Zbiory liczbowe

Zbiory to matematyczne przedstawienie grupy konkretnych, interesujących nas liczb. Generalnie zbiory możemy podzielić na skończone oraz nieskończone. Jak sama nazwa wskazuje – zbiory skończone mają skończoną liczbę elementów, a zbiory nieskończone mają nieskończenie wiele elementów.

Omówmy kilka przykładowych zbiorów i przy okazji zobaczmy jak takie wzory się zapisuje:

Przykład 1.
$$X=\{1,2,3,4,5,6\}$$
Powyższy zbiór składa się z sześciu elementów (czyli jest skończony). Taki zapis informuje nas, że do zbioru należą liczby \(1, 2, 3, 4, 5\) oraz \(6\).

Co ciekawe jest to jeden z częściej pojawiających się zbiorów na matematyce, bo przedstawia on możliwe wyniki rzutu standardową sześcienną kostką.

Przykład 2.
$$A=\{1,4;\;5,7;\;8,01\}$$
W tym przypadku do zbioru należą trzy elementy: \(1,4\) oraz \(5,7\) oraz \(8,01\).
No właśnie, przy zapisywaniu zbiorów dość problematyczne może być ujęcie ułamków dziesiętnych (przecinek z ułamka dziesiętnego myli się z rozgraniczeniem liczb). Z tego też względu często liczby w zbiorach zapisuje się po średniku (w przypadku gdy mamy ułamki dziesiętne jest to wręcz konieczne).
Przykład 3.
$$Z=\{1,2,3,…,39,40\}$$
Ten zbiór choć formalnie ma wypisanych tylko pięć elementów to składać się będzie z \(40\) liczb. Jeżeli więc do zbioru należy bardzo dużo liczb i każda kolejna liczba ma jakiś związek z poprzednią (tutaj każda liczba jest o \(1\) większa od poprzedniej), to możemy zapisać to wszystko właśnie w taki sposób, że podamy kilka elementów początkowych, postawimy wielokropek i wypiszemy kilka elementów końcowych.
Przykład 4.
$$Y=\{1,2,3,…\}$$
Ten zbiór jest już zbiorem nieskończonym. Tym razem wielokropek kończy nam zapis, dzięki czemu widzimy wyraźnie, że jest nieskończenie wiele elementów w takim zbiorze, a każdy kolejny wyraz jest o \(1\) większy od poprzednika.

Czym się różni przedział od zbioru?
O ile powyższe przykłady raczej nie sprawiały żadnych problemów, o tyle często problematyczną kwestią jest zrozumienie czym się różni przedział od zbioru. Przedziały opisują nam pewien zakres liczb. Przykładowo przedział \(x\in(-4;10)\) mówi nam, że nasza niewiadoma \(x\) jest większa od \(-4\) i mniejsza od \(10\). Zbiory bardziej nastawione są na zaprezentowanie konkretnej grupy liczb.

Tę różnicę najlepiej widać na przykładzie rzutu kostką. Kiedy chcemy matematycznie zapisać jakie wyniki możemy otrzymać podczas rzutu sześcienną kostką do gry, to nie możemy napisać, że \(x\in\langle1;6\rangle\). Owszem, w tym przedziale znajdują się wyniki takie jak \(3\) czy \(5\), ale znajdują się także liczby typu \(\sqrt{2},\;4\frac{1}{2}\) czy też \(5,88\), a takich wyników przecież na kostce nie mamy. Chcąc więc zapisać jakie wyniki możemy otrzymać rzucając taką kostką musimy posłużyć się właśnie wzorem, zapisując że \(X=\{1,2,3,4,5,6\}\).

Zbiór liczb rzeczywistych, całkowitych, naturalnych, wymiernych i niewymiernych
W tym temacie musimy sobie jeszcze powiedzieć o pięciu bardzo charakterystycznych zbiorach, które występują na matematyce:
• Liczby rzeczywiste – są to wszystkie liczby jakie występują na matematyce. Taki zbiór oznaczamy literką \(R\).
Przykładowymi liczbami należącymi do tego zbioru będą: \(-\sqrt{101}, \frac{1}{2}, 8\) oraz \(4,15\).
• Liczby całkowite – są to wszystkie liczby, które nie mają żadnej części ułamkowej. Taki zbiór oznaczamy literką \(C\).
Przykładowymi liczbami należącymi do tego zbioru będą: \(-3, -1, 0\) oraz \(17\).
• Liczby naturalne – są to wszystkie liczby całkowite, które nie są ujemne. Taki zbiór oznaczamy literką \(N\).
Przykładowymi liczbami należącymi do tego zbioru będą: \(1, 5, 11\) oraz \(100\).
Tutaj problematyczną kwestią jest to, czy traktujemy \(0\) jako liczbę naturalną. Z tego też względu często możemy spotkać się z zapisem \(N_{+}\), który wyraźnie informuje nas, że interesują nas wszystkie liczby naturalne dodatnie (czyli właśnie bez zera).
• Liczby wymierne – są to wszystkie liczby, które da się zapisać za pomocą ułamka zwykłego. Taki zbiór oznaczamy literką \(W\).
Przykładowymi liczbami należącymi do tego zbioru będą: \(\frac{1}{2}, \frac{3}{5}\) oraz \(5,2\).
Przy okazji warto pamiętać, że liczby całkowite także są wymierne. Przykładowo liczbę \(6\) możemy zapisać w formie ułamka np. \(\frac{6}{1}\), więc \(6\) jak najbardziej jest liczbą wymierną.
• Liczby niewymierne – są to wszystkie liczby, których nie da się zapisać za pomocą ułamka zwykłego (głównie będą to pierwiastki które nie dają całkowitego wyniku oraz ułamki dziesiętne nieskończone). Taki zbiór oznaczamy jako \(NW\).
Przykładowymi liczbami należącymi do tego zbioru będą: \(\sqrt{3}, \sqrt{13}, π\) oraz \(0,1287756…\).

Dodaj komentarz