Wartość wyrażenia tg30 stopni*tg60 stopni-4sin^2 60 stopni/cos^2 40 stopni+cos^2 50 stopni

Wartość wyrażenia \(\dfrac{tg30°\cdot tg60°-4sin^2 60°}{cos^2 40°+cos^2 50°}\) sprowadź do najprostszej postaci.

Rozwiązanie

Krok 1. Wypisanie kluczowych wartości z tablic trygonometrycznych.
Zanim zaczniemy obliczenia, to przyjrzyjmy się całemu przykładowi i omówmy sobie strategię rozwiązywania.

Spójrzmy na licznik naszego wyrażenia. Wszystkie wartości możemy odczytać z tak zwanej "małej tabelki" trygonometrycznej, co pozwoli nam za chwilę wykonywać dokładne i precyzyjne obliczenia. Wypiszmy sobie zatem potrzebne dane:
$$tg30°=\frac{\sqrt{3}}{3} \\
tg60°=\sqrt{3} \\
sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Teraz spójrzmy na mianownik. Korzystając ze wzorów redukcyjnych możemy zauważyć, że:
$$cos40°=sin(90°-50°)=sin50°$$

Skoro tak, to analogicznie \(cos^2 40°\) będzie równe \(sin^2 50°\). To oznacza, że w mianowniku pojawi nam się działanie \(sin^2 50°+cos^2 50°\), czyli tzw. "jedynka trygonometryczna".

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia.
Korzystając z danych zapisanych w pierwszym kroku możemy zapisać, że:
$$\frac{tg30°\cdot tg60°-4sin^2 60°}{cos^2 40°+cos^2 50°}= \\
=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}-4\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{sin^2 50°+cos^2 50°}= \\
=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}-4\cdot\frac{3}{4}}{1}= \\
=\frac{3}{3}-3=1-3=-2$$

Odpowiedź

\(-2\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments