Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 losujemy bez zwracania dwa razy po jednej liczbie

Ze zbioru liczb \(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\) losujemy bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby tworzą parę \((a,b)\), gdzie \(a\) jest wynikiem pierwszego losowania, \(b\) jest wynikiem drugiego losowania. Oblicz, ile jest wszystkich par \((a,b)\) takich, że iloczyn \(a\cdot b\) jest liczbą parzystą.

Rozwiązanie

Krok 1. Ustalenie kiedy iloczyn liczb jest liczbą parzystą.
Zastanówmy się co się musi stać, aby iloczyn dwóch liczb dał liczbę parzystą.
Kiedy mnożymy przez siebie dwie liczby nieparzyste, to otrzymany wynik jest nieparzyty (np. \(3\cdot5=15\)).
Kiedy mnożymy przez siebie dwie liczby parzyste, to otrzymany wynik jest parzyty (np. \(2\cdot6=12\)).
Kiedy mnożymy przez siebie liczbę parzystą i nieparzystą, to otrzymany wynik jest parzysty (np. \(5\cdot6=30\)).

W związku z tym interesować nas będą wszystkie pary w których:
a) pierwsza i druga liczba są parzyste
b) pierwsza liczba jest parzystą, a druga jest nieparzysta
c) pierwsza liczba jest nieparzysta, a druga jest parzysta

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Ustalmy ile jest możliwych kombinacji wylosowania dwóch liczb parzystych. W zbiorze mamy \(7\) liczb parzystych i \(8\) nieparzystych. Ważną informacją jest to, że losowanie odbywa się bez zwracania piłki. W związku z tym jak wylosujemy jedną z siedmiu parzystych liczb, to potem możemy wylosować jedną z sześciu parzystych liczb. Zatem zgodnie z regułą mnożenia możliwości otrzymania dwóch liczb parzystych będziemy mieć:
$$|A_{1}|=7\cdot6=42$$

Teraz ustalmy ile jest kombinacji wylosowania najpierw liczby parzystej, a potem nieparzystej. Jak w pierwszym losowaniu wybierzemy jedną z siedmiu liczb parzystych, to w kolejnym możemy natrafić na jedną z ośmiu liczb nieparzystych (bo odrzucona liczba będzie parzysta), zatem zgodnie z regułą mnożenia:
$$|A_{2}|=7\cdot8=56$$

I na koniec ustalmy ile jest kombinacji wylosowania najpierw liczby nieparzystej, a potem parzystej. Tu będzie dość podobnie jak przed chwilą - jak w pierwszym losowaniu trafimy na jedną z ośmiu liczb nieparzystych, to potem możemy trafić na jedną z siedmiu liczb parzystych (bo odrzucona liczba będzie nieparzysta):
$$|A_{3}|=8\cdot7=56$$

Teraz dodajemy do siebie te wszystkie kombinacje i wychodzi nam, że wszystkich zdarzeń sprzyjających jest:
$$|A|=|A_{1}|+|A_{2}|+|A_{3}| \\
|A|=42+56+56 \\
|A|=154$$

Odpowiedź

\(|A|=154\)

Dodaj komentarz