy chcieli zrobić, to oczywiście odjąć obustronnie piątkę. W związku z tym:
$$-2x+5\lt3 \quad\bigg/-5 \\
-2x\lt-2$$

I teraz następuje kluczowy moment. Musimy obie strony nierówności podzielić przez \(-2\), dzięki czemu po lewej stronie będziemy mieć \(x\), a po prawej będziemy mieć \(1\). Jednak zgodnie z zasadami rozwiązywania nierówności skoro dzielimy przez liczbę ujemną, to znak \(\lt\) musimy zamienić na przeciwny, czyli na \(\gt\). W związku z tym:
$$-2x\lt-2 \quad\bigg/:(-2) \\
x\gt1$$

Nasze rozwiązanie możemy zapisać w formie przedziału: \(x\in(1;+\infty)\).

Odwracanie znaku nierówności wydaje się nielogiczne i często o tym manewrze zapominamy. Aby zrozumieć dlaczego ten znak trzeba odwrócić wróćmy do naszego zadania i postaci \(-2x+5\lt3\). Możemy to równanie obliczyć bez mnożenia przez liczbę ujemną, wystarczy przecież obustronnie dodać \(2x\). Otrzymamy wtedy:
$$-2x\lt-2 \quad\bigg/+2x \\
0\gt-2+2x \quad\bigg/+2 \\
2\gt2x \quad\bigg/:2 \\
1\gt x$$

Otrzymaliśmy dokładnie ten sam wynik, tylko nieco brzydziej zapisany. Tutaj także wyszło nam, że \(x\) ma być większy od \(1\). To właśnie dlatego trzeba odwrócić znak na przeciwny podczas mnożenia lub dzielenia przez liczbę ujemną.

Przykład 4. Rozwiąż nierówność \(\frac{x}{3}\gt2x-\frac{1}{2}\).

Kiedy w nierówności (lub równaniu) pojawiają nam się ułamki, to powinniśmy się ich jak najszybciej pozbyć, o ile jest to możliwe. W naszym przypadku dobrze byłoby więc od razu wymnożyć obustronnie tę nierówność przez \(6\), dzięki czemu pozbędziemy się ułamka z lewej i prawej strony. Zatem:
$$\frac{x}{3}\gt2x-\frac{1}{2} \quad\bigg/\cdot6 \\
2x\gt12x-6 \quad\bigg/-12x \\
-10x\gt-6 \quad\bigg/:(-10) \\
x\lt\frac{6}{10}$$

Tutaj podobnie jak to miało miejsce w poprzednim przykładzie, musieliśmy pamiętać o tym, że jak dzielimy przez liczbę ujemną, to musimy zmienić znak nierówności. Otrzymany wynik możemy jeszcze zapisać w postaci przedziału \(x\in(-\infty;\frac{6}{10})\).

Przykład 5. Podaj najmniejszą liczbę całkowitą, która spełnia nierówność \(4x\gt x+6\).

Choć polecenie wygląda nieco inaczej, to tak naprawdę wszystko i tak sprowadza się do tego, aby rozwiązać naszą nierówność. W związku z tym:
$$4x\gt x+6 \quad\bigg/-x \\
3x\gt6 \quad\bigg/:3 \\
x\gt2$$

Musimy jeszcze podać jaka jest najmniejsza liczba całkowita, która spełnia naszą nierówność. Nie będzie to wbrew pozorom dwójka, bo wyszło nam \(x\gt2\), czyli szukamy liczby większej od \(2\). W związku z tym najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność będzie \(3\).

Przykład 6. Rozwiąż nierówność \(\frac{x}{1-\sqrt{2}}\le5\).

To najbardziej podchwytliwy przykład z jakim możemy się spotkać. Na pewno chcemy pomnożyć obustronnie tę nierówność przez \(1-\sqrt{2}\), tak aby po lewej stronie mieć \(x\), a po prawej mieć \(5\cdot(1-\sqrt{2})\). I to jest dobry pomysł, ale jest w tym wszystkim pewna pułapka. W przypadku nierówności jak mnożymy lub dzielimy obie strony przez jakąś wartość, to musimy być pewni czy dana liczba jest dodatnia, czy ujemna, bo przecież jeżeli liczba jest ujemna to trzeba zmienić znak tej nierówności. Choć na pierwszy rzut oka może tego nie widać, to jednak wartość \(1-\sqrt{2}\) jest ujemna (przyjmując przybliżenie \(\sqrt{2}\approx1,41\) wyjdzie nam, że \(1-\sqrt{2}\approx-0,59)\). To oznacza, że mnożąc tę nierówność przez \(1-\sqrt{2}\) musimy zmienić znak nierówności:
$$\frac{x}{1-\sqrt{2}}\le5 \quad\bigg/\cdot(1-\sqrt{2}) \\
x\ge5\cdot(1-\sqrt{2}) \\
x\ge5-5\sqrt{2}$$

Zapisując to rozwiązanie w formie przedziału musimy pamiętać, że skoro w nierówności wystąpił znak \(\ge\), to musimy zastosować nawias domknięty, czyli \(x\in\langle5-5\sqrt{2};+\infty)\).

Dodaj komentarz