Podwójna obniżka/podwyżka cen

Jednym z popularniejszych typów zadań z procentów jest tak zwana „podwójna obniżka” lub „podwójna podwyżka” cen. O co chodzi w takich zadaniach i jak je należy rozwiązywać?

Wyobraźmy sobie, że jakaś rzecz jest przeceniona o \(20\%\), a następnie w ramach wyprzedaży następuje obniżka o kolejne \(30\%\) od obecnie obowiązującej ceny. Czy to oznacza, że łączna suma obniżek wynosi \(50\%\)? Niestety nie… Dlaczego tak się dzieje? Wszystko za sprawą tego, iż druga obniżka następuje z ceny już obniżonej, zatem każda kolejna obniżka odnosi się wtedy do coraz to mniejszej kwoty. Sprawdźmy to najpierw na prostym przypadku z konkretnymi liczbami, tak aby zrozumieć istotę tego problemu.

Załóżmy, że koszula kosztuje \(100zł\). W ramach przeceny nastąpiła obniżka ceny o \(20\%\), czyli cena za tę koszulę wynosi teraz:
$$100zł-0,2\cdot100zł=80zł$$

Jeżeli teraz nastąpi kolejna obniżka o \(30\%\), to nowa cena wyniesie:
$$80zł-0,3\cdot80zł=56zł$$

Widzimy wyraźnie, że koszula potaniała o \(100zł-56zł=44zł\), a więc o \(44\%\) względem ceny początkowej, a nie o \(50\%\) jak mogłoby się wydawać. Stało się tak, ponieważ obniżka o \(30\%\) następowała nie od ceny \(100zł\), tylko od \(80zł\), czyli od tej ceny już obniżonej. Warto zrozumieć tę różnicę, bo to ona sprawia najwięcej problemów w zadaniach z podwójnymi obniżkami (lub podwyżkami).

Przydatna uwaga!
Jeżeli cena jakiegoś towaru została obniżona o \(20\%\), to nowa cena stanowi \(0,8\) (czyli \(80\%\)) poprzedniej ceny.
Jeżeli cena jakiegoś towaru została obniżona o \(30\%\), to nowa cena stanowi \(0,7\) (czyli \(70\%\)) poprzedniej ceny.

I analogicznie:
Jeżeli cena jakiegoś towaru została podwyższona o \(20\%\), to nowa cena stanowi \(1,2\) (czyli \(120\%\)) poprzedniej ceny.
Jeżeli cena jakiegoś towaru została podwyższona o \(30\%\), to nowa cena stanowi \(1,3\) (czyli \(130\%\)) poprzedniej ceny.

W zadaniach z podwójną obniżką/podwyżką, posługiwanie się ułamkami dziesiętnymi znacznie usprawni nam obliczenia. Przykładowo jeżeli jakiś produkt kosztuje \(x\) złotych, a jego cena jest obniżona o \(20\%\), to od razu możemy zapisać, że nowa cena wynosi \(0,8x\).

Spójrzmy na przykładowe zadania z jakimi możemy zmierzyć się w tym dziale.

Przykład 1. Cena komputera została obniżona o \(15\%\), a dodatkowo klient posłużył się kuponem obniżającym aktualną cenę o kolejne \(10\%\). Jaka była początkowa cena komputera, jeżeli klient zapłacił \(3060zł\).

Rozwiązanie:
Nie znamy początkowej ceny komputera, zatem możemy zapisać, że:
\(x\) – początkowa cena komputera

Ta cena została obniżona o \(15\%\), więc nowa cena stanowi oczywiście \(85\%\) ceny początkowej, czyli:
\(0,85x\) – cena komputera po pierwszej obniżce

Klient posiada kod obniżający cenę o \(10\%\), a więc zapłaci on \(90\%\) obniżonej już ceny komputera, zatem:
$$0,9\cdot0,85x=0,765x$$

Z treści zadania wynika, że ostateczna cena komputera wynosi \(3060zł\), a przed chwilą obliczyliśmy sobie, że ta wartość stanowi \(0,765x\). To oznacza, że:
$$0,765x=3060zł \\
x=4000zł$$

Przykład 2. Początkowa cena butów została podwyższona o \(20\%\), po czym nastąpiła promocja obniżająca ceny o \(30\%\). Nowa cena butów jest niższa od ceny początkowej o:
A. \(10\%\)
B. \(15\%\)
C. \(16\%\)
D. \(30\%\)

Rozwiązanie:
Nie znamy początkowej ceny butów, zatem możemy zapisać, że:
\(x\) – początkowa cena butów

Teraz następuje podwyżka o \(20\%\), czyli nowa cena stanowi \(120\%\) ceny początkowej, zatem:
\(1,2x\) – cena butów po podwyżce

Na koniec mamy obniżkę o \(30\%\), więc końcowa cena stanowi \(70\%\) ceny przed chwilą podwyższonej, więc:
\(0,7\cdot1,2x=0,84x\) – cena butów po obniżce

Wyszło nam, że ostateczna cena butów wynosi \(0,84x\), czyli że stanowi ona \(84\%\) ceny początkowej. Nas w zadaniu pytali o to jak duży jest końcowy rabat, więc możemy stwierdzić, że nowa cena butów jest o \(16\%\) niższa od ceny początkowej.

Przykład 3. W poniedziałek ceny akcji firmy MIAU wzrosły o \(5\%\), a we wtorek o kolejne \(2\%\). Ile kosztowały akcje firmy MIAU, jeżeli w ciągu tych dwóch dni cena akcji wzrosła o \(14,2zł\)?

Rozwiązanie:
Na początek zapiszmy sobie dane z treści zadania:
\(x\) – początkowa cena akcji
\(1,05x\) – poniedziałkowa cena akcji
\(1,02\cdot1,05x=1,071x\) – wtorkowa cena akcji

To oznacza, że cena akcji wzrosła o:
$$1,071x-x=0,071x$$

Wiemy, że cena akcji wzrosła o \(14,2zł\), zatem:
$$0,071x=14,2zł \\
x=200zł$$

Wyszło nam więc, że początkowa cena akcji wynosiła \(200zł\).

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments