Równania z jedną niewiadomą

Czym tak naprawdę są równania, co to znaczy że jakaś liczba spełnia nasze równanie i w jaki sposób rozwiązywać podstawowe przykłady z użyciem tajemniczego „iksa”? Właśnie na te wszystkie pytania odpowiemy sobie w tym temacie.

Do tej pory na matematyce skupialiśmy się głównie na tym, by podać konkretny wynik jakiegoś działania. Ale od czasu do czasu pojawialy się różne zadania, w których trzeba było obliczyć np. jeden składnik sumy, albo też jakiś jeden z czynników mnożenia. Takie działania wyglądały przykładowo tak:
\(□+2=9\) -> co należy wstawić w kratce?
\(8\cdot□=24\) -> jaką liczbę należy pomnożyć przez \(8\), aby otrzymać \(24\)?

Dzisiaj już wiemy, że wszystkie kratki i inne tego typu znaczki możemy zastąpić literami i to z nich od tej pory będziemy korzystać. To co widzisz poniżej, to są właśnie nasze równania.

\(x+2=9\) -> ile wynosi \(x\)? Oczywiście \(7\), bo \(7+2=9\)
\(8x=24\) -> ile wynosi \(x\)? Oczywiście \(3\), bo \(8\cdot3=24\)

No dobrze, ale to były bardzo łatwe przykłady, co z tymi trudniejszymi?
Zanim rozwiążemy sobie trudniejsze przykłady, to poznajmy mechanizm, za pomocą którego jesteśmy w stanie rozwiązać te dwa przykłady powyżej. Tak naprawdę całość moglibyśmy zobrazować w następujący sposób:

rozwiązywanie równań

Korzystamy w tym momencie z tego, czego uczyliśmy się kilka lat temu:

Odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania.

Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia.

Gdybyśmy chcieli zapisać matematycznie to, co dzieje się na grafie, to otrzymamy:
$$x+7=9 \\
x=9-7 \\
x=2$$
Właśnie rozwiązaliśmy nasze pierwsze równanie!

Podobnie będzie z drugim przykładem:
(wyjątkowo użyjemy kropki mnożenia, tak abyś zobaczył jak to się wszystko odbywa)
$$8\cdot x=24 \\
x=24:3 \\
x=8$$

W ten sposób jesteśmy już w stanie rozwiązywać podstawowe równania matematyczne z niewiadomą \(x\).

Lewa i prawa strona:
W tym dziale będziemy posługiwali się zwrotami: „lewa strona równania” oraz „prawa strona równania”. Wszystko to, co znajduje się przed znakiem równości nazywać będziemy „lewą stroną równania” (skrót: \(L\)), a to co stoi po znaku równości nazwiemy „prawą stroną równania” (skrót: \(P\)).

Aby równanie było prawdziwe to zawsze lewa strona musi się równać prawej, a więc \(L=P\). Liczbę, która jest rozwiązaniem naszego równania (w naszym przypadku były to \(x=4\) oraz \(x=8\)) nazywamy liczbą spełniającą równanie.

Liczba spełniająca równanie:
Na początku przygody z algebrą spotkasz się także z zadaniami, w których autor poda kilka wariantów liczb, które należy podstawić do równania i sprawdzić, która liczba spełni równanie (czyli po podstawieniu której liczby zajdzie równość \(L=P\)). Rozwiążmy sobie taki prosty przykład, by wiedzieć o co w tym chodzi:

Przykład 1.

\(1\), \(2\) czy \(3\) – która z tych liczb spełnia poniższe równanie?
$$3,2x+0,7=7,1$$

Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić każdą z tych liczb do naszego równania:
Gdy \(x=1\), wtedy:
$$L=3,2\cdot1+0,7=3,2+0,7=3,9 \\
P=7,1$$
\(L\) nie jest równe \(P\), więc \(x=1\) nie spełnia powyższego równania.

Gdy \(x=2\), wtedy
$$L=3,2\cdot2+0,7=6,4+0,7=7,1 \\
P=7,1$$
\(L=P\), a więc \(x=2\) spełnia nasze równanie.

Gdy \(x=3\), wtedy:
$$L=3,2\cdot3+0,7=9,6+0,7=10,3 \\
P=7,1$$
\(L\) nie jest równe \(P\), więc \(x=3\) nie spełnia powyższego równania.

Ćwiczenia z równaniami:

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.