Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych mniejszych od 30 losujemy dwa razy po jednej liczbie bez zwracania

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych mniejszych od \(30\) losujemy dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\), w którym obie wylosowane liczby będą podzielne przez \(3\).

Rozwiązanie

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na początek musimy ustalić ile jest liczb dwucyfrowych mniejszych od \(30\), czyli tak naprawdę ile jest liczb od \(10\) do \(29\) włącznie. Takich liczb jest dokładnie \(20\). Będziemy losować dwie liczby (bez zwracania), zatem wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych zgodnie z regułą mnożenia będziemy mieć:
$$|Ω|=20\cdot19=380$$

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Interesują nas takie pary wyników, w których obie wylosowane liczby są podzielne przez \(3\). Aby liczba była podzielna przez \(3\), to suma jej cyfr musi być liczbą podzielną przez \(3\). W naszym zestawie będą to liczby:
$$12,15,18,21,24,27$$

Widzimy, że jest to \(6\) różnych liczb. Zgodnie z regułą mnożenia, skoro losowanie jest bez zwracania, to takich par w których jedna i druga liczba są podzielne przez \(3\), uda nam się utworzyć:
$$|A|=6\cdot5=30$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{30}{380}=\frac{3}{38}$$

Odpowiedź

\(P(A)=\frac{3}{38}\)

Dodaj komentarz