Procent składany (kapitalizacja odsetek)

Wzór na kapitalizację odsetek jest wykorzystywany przede wszystkim w zadaniach z lokatami i odsetkami. Zobaczmy jak go stosować, na co uważać i gdzie najczęściej popełniamy błędy.

Zacznijmy od wypisania wzoru, ma on następującą postać:

Kapitalizacja odsetek:
$$K_{n}=K\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}$$
gdzie:
$K_{n}$ – kapitał zgromadzony po $n$ okresach kapitalizacji
$K$ – kapitał początkowy
$n$ – liczba okresów kapitalizacji
$p$ – wysokość oprocentowania (po uwzględnieniu liczby kapitalizacji)

Najwięcej problemów stanowi określenie liczby okresów kapitalizacji $n$ oraz oprocentowania $p$ jakie należy podstawić do wzoru. Wyjaśnijmy więc sobie wszystkie wątpliwości:

Liczba kapitalizacji $n$
NIE jest to okres na jaki złożona została lokata. NIE jest to też liczba miesięcy po której nalicza się odsetki. Jest to liczba wszystkich kapitalizacji jakie będą miały miejsce w czasie trwania lokaty. Przykładowo:
a) Jeśli lokata jest roczna, a kapitalizacja jest miesięczna, to $n=12$ (bo jest $12$ miesięcy w roku).
b) Jeśli lokata jest dwuletnia, a kapitalizacja jest miesięczna, to $n=24$ (bo mamy $24$ miesiące w dwóch latach).
c) Jeśli lokata jest roczna, a kapitalizacja odsetek jest półroczna, to $n=2$ (bo mamy $2$ półrocza w roku).
d) Jeśli lokata jest półroczna, a kapitalizacja odsetek jest kwartalna, to $n=2$ (bo mamy $2$ kwartały w półroczu).

Oprocentowanie $p$
NIE musi to być oprocentowanie w skali roku (i bardzo często nie jest). Jest to oprocentowanie w skali jakiegoś okresu (najczęściej roczne) podzielone przez liczbę kapitalizacji jakie nastąpiłyby w tym okresie. Przykładowo:
a) Jeśli lokata ma oprocentowanie $3\%$ w skali roku, a kapitalizacja jest roczna, to $p=3$.
b) Jeśli lokata ma oprocentowanie $3\%$ w skali roku, a kapitalizacja jest miesięczna, to $p=\frac{3}{12}=0,25$ (dzielimy oprocentowanie przez $12$, bo jest $12$ miesięcy w roku).
c) Jeśli lokata ma oprocentowanie $3\%$ w skali roku, a kapitalizacja jest kwartalna, to $p=\frac{3}{4}=0,75$ (dzielimy oprocentowanie przez $4$, bo są $4$ kwartały w roku).
d) Jeśli lokata ma oprocentowanie $3\%$ w skali roku, a kapitalizacja jest roczna, to $p=\frac{3}{1}=3$.

Bardzo łatwo jest się w tym wszystkim pogubić, dlatego zróbmy sobie przykładowe zadanie.

Przykład 1. Pan Jacek chce położyć na lokacie $10000zł$. Oblicz ile pieniędzy będzie na tej lokacie po roku, jeśli:
a) lokata ma oprocentowanie $3\%$ w skali roku, a kapitalizacja odsetek jest roczna
b) lokata ma oprocentowanie $3\%$ w skali roku, a kapitalizacja odsetek jest miesięczna

a) To najprostszy przykład, ale zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, to ustalmy kluczowe parametry, czyli $n$ oraz $p$. Składamy lokatę na rok, a kapitalizacja jest również roczna. W związku z tym $n=1$ (bo odsetki zostaną dopisane tylko raz), a $p=3$. Dodatkowo wiemy, że $K=10000$, zatem podstawiając te wszystkie dane do wzoru, otrzymamy:
$$K_{1}=10000\cdot\left(1+\frac{3}{100}\right)^{1} \\
K_{1}=10000\cdot(1,03)^{1} \\
K_{1}=10000\cdot1,03 \\
K_{1}=10300$$

b) Tym, co różni ten przykład od poprzedniego, jest fakt, iż tym razem kapitalizacja odsetek jest miesięczna. Skoro lokata trwa rok, to odsetki będą nam dopisane $12$ razy, czyli $n=12$. Oprocentowanie na każdą taką kapitalizację będzie równe $p=\frac{3}{12}=0,25$ (dzielimy oprocentowanie przez $12$, bo jest $12$ miesięcy w roku). W związku z tym:
$$K_{12}=10000\cdot\left(1+\frac{0,25}{100}\right)^{12} \\
K_{12}=10000\cdot(1,0025)^{12}$$

Kiedy mamy tak wysoki wykładnik potęgi, to w zdecydowanej większości przypadków nie musimy już kontynuować obliczeń i tak otrzymany wynik możemy uznać za ostateczny. Wykonajmy jednak w ramach ciekawostki (na kalkulatorze) to potęgowanie i sprawdźmy, jaką otrzymamy kwotę:
$$K_{12}\approx10000\cdot1,030416 \\
K_{12}\approx10304,16$$

Zwróć uwagę, że otrzymana kwota jest nieco wyższa niż przy rocznej kapitalizacji. Możemy więc wyciągnąć wniosek, że im częstsza kapitalizacja odsetek, tym lepsza jest oferta dla klienta.

Przykład 2. Pan Jacek chce położyć na lokacie $10000zł$. Oblicz ile pieniędzy będzie na tej lokacie po pół roku, jeśli:
a) lokata ma oprocentowanie $3\%$ w skali roku, a kapitalizacja odsetek jest kwartalna
b) lokata ma oprocentowanie $3\%$ w skali roku, a kapitalizacja odsetek jest miesięczna

a) Zadanie jest bardzo podobne do poprzedniego, z tą tylko różnicą, że teraz mamy lokatę na pół roku. Ustalmy zatem jak teraz wyglądają kluczowe parametry, czyli $n$ oraz $p$. Jeżeli składamy lokatę na pół roku, a kapitalizacja jest kwartalna, to $n=2$ (bo są $2$ kwartały w półroczu). Oprocentowanie (uwzględniające liczbę kapitalizacji) będzie za to równe $p=\frac{3}{4}=0,75$ (dzielimy oprocentowanie przez $4$, bo są $4$ kwartały w roku). Skoro tak, to:
$$K_{2}=10000\cdot\left(1+\frac{0,75}{100}\right)^{2} \\
K_{2}=10000\cdot(1,0075)^{2} \\
K_{2}\approx10000\cdot1,015056 \\
K_{2}\approx10150,56$$

b) Tym razem lokata jest na pół roku, a kapitalizacja jest miesięczna, więc $n=6$ (bo mamy $6$ miesięcy w półroczu). Oprocentowanie (uwzględniające liczbę kapitalizacji) będzie za to równe $p=\frac{3}{12}=0,25$ (dzielimy oprocentowanie przez $12$, bo mamy $12$ miesięcy w roku). W związku z tym:
$$K_{6}=10000\cdot\left(1+\frac{0,25}{100}\right)^{6} \\
K_{6}=10000\cdot(1,0025)^{6}$$

I tutaj podobnie jak we wcześniejszym przykładzie – możemy taki wynik zostawić lub też za pomocą kalkulatora pokusić się o obliczenie przybliżonej wartości:
$$K_{6}\approx10000\cdot1,015094 \\
K_{6}\approx10150,94$$