Porównywanie ułamków zwykłych

Porównywanie ułamków zwykłych nie jest trudne, pod warunkiem że zrozumiemy podstawowe zasady, które umożliwią nam dokonanie skutecznego porównania.

W jaki sposób dokonujemy porównywania ułamków zwykłych?
Załóżmy, że dzielimy tort na \(15\) części, z czego jedna osoba otrzyma jeden kawałek, a druga osoba otrzyma wyjątkowo dwa kawałki. Wiemy już, że pierwsza osoba otrzyma \(\frac{1}{15}\) tortu, a druga \(\frac{2}{15}\) tortu.
Na podstawie tej bardzo prostej historii możemy w łatwy sposób określić, że \(\frac{2}{15}\) tortu jest na pewno większe od \(\frac{1}{15}\).

A teraz kolejny przykład związany z tortem. Załóżmy, że mamy dwa torty, które są identycznej wielkości, z tą różnicą że jeden tort jest czekoladowy, a drugi śmietankowy. Tort czekoladowy podzieliliśmy na \(20\) równych części, a tort śmietankowy podzieliliśmy już tylko na \(10\) kawałków. Jeśli dostaniemy teraz jeden kawałek tortu czekoladowego i jeden śmietankowego, to nie jest żadną tajemnicą, że ten czekoladowy będzie znacznie mniejszy od tego śmietankowego. Widzimy więc, że \(\frac{1}{20}\) tortu jest mniejsza od \(\frac{1}{10}\) tortu…

To co o czym mówiliśmy przed chwilą to nic innego jak porównywanie ułamków. Na podstawie tych prostych opowieści o torcie jesteśmy już w stanie zauważyć pewne zależności:

  • W pierwszym przykładzie obydwa ułamki miały jednakowy mianownik (\(15\)). O tym, który ułamek jest większy decydował licznik – im był on większy, tym większy był cały ułamek (bo więcej było kawałków tortu).
  • W drugim przykładzie obydwa ułamki miały jednakowy licznik (\(1\)). I tym razem o tym który ułamek jest większy decydował mianownik – im był on mniejszy, tym większy był cały ułamek (bo na im mniej kawałków dzieliliśmy tort, tym pojedynczy kawałek był większy).

W ten oto sposób poznałeś pierwsze zasady porównywania ułamków:

1. Jeśli porównywane ułamki zwykłe mają wspólny licznik lub wspólny mianownik, wtedy bardzo łatwo możemy określić która liczba jest większa, korzystając z poniższych reguł:

W przypadku, gdy ułamki mają jednakowe liczniki, większym będzie ten ułamek, który ma mniejszy mianownik:
$$\frac{7}{8}>\frac{7}{11}$$
W przypadku, gdy ułamki mają jednakowe mianowniki, większym będzie ten ułamek, który ma większy licznik:
$$\frac{4}{7}>\frac{3}{7}$$

Może się jednak okazać, że ułamki które chcemy porównać nie zawsze będą miały wspólny licznik lub mianownik. Wtedy musimy zastosować naszą drugą zasadę, która rozwiąże ten problem:

2. Jeśli ułamki zwykłe nie mają wspólnego licznika lub mianownika, wtedy należy je skrócić lub rozszerzyć w taki sposób, by taki wspólny licznik lub mianownik posiadały.
Chcąc porównać \(\frac{2}{3}\) oraz \(\frac{5}{9}\) musimy rozszerzyć pierwszy ułamek do następującej postaci: \(\frac{2}{3} = \frac{6}{9}\) i teraz mając wspólny mianownik możemy łatwo określić, że \(\frac{2}{3}>\frac{5}{9}\), bo \(\frac{6}{9}>\frac{5}{9}\).

I na koniec jeszcze wspomnijmy sobie o ułamkach ujemnych, bo i tu często zdarzają się problemy:

3. Dla ułamków ujemnych zasady określania która liczba jest większa/mniejsza są odwrotne do zasad przy określaniu liczb dodatnich.

W przypadku, gdy ułamki ujemne mają jednakowe liczniki, większym będzie ten ułamek, który ma większy mianownik:
$$-\frac{7}{8}<-\frac{7}{11}$$

W przypadku, gdy ułamki ujemne mają jednakowe mianowniki, większym będzie ten ułamek, który ma mniejszy licznik:
$$-\frac{4}{7}<-\frac{3}{7}$$

Zobacz także:

Rozszerzanie ułamków – ćwiczenie
Skracanie ułamków – ćwiczenie

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.