Nierówności kwadratowe – zadania maturalne

A

Krok 1. Wymnożenie wszystkich wyrazów przy wykorzystaniu wzorów skróconego mnożenia i rozwiązanie nierówności.
Po lewej stronie nierówności skorzystamy ze wzoru: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).
Po prawej stronie nierówności skorzystamy ze wzoru: \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
Zatem:
$$(4+x)^2\lt(x-4)(x+4) \\
4^2+2\cdot4\cdot x+x^2\lt x^2-4^2 \\
16+8x+x^2\lt x^2-16 \\
16+8x\lt-16 \\
8x\lt-32 \\
x\lt-4$$

Krok 2. Interpretacja wyniku.
Rozwiązaniem naszego równania jest przedział \(x\in(-\infty;-4)\). Musimy teraz sobie odpowiedzieć na pytanie jaka jest największa liczba całkowita, która mieści się w tym przedziale. Nie może to być \(-4\), bo ta liczba nie mieści się w naszym przedziale (nawias jest otwarty). Największą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność jest więc \(-5\) i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.

D

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Z racji tego iż mamy nierówność zapisaną w formie iloczynowej, to chcąc wyznaczyć miejsca zerowe wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera, stąd też:
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+3=0 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane ku górze, bo przed wartościami \(x\) nie mamy wartości ujemnych. Zaznaczamy wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe. Kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\).



Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności.
Nasza funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera dla \(x\in(-3;2)\). Spośród wszystkich podanych odpowiedzi tylko czwarta odpowiedź mieści się w naszym przedziale i to jest prawidłowa odpowiedź.

B

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Wielomian mamy podany w bardzo wygodnej postaci iloczynowej. Aby więc jego wartość była równa zero, to:
$$x=0 \quad\lor\quad x+5=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-5$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo przed wartościami \(x\) nie stoi znak ujemny. Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe. Kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\), tak więc parabola będzie wyglądać następująco:



Interesują nas wartości znajdujące się nad osią, czyli rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział:
$$(-\infty;-5)\cup(0;+\infty)$$

C

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych nierówności.
Nierówność jest zapisana w postaci iloczynowej, więc aby odnaleźć jej miejsca zerowe (które przydadzą nam się do naszkicowania wykresu) wystarczy przyrównać wartości w jednym i drugim nawiasie do zera.
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+3=0 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest na pewno dodatni, bo przed wartościami \(x\) nie stoją żadne znaki ujemne, więc ramiona paraboli będę skierowane ku górze i będą przechodzić przez wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe. Pamiętaj, że kropki przy \(x=2\) oraz \(x=-3\) będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\).



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Odczytujemy z wykresu dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartości większe lub równe \(0\). Pamiętaj, że skoro mamy znak \(\ge\) to wartości \(x=2\) oraz \(x=-3\) będą także należeć do zbioru rozwiązań (czyli nawiasy będą domknięte).
$$x\in(-\infty;-3\rangle \cup \langle2;+\infty)$$

\(x\in\langle1;2\rangle\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Skorzystamy tutaj z tradycyjnej metody delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-1}{2\cdot1}=\frac{3-1}{2}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+1}{2\cdot1}=\frac{3+1}{2}=2$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe i przystępujemy do rysowania paraboli. Pamiętaj, by kółka przy miejscach zerowych były zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\).



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas argumenty, dla których nierówność przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero. W związku z tym: \(x\in\langle1;2\rangle\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x\in\langle-1;2\rangle\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)=1-(-8)=1+8=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-3}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+3}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest dodatni, więc parabola ma skierowane ramiona ku górze. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:



Punkty \(x=-1\) oraz \(x=2\) mają zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesuje nas przedział dla których zbiór argumentów przyjmuje wartość mniejszą lub równą zero. Czyli patrzymy w których miejscach wykres funkcji znalazł się pod osią \(Ox\). W związku z tym rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór: \(x\in\langle-1;2\rangle\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x\in(-\infty;2)\cup(12;+\infty)\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-14,\;c=24\)
$$Δ=b^2-4ac=(-14)^2-4\cdot1\cdot24=196-96=100 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{100}=10$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-14)-10}{2\cdot1}=\frac{14-10}{2}=\frac{4}{2}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-14)+10}{2\cdot1}=\frac{14+10}{2}=\frac{24}{2}=12$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ustalmy sobie na początek kształt tej paraboli. Z racji tego iż współczynnik \(a\) jest dodatni, to na pewno ramiona tej paraboli będą skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy parabolę:



