Punkty A=(2,4), B=(0,0), C=(4,-2) są wierzchołkami trójkąta ABC. Punkt D jest środkiem boku AC tego trójkąta

Punkty \(A=(2,4)\), \(B=(0,0)\), \(C=(4,-2)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Punkt \(D\) jest środkiem boku \(AC\) tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej \(BD\).

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować układ współrzędnych na którym zaznaczymy znane nam punkty i na którym poprowadzimy prostą \(BD\), której równania szukamy:

matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(D\).
Punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AC\). Znając współrzędne punktu \(A\) oraz \(C\) możemy bez przeszkód wyznaczyć współrzędne punktu \(D\), korzystając ze wzoru:
$$D=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$

Dla przejrzystości obliczeń wyznaczny każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{D}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
x_{D}=\frac{2+4}{2} \\
x_{D}=\frac{6}{2} \\
x_{D}=3 \\
\quad \\
y_{D}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
y_{D}=\frac{4+(-2)}{2} \\
y_{D}=\frac{4-2}{2} \\
y_{D}=\frac{2}{2} \\
y_{D}=1$$

To oznacza, że \(D=(3;1)\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(BD\).
Skoro znamy współrzędne punktów \(B\) oraz \(D\) to możemy teraz wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty. Możemy to zrobić budując układ równań (podstawiając współrzędne punktu \(B\) oraz \(D\) do postaci \(y=ax+b\) uzyskamy dwa równania tworzące układ równań), albo też możemy skorzystać ze wzoru dostępnego w tablicach, czyli:
$$(y-y_{B})(x_{D}-x_{B})-(y_{D}-y_{B})(x-x_{B})=0$$

Metoda z układem równań wydaje się być w tym przypadku znacznie szybsza, zatem:
$$\begin{cases}
0=0+b \\
1=3a+b \\
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
b=0 \\
1=3a+b
\end{cases}$$

Już z pierwszego równania wyszło nam samoistnie, że \(b=0\), co jest dobrą informacją, bo przecież współczynnik \(b\) informuje nas o miejscu przecięcia się prostej z osią igreków, a u nas prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych. Znamy więc już wartość współczynnika \(b\), teraz musimy wyznaczyć współczynnik \(a\). Zrobimy to podstawiając po prostu \(b=0\) do drugiego równania:
$$1=3a+b \\
1=3a+0 \\
a=\frac{1}{3}$$

W związku z tym prosta \(BD\) wyraża się wzorem \(y=\frac{1}{3}x+0\), czyli po prostu \(y=\frac{1}{3}x\).

Odpowiedź

\(y=\frac{1}{3}x\)

Dodaj komentarz