Ułamki zwykłe i dziesiętne – zadania (egzamin ósmoklasisty)

D

Pierwsza nierówność jest nieprawdziwa - kiedy dwa ułamki mają jednakowy mianownik (a tak jest w tym przypadku) to większy jest ten, który ma większy licznik.
Druga nierówność jest nieprawdziwa, ponieważ \(\frac{5}{4}+\frac{5}{2}=\frac{5}{4}+\frac{10}{4}=\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}\)
Trzecia nierówność jest nieprawdziwa, ponieważ \(\frac{13}{17}\cdot3=\frac{39}{17}\)
Czwarta nierówność jest prawdziwa - kiedy dwa ułamki mają jednakowy licznik (a tak jest w tym przypadku) to większy jest ten, który ma mniejszy mianownik.

B

Rozszerzając nasz ułamek z treści zadania otrzymamy:
$$\frac{1}{3}=\frac{300}{900}$$

Aby liczba była większa od naszego ułamka to musi mieć albo większy licznik, albo mniejszy mianownik. Żaden z ułamków nie ma licznika większego niż \(300\), za to ułamek z drugiej odpowiedzi ma mniejszy mianownik, co sprawia że to właśnie ten ułamek jest większy od \(\frac{1}{3}\).

A

Do zadania możemy podejść na różne sposoby. Przykładowo, można byłoby zamienić wszystkie ułamki zwykłe na dziesiętne i sprawdzić, która odpowiedź będzie tą prawidłową. Można też rozszerzyć wszystkie ułamki do jednakowego mianownika i wtedy porównywać liczniki ułamków - w ten sposób też dojdziemy do poprawnej odpowiedzi. Nie mniej jednak najszybszym sposobem będzie dostrzeżenie, że ułamek \(-\frac{2}{6}\) to tak naprawdę \(-\frac{1}{3}\). Szukamy więc ułamka, który na osi liczbowej znajduje się między \(-\frac{1}{3}\) oraz \(-\frac{1}{6}\). Takimi ułamkami będą chociażby \(-\frac{1}{4}\) czy też \(-\frac{1}{5}\) i to właśnie ten pierwszy ułamek znalazł się w jednej z odpowiedzi.

A

Aby wskazać które liczby spełniają ten warunek musimy albo wszystkie ułamki sprowadzić do wspólnego mianownika, albo zamienić te wszystkie ułamki na ułamki dziesiętne. Wygodniej będzie chyba wykonać zamianę na ułamki dziesiętne:
$$\frac{2}{3}\approx0,67 \\
\frac{1}{2}=0,5 \\
\frac{10}{25}=0,4 \\
\frac{1}{4}=0,25$$

Oraz ułamki z naszego warunku:
$$\frac{2}{5}=0,4 \\
\frac{3}{5}=0,6$$

Szukamy więc ułamków które są większe niż \(0,4\) i mniejsze niż \(0,6\). To oznacza, że tylko jeden ułamek spełnia warunki zadania i jest to ułamek \(\frac{1}{2}\).

C

Oceńmy prawdziwość każdego ze zdań:
Odp. A. Jest więcej chłopców niż dziewcząt.
Komentarz: To nieprawda, bo skoro dziewczyny stanowią \(\frac{2}{3}\) klasy to znaczy że stanowią one większość.

Odp. B. Liczba dziewcząt stanowi \(\frac{2}{3}\) liczby chłopców.
Komentarz: To jest nieprawda, bowiem dziewczyny stanowią \(\frac{2}{3}\) całej klasy, a nie liczby chłopców, których jest \(\frac{1}{3}\), czyli dwukrotnie mniej.

Odp. C. Jest dwa razy więcej dziewcząt niż chłopców.
Komentarz: To prawda, bo skoro dziewczyn jest \(\frac{2}{3}\), to chłopców jest \(\frac{1}{3}\).

Odp. D. Stosunek liczby chłopców do liczby dziewcząt jest równy \(1:3\).
Komentarz: To nieprawda, chłopców jest dwukrotnie mniej, zatem stosunek liczby chłopców do liczby dziewczyn wynosi \(1:2\).

D

Odległość na osi liczbowej między tymi liczbami będzie równa:
$$\frac{1}{3}-(-2,3)=\frac{1}{3}+2,3$$

B

Najmniejszą liczba jest \(-\frac{5}{2}\). Największą liczba jest \(\frac{3}{4}\). Różnica między tymi liczbami jest więc równa:
$$\frac{3}{4}-(-\frac{5}{2})=\frac{3}{4}+\frac{10}{4}=\frac{13}{4}=3\frac{1}{4}$$

A, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
$$4,5:0,75=\frac{4,5}{0,75}=\frac{4,5\cdot100}{0,75\cdot100}=\frac{450}{75}$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
$$1,25\cdot0,4=\frac{1,25\cdot100}{100}\cdot\frac{0,4\cdot10}{10}=\frac{125}{100}\cdot\frac{4}{10}=\frac{125\cdot4}{1000}$$

D

Pamiętając o kolejności wykonywania działań (najpierw mnożenie!) możemy zapisać, że:
$$\frac{5}{7}-\frac{2}{7}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{5}{7}-\left(-\frac{6}{14}\right)= \\
=\frac{5}{7}+\frac{6}{14}=\frac{5}{7}+\frac{3}{7}=\frac{8}{7}$$

D

Obliczmy po kolei wartość każdego z podanych wyrażeń:
I. \(75,5\cdot2-7\cdot6,99=151-48,93=102,07\)
II. \((4,6+5,5)\cdot10=10,1\cdot10=101\)
III. \(0,26\cdot400=104\)

Widzimy, że wszystkie wyrażenia mają wartość większą od \(100\).

B

Obliczając wartość każdego z wyrażeń bez problemu określimy która z liczb jest największa.
$$\frac{3}{4}\cdot(-3)=-2,25 \\
\frac{3}{4}:(-3)=\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-0,25 \\
\frac{3}{4}+(-3)=\frac{3}{4}-3=-2,25 \\
-\frac{3}{4}-3=-3,75$$

Widzimy wyraźnie, że największa jest druga liczba.

A

Obliczmy wartość każdego z tych wyrażeń:
\(6\cdot1\frac{2}{3}=6\cdot\frac{5}{3}=\frac{30}{3}=10\)
\(6:1,2=60:12=5\)
\(7,25-2\frac{1}{4}=7,25-2,25=5\)

Wartość całkowitą otrzymaliśmy w każdym z tych trzech wyrażeń.

D

$$9,2(6)=9,26666...$$
Na czwartym miejscu po przecinku rozpisanego ułamka okresowego znajduje się szóstka, więc będziemy zaokrąglać do góry. Skoro tak to:
$$9,2666\approx9,267$$

B

Ułamek okresowy ma to do siebie, że liczba zawarta w nawiasie będzie się ciągle powtarzać:
$$0,1(378)=0,1378378378...$$

Widzimy wyraźnie, że w rozszerzeniu tej liczby co trzy miejsca (począwszy od drugiego miejsca) pojawia się cyfra \(3\), czyli piątą cyfrą jest \(3\), ósmą cyfrą jest \(3\), jedenastą cyfrą jest \(3\) i tak dojdziemy aż do pięćdziesiątego miejsca jakim także będzie \(3\).

C

Zosia może zakupić maksymalnie \(4\) bilety, płacąc za nie wtedy \(4\cdot10,50=42zł\). Jeżeli nie dostrzegamy tego, że są to konkretnie \(4\) bilety, to możemy wykonać proste dzielenie z resztą:
$$45:10,50=4\;r.3$$

Powyższe działanie oznacza, że możemy kupić \(4\) bilety i zostanie nam jeszcze \(3zł\) reszty.

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Aby ocenić prawdziwość tego zdania musimy porównać do siebie dwa ułamki - \(\frac{3}{4}\) oraz \(\frac{5}{7}\). Sprowadzając te ułamki do wspólnego mianownika otrzymamy:
II naczynie: \(\frac{3}{4}=\frac{21}{28}\)
III naczynie: \(\frac{5}{7}=\frac{20}{28}\)

To oznacza, że w drugim naczyniu było więcej wody niż w trzecim, czyli zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W pierwszym i drugim naczyniu mamy:
$$\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{8}{12}+\frac{9}{12}=\frac{17}{12}=1\frac{5}{12}$$

W trzecim naczyniu mamy raptem \(\frac{5}{7}\) pojemności, czyli znacznie mniej niż w pierwszym i drugim naczyniu łącznie. Zdanie jest więc fałszem.

C

Sprawdźmy poprawność każdej z proponowanych odpowiedzi:
Odp. A. \(130\) kcal to \(54,47\) kJ
Obliczenie: \(130kcal=130\cdot4,19=544,7kJ\)

Odp. B. \(5447\) kcal to \(130\) kJ
Obliczenie: \(5447kcal\cdot4,19=22822,93kJ\)

Odp. C. \(130\) kcal to \(544,7\) kJ
Obliczenie: \(130kcal=130\cdot4,19=544,7kJ\)

Odp. D. \(544,7\) kcal to \(130\) kJ
Obliczenie: \(544,7kcal\cdot4,19=2282,293kJ\)

Prawidłowe przeliczenie znalazło się więc w trzeciej odpowiedzi.

Nie, ponieważ Paweł rozdzielił łącznie \(1\frac{1}{12}\) czekolady.

Zsumujmy wszystkie ułamki, zgodnie z tym jak Paweł chciał podzielić czekoladę:
$$\frac{1}{2}+\frac{5}{12}+\frac{1}{6}=\frac{6}{12}+\frac{5}{12}+\frac{2}{12}=\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}$$

Okazuje się, że zaproponowany podział jest niemożliwy, ponieważ suma wszystkich udziałów jest większa od \(1\). Można więc powiedzieć, że Paweł rozdzielił więcej czekolady, niż miał do dyspozycji.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Masa białka wynosi \(33,59g\).

Krok 1. Obliczenie ilości białka w każdym z produktów.
Tabela zawartości białka zawiera informację o tym ile jest białka w \(100g\) produktu. Musimy więc obliczyć ile gramów białka znajduje się w poszczególnych produktach, uwzględniając ich wagę. Najprościej będzie to zrobić za pomocą proporcji:
Bułka:
Skoro \(100g\) bułki to \(6,9g\) białka
Więc \(200g\) bułki to \(13,8g\) białka

Masło:
Skoro \(100g\) masła to \(0,6g\) białka
To \(10g\) masła to \(0,06g\) białka
Więc \(30g\) masła to \(0,18g\) białka

Ser:
Skoro \(100g\) sera to \(26,1g\) białka
To \(50g\) sera to \(13,05g\) białka

Szynka:
Skoro \(100g\) szynki to \(16,4g\) białka
To \(10g\) szynki to \(1,64g\) białka
Więc \(40g\) szynki to \(6,56g\) białka

Krok 2. Obliczenie łącznej zawartości białka.
Znając już zawartość białka w każdym z produktów możemy bez problemu dodać do siebie te wyniki i w ten sposób zakończyć całe zadanie:
$$13,8g+0,18g+13,05g+6,56g=33,59g$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz ilość białka w każdym z produktów (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.