Podwójna obniżka/podwyżka

Jednym z popularniejszych typów zadań z procentów jest tak zwana „podwójna obniżka” lub „podwójna podwyżka” cen. O co chodzi w takich zadaniach i jak je należy rozwiązywać?

Wyobraźmy sobie, że jakaś rzecz jest przeceniona o $20\%$, a następnie w ramach wyprzedaży następuje obniżka o kolejne $30\%$ od obecnie obowiązującej ceny. Czy to oznacza, że łączna suma obniżek wynosi $50\%$? Niestety nie… Dlaczego tak się dzieje? Wszystko za sprawą tego, iż druga obniżka następuje z ceny już obniżonej, zatem każda kolejna obniżka odnosi się wtedy do coraz to mniejszej kwoty. Sprawdźmy to najpierw na prostym przypadku z konkretnymi liczbami, tak aby zrozumieć istotę tego problemu.

Załóżmy, że koszula kosztuje $100zł$. W ramach przeceny nastąpiła obniżka ceny o $20\%$, czyli cena za tę koszulę wynosi teraz:
$$100zł-0,2\cdot100zł=80zł$$

Jeżeli teraz nastąpi kolejna obniżka o $30\%$, to nowa cena wyniesie:
$$80zł-0,3\cdot80zł=56zł$$

Widzimy wyraźnie, że koszula potaniała o $100zł-56zł=44zł$, a więc o $44\%$ względem ceny początkowej, a nie o $50\%$ jak mogłoby się wydawać. Stało się tak, ponieważ obniżka o $30\%$ następowała nie od ceny $100zł$, tylko od $80zł$, czyli od tej ceny już obniżonej. Warto zrozumieć tę różnicę, bo to ona sprawia najwięcej problemów w zadaniach z podwójnymi obniżkami (lub podwyżkami).

Przydatna uwaga!
Jeżeli cena jakiegoś towaru została obniżona o $20\%$, to nowa cena stanowi $0,8$ (czyli $80\%$) poprzedniej ceny.
Jeżeli cena jakiegoś towaru została obniżona o $30\%$, to nowa cena stanowi $0,7$ (czyli $70\%$) poprzedniej ceny.

I analogicznie:
Jeżeli cena jakiegoś towaru została podwyższona o $20\%$, to nowa cena stanowi $1,2$ (czyli $120\%$) poprzedniej ceny.
Jeżeli cena jakiegoś towaru została podwyższona o $30\%$, to nowa cena stanowi $1,3$ (czyli $130\%$) poprzedniej ceny.

W zadaniach z podwójną obniżką/podwyżką, posługiwanie się ułamkami dziesiętnymi znacznie usprawni nam obliczenia. Przykładowo jeżeli jakiś produkt kosztuje $x$ złotych, a jego cena jest obniżona o $20\%$, to od razu możemy zapisać, że nowa cena wynosi $0,8x$.

Spójrzmy na przykładowe zadania z jakimi możemy zmierzyć się w tym dziale.

Przykład 1. Cena komputera została obniżona o $15\%$, a dodatkowo klient posłużył się kuponem obniżającym aktualną cenę o kolejne $10\%$. Jaka była początkowa cena komputera, jeżeli klient zapłacił $3060zł$.

Rozwiązanie:
Nie znamy początkowej ceny komputera, zatem możemy zapisać, że:
$x$ – początkowa cena komputera

Ta cena została obniżona o $15\%$, więc nowa cena stanowi oczywiście $85\%$ ceny początkowej, czyli:
$0,85x$ – cena komputera po pierwszej obniżce

Klient posiada kod obniżający cenę o $10\%$, a więc zapłaci on $90\%$ obniżonej już ceny komputera, zatem:
$$0,9\cdot0,85x=0,765x$$

Z treści zadania wynika, że ostateczna cena komputera wynosi $3060zł$, a przed chwilą obliczyliśmy sobie, że ta wartość stanowi $0,765x$. To oznacza, że:
$$0,765x=3060zł \\
x=4000zł$$

Przykład 2. Początkowa cena butów została podwyższona o $20\%$, po czym nastąpiła promocja obniżająca ceny o $30\%$. Nowa cena butów jest niższa od ceny początkowej o:
A. $10\%$
B. $15\%$
C. $16\%$
D. $30\%$

Rozwiązanie:
Nie znamy początkowej ceny butów, zatem możemy zapisać, że:
$x$ – początkowa cena butów

Teraz następuje podwyżka o $20\%$, czyli nowa cena stanowi $120\%$ ceny początkowej, zatem:
$1,2x$ – cena butów po podwyżce

Na koniec mamy obniżkę o $30\%$, więc końcowa cena stanowi $70\%$ ceny przed chwilą podwyższonej, więc:
$0,7\cdot1,2x=0,84x$ – cena butów po obniżce

Wyszło nam, że ostateczna cena butów wynosi $0,84x$, czyli że stanowi ona $84\%$ ceny początkowej. Nas w zadaniu pytali o to jak duży jest końcowy rabat, więc możemy stwierdzić, że nowa cena butów jest o $16\%$ niższa od ceny początkowej.

Przykład 3. W poniedziałek ceny akcji firmy MIAU wzrosły o $5\%$, a we wtorek o kolejne $2\%$. Ile kosztowały akcje firmy MIAU, jeżeli w ciągu tych dwóch dni cena akcji wzrosła o $14,2zł$?

Rozwiązanie:
Na początek zapiszmy sobie dane z treści zadania:
$x$ – początkowa cena akcji
$1,05x$ – poniedziałkowa cena akcji
$1,02\cdot1,05x=1,071x$ – wtorkowa cena akcji

To oznacza, że cena akcji wzrosła o:
$$1,071x-x=0,071x$$

Wiemy, że cena akcji wzrosła o $14,2zł$, zatem:
$$0,071x=14,2zł \\
x=200zł$$

Wyszło nam więc, że początkowa cena akcji wynosiła $200zł$.