Na trójkącie o bokach długości √5, √15, √10 opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu

Na trójkącie o bokach długości \(\sqrt{5}, \sqrt{15}, \sqrt{10}\) opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.

Rozwiązanie

Krok 1. Dostrzeżenie tego, iż jest to trójkąt prostokątny.
Powinniśmy dostrzec, że trójkąt o wskazanych bokach jest trójkątem prostokątnym. Przeciwprostokątną takiego trójkąta jest najdłuższy bok, czyli w tym przypadku \(\sqrt{15}\). To, że jest to trójkąt prostokątny możemy udowodnić z Twierdzenia Pitagorasa.
$$\sqrt{5}^2+\sqrt{10}^2=\sqrt{15}^2 \\
5+10=15 \\
15=15 \\
L=P$$

Skoro lewa strona jest równa prawej, to możemy być pewni, że ten trójkąt jest jak najbardziej prostokątny.

Krok 2. Obliczenie długości promienia okręgu.
Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym ma pewną specyficzną własność. Długość średnicy takiego okręgu jest zawsze równa długości przeciwprostokątnej trójkąta. My wiemy, że nasza przeciwprostokątna ma długość \(\sqrt{15}\), zatem średnica okręgu będzie równa \(d=\sqrt{15}\). Nas interesuje poznanie długości promienia, a skoro promień jest zawsze dwa razy krótszy od średnicy, to:
$$r=\frac{\sqrt{15}}{2}$$

Odpowiedź

\(r=\frac{\sqrt{15}}{2}\)

Dodaj komentarz