Kropki są niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Patrzymy w których miejscach funkcja przyjmuje wartości większe od zera, czyli dla jakich przedziałów wykres znalazł się nad osią.
$$x\in(-\infty;2)\cup(12;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x\in\langle-6;-5\rangle\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=11,\;c=30\)
$$Δ=b^2-4ac=11^2-4\cdot1\cdot30=121-120=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11-1}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11+1}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola ma ramiona skierowane ku górze, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Wykres będzie miał więc następującą postać:



Punkty \(x=-6\) oraz \(x=-5\) muszą mieć koniecznie zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności.
Interesuje nas zbiór argumentów, dla których wartość funkcji kwadratowej jest mniejsza lub równa zero (czyli w których miejscach wykres funkcji jest pod osią \(Ox\) lub dokładnie na osi). Tym zbiorem jest oczywiście: \(x\in\langle-6;-5\rangle\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x\in\langle\frac{1}{3};3\rangle\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Najprościej będzie wyliczyć to tzw. metodą delty.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-10,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-10)^2-4\cdot3\cdot3=100-36=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-10)-8}{2\cdot3}=\frac{10-8}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-10)+8}{2\cdot3}=\frac{10+8}{6}=\frac{18}{6}=3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest dodatni (dokładnie to jest równy \(3\)), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:


Punkty \(x=\frac{1}{3}\) oraz \(x=3\) mają zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero dla przedziału \(x\in\langle\frac{1}{3};3\rangle\) i taka też jest nasza ostateczna odpowiedź.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x\in(1;2)\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-1}{2\cdot1}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+1}{2\cdot1}=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni. Nasza parabola będzie przechodzić przez miejsca zerowe wyznaczone przed chwilą, dlatego zaznaczamy je na osi i szkicujemy wykres:



Pamiętaj, że kropki przy \(x=1\) oraz \(x=2\) są niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości znajdujących się pod osią (czyli mniejszych od zera). Widzimy, że rozwiązaniem tej nierówności będzie w takim razie przedział: \(x\in(1;2)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x\in\langle-3;4\rangle\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Miejsca zerowe najprościej będzie obliczyć tzw. metodą delty:
Współczynniki: \(a=-3,\;b=3,\;c=36\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-3)\cdot36=9+432=441 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{441}=21$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-21}{2\cdot(-3)}=\frac{-24}{-6}=4 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+21}{2\cdot(-3)}=\frac{18}{-6}=-3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest ujemny bo jest równy \(-3\). To oznacza, że nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:



Punkty \(x=-3\) oraz \(x=4\) mają zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości większe lub równe zero (czyli na osi lub nad nią) i widzimy, że funkcja przyjmuje takie wartości w przedziale \(x\in\langle-3;4\rangle\). To jest też nasza ostateczna odpowiedź.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x\in(-\infty;-5)\cup(-3;+\infty)\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Zadanie obliczymy tzw. metodą delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=8,\;c=15\)
$$Δ=b^2-4ac=8^2-4\cdot1\cdot15=64-60=4 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{4}=2$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-8-2}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-8+2}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest dodatni, bo \(a=1\), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:



Punkty \(x=-5\) oraz \(x=-3\) mają niezamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości większe od zera dla \(x\in(-\infty;-5)\cup(-3;+\infty)\) i taka też jest nasza ostateczna odpowiedź.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x\in(-2;5)\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=-10\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-10)=9-(-40)=9+40=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-7}{2\cdot1}=\frac{3-7}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+7}{2\cdot1}=\frac{3+7}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Zaznaczamy więc na osi liczbowej miejsca zerowe wyznaczone w pierwszym kroku. Kropki przy miejscach zerowych będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\).



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości mniejsze od zera, czyli takie, które znalazły się pod osią \(Ox\). To oznacza, że rozwiązaniem zadania będzie przedział: \(x\in(-2;5)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x\in(-\infty;1\rangle\cup\langle7;+\infty)\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Do obliczenia tej nierówności skorzystamy z metody delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=7\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot7=64-28=36 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-6}{2\cdot1}=\frac{8-6}{2}=\frac{2}{2}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+6}{2\cdot1}=\frac{8+6}{2}=\frac{14}{2}=7$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Zaznaczamy miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy parabolę. Kropki przy miejscach zerowych będą zamalowane bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\).



