Liczby pierwsze i złożone

Omówiliśmy sobie kilka podzielności liczb naturalnych i na pewno zauważyłeś, że są takie liczby jak np. 12, które mają bardzo dużo dzielników (1, 2, 3, 4, 6 i 12), a są i takie jak np. 23, które mają tylko dwa dzielniki (1 i 23). Mówimy o tym nie bez powodu, bo właśnie liczba dzielników będzie kluczem do rozpoznania tego, czy dana liczba jest liczbą pierwszą, czy złożoną.

Jeśli liczba dzieli się tylko przez jedynkę i samą siebie (czyli ma dwa dzielniki), wtedy taką liczbę nazywamy liczbą pierwszą.

Jeśli liczba ma więcej niż dwa dzielniki, wtedy nazywamy ją liczbą złożoną.

Wyjątkowo \(0\) i \(1\) nie są ani liczbami pierwszymi, ani złożonymi. Warto to sobie zapamiętać, bo ta ciekawostka pojawia się w różnych testach i na sprawdzianach.

Z powyższych definicji wynika, że:

  • \(12\) jest liczbą złożoną, bo ma aż sześć dzielników.
  • \(23\) jest liczbą pierwszą, bo ma tylko dwa dzielniki.

Po co dzielimy liczby na pierwsze i złożone?
Rozróżnianie liczb pierwszych i złożonych nie jest więc niczym trudnym, ale rodzi się nam w głowie jedno podstawowe pytanie – po co ktoś wymyślił taki podział tych liczb? Przecież równie dobrze moglibyśmy stworzyć sztuczny podział na liczby, które mają mniej lub więcej niż pięć lub dziesięć dzielników… Dlaczego akurat tak, a nie inaczej zostały te liczby podzielone?

Ten podział przyda nam się m.in. w dziale ułamków zwykłych. Pamiętasz, jak skracaliśmy ułamki do prostszej formy? Jedną z trudności, którą na pewno wtedy miałeś było określenie tego, czy da się jeszcze skrócić dany ułamek, czy to może już koniec obliczeń. Teraz jeśli zobaczysz, że w mianowniku znajduje się liczba pierwsza (np. \(5\), \(7\) lub \(23\)), to będziesz pewny, że tego ułamka już bardziej się skrócić nie da (o ile mamy do czynienia z ułamkiem zwykłym w którym licznik jest mniejszy od mianownika). Jeśli natomiast w mianowniku zauważysz liczbę złożoną (np. \(4\), \(6\) lub \(12\)), to musisz sprawdzić poszczególne dzielniki mianownika i zweryfikować, czy przynajmniej jeden z nich nie jest wspólny dla licznika – jeśli jest, to ułamek da się skrócić.

Ale to nie wszystko – w jednym z kolejnych tematów poznasz coś, co nazywamy rozkładem liczby na czynniki pierwsze, co z kolei będzie pomocne przy wyznaczaniu największego wspólnego dzielnika. Jak więc widzisz ten podział na liczby pierwsze i złożone nie jest więc przypadkowy i kryje się za nim sporo tajemnic, które krok po kroku będą przed Tobą odkrywane.

Zadania kontrolne:

Zadanie 1. Czy istnieje liczba parzysta, która jest liczbą pierwszą?

  • Odpowiedź: Tak, jest jedna jedyna taka liczba i jest to \(2\). A dlaczego pozostałe liczby parzyste nie są liczbami pierwszymi i skąd mamy pewność, że na pewno tak jest zawsze? To proste – skoro liczba jest parzysta, to znaczy że dzieli się przez \(2\), a skoro dzieli się przez \(2\), to znaczy że ma więcej niż dwa dzielniki.
Zadanie 2. Potrafisz podać przykład liczby pierwszej, która jest liczbą trzycyfrową?

  • Odpowiedź: Przykładowo takimi liczbami będą \(101\), \(103\), \(107\).

Zobacz także pozostałe tematy:

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.