Rozwiązanie
Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że krótsza podstawa (oznaczmy ją jako \(b\)) oraz wysokość \(h\) mają mieć łączną długość równą \(18dm\). Zapiszmy zatem, że:
$$b+h=18 \\
b=18-h$$
Przy okazji możemy zapisać założenie, że \(b\) musi być mniejsze od \(12\) (bo w przeciwnym wypadku nie będzie to krótsza podstawa), no i oczywiście musi być większe od \(0\), zatem \(b\in(0,12)\).
Pole trapezu obliczamy ze wzoru:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h$$
Wiemy, że \(a=12\) oraz \(b=18-h\), zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}(12+18-h)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(30-h)\cdot h \\
P=(15-\frac{1}{2}h)\cdot h \\
P=15h-\frac{1}{2}h^2 \\
P=-\frac{1}{2}h^2+15h$$
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(h)\).
Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni prostokąta można opisać wzorem \(P=-\frac{1}{2}h^2+15h\). W ten sposób udało nam się zapisać wzór na pole z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(h\) otrzymamy konkretne pole \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(h)=-\frac{1}{2}h^2+15h\).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco:
Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(h\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(h\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-15}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} \\
x_{W}=\frac{-15}{-1} \\
x_{W}=15$$
Wyliczyliśmy zatem, że pole powierzchni będzie największe gdy \(h=15\).
Krok 4. Wyznaczenie długości drugiej podstawy.
Zgodnie z treścią zadania, musimy jeszcze obliczyć długość krótszej podstawy, którą oznaczyliśmy jako \(b\). Zapisaliśmy sobie wcześniej, że \(b=18-h\), zatem:
$$b=18-15 \\
b=3[dm]$$
Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trapezu.
Na koniec musimy obliczyć pole trapezu. Możemy w tym celu skorzystać ze wzoru, który zapisaliśmy wcześniej, czyli \(P=-\frac{1}{2}h^2+15h\) i podstawić do niego \(h=15\). Możemy też po prostu skorzystać ze standardowego wzoru na pole trapezu, bo znamy wszystkie miary naszego trapezu, czyli \(a=12\), \(b=3\) oraz \(h=15\). Skorzystamy może z tego standardowego wzoru, zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot(12+3)\cdot15 \\
P=\frac{1}{2}\cdot15\cdot15 \\
P=112,5[dm^2]$$