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości większe lub równe zero. W związku z tym rozwiązaniem będzie następujący przedział: \(x\in(-\infty;1\rangle\cup\langle7;+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x\in(-\infty;1\rangle\cup\langle2\frac{1}{2};+\infty)\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-7,\;c=5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot2\cdot5=49-40=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)-3}{2\cdot2}=\frac{7-3}{4}=\frac{4}{4}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)+3}{2\cdot2}=\frac{7+3}{4}=\frac{10}{4}=2\frac{1}{2}$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a=2\), czyli jest dodatni. To oznacza, że parabola musi mieć ramiona skierowane ku górze. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:



Punkty \(x=1\) oraz \(x=2\frac{1}{2}\) mają zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesującym nas przedziałem jest ten, dla którego zbiór argumentów przyjmuje wartość większą lub równą zero. Czyli patrzymy w których miejscach wykres funkcji znalazł się nas osią \(Ox\) lub na niej.
Tym zbiorem jest: \(x\in(-\infty;1\rangle\cup\langle2\frac{1}{2};+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(\langle0;3\rangle\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Taką nierówność jak każdą inną tego typu możemy rozwiązać metodą delty i za chwilę to zrobimy (zwłaszcza że jest tu pewna pułapka którą warto omówić). Jednak można tu się też pokusić o wyłączenie \(x\) przed nawias (o ile zauważymy taką możliwość). Otrzymalibyśmy wtedy \(x(3-x)\ge0\) i w ten oto sposób bardzo szybko moglibyśmy wyznaczyć miejsca zerowe - wystarczyłoby się zachować tak jak przy postaci iloczynowej i przyrównać odpowiednie wartości do zera, zatem:
$$x=0 \quad\lor\quad 3-x=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=3$$

Gdybyśmy jednak chcieli to obliczyć za pomocą delty to zanim zaczniemy cokolwiek liczyć musimy uporządkować te wyrazy, tak aby kwadrat liczby znalazł się na początku zatem:
$$-x^2+3x\ge0$$

Dopiero teraz możemy wypisać współczynniki, pamiętając o tym że \(c=0\).
Współczynniki: \(a=-1,\;b=3,\;c=0\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-1)\cdot0=9-0=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-3}{2\cdot(-1)}=\frac{-6}{-2}=3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+3}{2\cdot(-1)}=\frac{0}{-2}=0$$

Otrzymaliśmy dokładnie takie same wyniki jak przed chwilą.

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, bo przed \(x^2\) stoi znak minusa. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i rysujemy naszą parabolę.



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości większe lub równe zero, stąd też przedziałem będącym rozwiązaniem tego zadania będzie: \(\langle0;3\rangle\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x\in\langle1\frac{1}{2};3\rangle\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Nasza nierówność przedstawiona jest w postaci iloczynowej, tak więc bardzo szybko jesteśmy w stanie określić miejsca zerowe - wystarczy przyrównać poszczególne wartości w nawiasach do zera.
$$(2x-3)(3-x)=0 \\
2x-3=0 \quad\lor\quad 3-x=0 \\
2x=3 \quad\lor\quad x=3 \\
x=1\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Musimy teraz określić kształt naszej paraboli. Gdybyśmy pomnożyli przez siebie wszystkie czynniki to otrzymalibyśmy między innymi \(-2x^2\), tak więc współczynnik kierunkowy \(a\) wyjdzie nam ujemny. To z kolei oznacza, że ramiona paraboli będą skierowane do dołu. Zaznaczmy więc na osi wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i na podstawie wykresu określmy przedział rozwiązań podanej nierówności.



Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a więc interesującym nas przedziałem będzie: \(x\in\langle1\frac{1}{2};3\rangle\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x\in(-\infty;-7)\cup(2;+\infty)\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=-1,\;b=-5,\;c=14\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot(-1)\cdot14=25-(-56)=25+56=81 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{81}=9$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-9}{2\cdot(-1)}=\frac{5-9}{-2}=\frac{-4}{-2}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+9}{2\cdot(-1)}=\frac{5+9}{-2}=\frac{14}{-2}=-7$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą na pewno skierowane do dołu, bo przed \(x^2\) pojawił nam się minus, czyli \(a\lt0\). Zaznaczamy na osi liczbowej miejsca zerowe wyznaczone przed chwilą (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i szkicujemy wykres paraboli:



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości mniejsze od zera, czyli miejsca w których parabola znalazła się pod osią \(Ox\). Rozwiązaniem tej nierówności będzie więc suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;-7)\cup(2;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x\in(-\infty;-7)\cup(3;+\infty)\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=-1,\;b=-4,\;c=21\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-1)\cdot21=16-(-84)=16+84=100 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{100}=10$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-10}{2\cdot(-1)}=\frac{4-10}{-2}=\frac{-6}{-2}=3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+10}{2\cdot(-1)}=\frac{4+10}{-2}=\frac{14}{-2}=-7$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, bo współczynnik \(a\) jest ujemny. Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, to w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i szkicujemy wykres paraboli:



Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności.
Interesują nas wartości mniejsze od zera, zatem rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów \(x\in(-\infty;-7)\cup(3;+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty)\)

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
To bardzo ważny krok. Jeśli chcemy rozwiązać to zadanie np. metodą delty, to musimy doprowadzić nierówność do postaci typu \(ax^2+bx+c\), tak aby po prawej stronie znalazło się zero. Stąd też pierwszą czynnością jaką musimy zrobić to wymnożyć przez siebie odpowiednie nawiasy i uporządkować zapis:
$$2x^2-4x\gt(x+3)(x-2) \\
2x^2-4x\gt x^2-2x+3x-6 \\
x^2-5x+6\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) był dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (z pustymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)).



Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a więc interesującym nas przedziałem będzie:
$$x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x\in\langle\frac{1}{3};3\rangle\)

Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę.
Aby móc rozpocząć rozwiązywanie nierówności metodą delty musimy koniecznie po prawej stronie mieć zero. Przenosimy więc wszystkie wyrazy na lewą stronę nierówności (uważając na znaki!):
$$3x^2-9x\le x-3 \\
3x^2-9x-(x-3)\le0 \\
3x^2-9x-x+3\le0 \\
3x^2-10x+3\le0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-10,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-10)^2-4\cdot3\cdot3=100-36=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-10)-8}{2\cdot3}=\frac{10-8}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-10)+8}{2\cdot3}=\frac{10+8}{6}=\frac{18}{6}=3$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze, bo mamy dodatni współczynnik \(a=3\). Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe (z zamalowanymi kropkami, bo wystąpił znak \(\le\)) i szkicujemy parabolę:



Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero, a więc interesującym nas przedziałem będzie \(x\in\langle\frac{1}{3};3\rangle\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x\in\langle2;3\rangle\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Aby móc w ogóle zacząć obliczać deltę, to po lewej stronie nierówności musimy mieć postać ogólną typu \(ax^2+bx+c\), a po prawej zero. Zatem przenosimy wszystko na lewą stronę i otrzymujemy:
$$20x\ge4x^2+24 \\
-4x^2+20x-24\ge0$$

Jeśli jesteśmy spostrzegawczy, to możemy podzielić obie strony równania przez \(4\), a jeszcze lepiej byłoby podzielić przez \(-4\). Dzięki temu będziemy wykonywali dalsze działania na nieco mniejszych liczbach i pozbędziemy się minusa przed \(x^2\). Nie jest to jednak zabieg konieczny, więc jeśli tego nie dostrzeżesz, to nic się nie stanie. Pamiętaj tylko, że dzieląc nierówności przez wartość ujemną zmieniamy jej znak! Po podzieleniu obydwu stron przez \(-4\) otrzymamy więc:
$$x^2-5x+6\le0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Wiemy, że ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest większy od zera. Zaznaczamy na osi liczbowej wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)) i szkicujemy naszą parabolę:



Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości mniejsze od zera, zatem rozwiązaniem tego równania będzie przedział \(x\in\langle2;3\rangle\).

\(x\in(-\infty;\frac{1}{2}\rangle \cup \langle2;+\infty)\)

Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę.
Aby móc w ogóle przystąpić do rozwiązywania tej nierówności musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę. Otrzymamy więc:
$$2x^2-4x\ge x-2 \\
2x^2-5x+2\ge0$$

Krok 2. Wyznaczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-5,\;c=2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-3}{2\cdot2}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+3}{2\cdot2}=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i szkicujemy wykres paraboli:



Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, więc rozwiązaniem nierówności będzie suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;\frac{1}{2}\rangle \cup \langle2;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x\in(0;2)\)

Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę i uproszczenie nierówności.
Aby móc rozwiązać nierówność kwadratową za pomocą np. metodą delty musimy doprowadzić ją do ogólnej postaci typu \(ax^2+bx+c\), gdzie po prawej stronie takiej nierówności znajdzie się liczba \(0\). Krótko mówiąc - musimy przenieść wartość z prawej strony nierówności na lewą. Bardzo często o tym zapominamy, bo zazwyczaj na maturze nierówności są zapisane już w pożądanej postaci. Zatem:
$$2x^2-4x\gt3x^2-6x \\
2x^2-4x-3x^2+6x\gt0 \\
-x^2+2x\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych powstałej nierówności.
Miejsca zerowe naszej nierówności możemy obliczyć za pomocą metody delty. Trzeba tylko pamiętać, że w tym przypadku współczynnik \(c=0\). Jednak ta nierówność jest na tyle prosta, że przy wyznaczaniu miejsc zerowych możemy posłużyć się postacią iloczynową, wtedy:
$$-x^2+2x=0 \\
-x(x-2)=0 \\
-x=0 \quad\lor\quad x-2=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=2$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, bo przed \(x^2\) stoi znak minusa. Po naniesieniu miejsc zerowych wyliczonych w drugim kroku otrzymamy:



Kropki przy \(x=0\) oraz \(x=2\) muszą być niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\).

Teraz musimy odczytać z wykresu dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie (czyli kiedy wykres jest nad osią). Widzimy wyraźnie, że wartości dodatnie funkcja przyjmuje dla \(x\in(0;2)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x\in(-\infty;-4\rangle\cup\langle2;+\infty)\)

Krok 1. Przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę.
To bardzo ważny krok o którym często się zapomina. Aby móc rozwiązać taką nierówność kwadratową np. za pomocą metody delty musimy mieć wszystkie wyrazy po lewej stronie, zostawiając po prawej tylko zero. Zatem:
$$3x^2-6x\ge(x-2)(x-8) \\
3x^2-6x-(x-2)(x-8)\ge0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych powstałej nierówności.
Aby obliczyć miejsca zerowe musimy albo przedstawić tę nierówność w postaci iloczynowej (wtedy przyrównamy każdy z nawiasów do zera i tak wyznaczymy miejsca zerowe) albo przedstawić tę nierówność w postaci ogólnej typu \(ax^2+bx+c\) i wtedy skorzystamy z metody delty. Z racji tego iż zamiana na postać iloczynową nie jest tak oczywista i łatwa (po różnych przekształceniach dałoby się to zapisać jako \((x-2)(2x+8)\ge0\)), to my skorzystamy z metody delty, zatem:
$$3x^2-6x-(x-2)(x-8)\ge0 \\
3x^2-6x-(x^2-8x-2x+16)\ge0 \\
3x^2-6x-x^2+8x+2x-16\ge0 \\
2x^2+4x-16\ge0$$

Współczynniki: \(a=2,\;b=4,\;c=-16\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot2\cdot(-16)=16-(-128)=16+128=144 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{144}=12$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-12}{2\cdot2}=\frac{-16}{4}=-4 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+12}{2\cdot2}=\frac{8}{4}=2$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) był dodatni. Zaznaczamy miejsca zerowe obliczone przed chwilą (kropki zamalowane, bo w nierówności mamy znak \(\ge\)) i szkicujemy wykres paraboli:



Teraz odczytujemy z wykresu dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe lub równe zero. Wyraźnie widzimy, że jest to zbiór \(x\in(-\infty;-4\rangle\cup\langle2;+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x\in(-\infty;-3)\cup(\frac{1}{2};+\infty)\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=2,\;b=5,\;c=-3\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot2\cdot(-3)=25-(-24)=25+24=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-7}{2\cdot2}=\frac{-12}{4}=-3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+7}{2\cdot2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest dodatni (bo \(a=2\)), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą (punkty \(x=-3\) oraz \(x=\frac{1}{2}\) będą mieć niezamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i szkicujemy wykres paraboli:



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości większe lub równe zero dla sumy przedziałów: \(x\in(-\infty;-3)\cup(\frac{1}{2};+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

\(x\in\langle0;9\rangle\)

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Oczywiście tę nierówność można obliczyć metodą delty, pamiętając tylko o tym, że w tym przypadku \(c=0\). Istnieje jednak znacznie prostsza metoda na wyznaczenie miejsc zerowych. Przyrównujemy wielomian do zera i zapisujemy go w postaci iloczynowej:
$$8x^2-72x=0 \\
8x(x-9)=0 \\
8x=0 \quad\lor\quad x-9=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=9$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a=8\) (czyli jest dodatni). Zaznaczamy na osi wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe, pamiętając o tym że kropki będą zamalowane (bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)).



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości mniejsze lub równe zero, zatem poprawnym rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \(x\in\langle0;9\rangle\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).