Zależności między funkcjami trygonometrycznymi – zadania maturalne
50 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
paweu507
kiedy powinienem bać się interpretacji np. tgα=4/3 jako 4=dalsza przyprostokątna, 3=blizsza przyprostokątna i tak szybko obliczyć przeciwprostokątną, nie bawiąc się w sin2+cos2=1
Nigdy nie można pisać, że kiedy tgα=4/3 to jedna przyprostokątna ma długość 4, a druga 3! Dlaczego? Ponieważ równie dobrze dalsza przyprostokątna może mieć długość 8, a krótsza 6 i wtedy też masz taką samą wartość tangensa :)
To bardzo zgubna droga, ten sposób działa tylko w wyjątkowych sytuacjach ;) Jeśli tgα=4/3, to możemy napisać, że jedna przyprostokątna ma długość 4x, a druga 3x, ale nie możemy założyć żadnych konkretnych długości.
Mam pytanie, czy np. w 1 zadaniu możemy przyjąć, że jest kąt prosty czyli jeśli sinα=3/4 to a=3, c=4 i wtedy b z pitagorasa wychodzi √7. Dalej 2-((√7)/4)²=2-7/16 i wynik się zgadza. Czy to poprawne rozumowanie?
Tak, generalnie w każdym takim zadaniu można korzystać z trójkąta prostokątnego :) Dobrze jednak byłoby, gdyby zapisywać te długości boków z niewiadomą x. Przykładowo w tym 20 zadaniu nie możemy zapisać, że a=2 oraz b=3, bo równie dobrze „a” mogłoby być równe 4 oraz „b” mogłoby być równe 6 (wtedy też tangens byłby równy 2/3). Trzeba byłoby więc zapisać, że a=2x oraz b=3x i całość obliczeń robić tak jak do tej pory. W zadaniu zamkniętym nikt tego nie zweryfikuje, ale w otwartym już by za to poleciały punkty ;)
Senjougaharahitagi
W zadaniu 11 można po prostu podstawić sin=2 a cos =5 ? bo wynik wychodzi poprawny ale nie jestem pewny co do „dobrego użytku” tej metody
Możesz podstawić 2x oraz 5x :) Nie możesz podstawić dokładnych wartości takich jak 2 czy 5, bo równie dobrze może to być 4 oraz 10. Oczywiście w zadaniu zamkniętym nikt tego nie sprawdzi, ale takie przykłady pojawiają się także w części otwartej ;)
Wero
Dlaczego w zadaniu 16 np. jak cos zmienimy na sin to wychodzi sin60 stopni i to jest źle ? Czemu musimy zmienić sin na cos, a nie możemy cos na sin ?
Nie wiem czy dobrze rozumiem pytanie ;) Chodzi o to, że chcesz zamienić cos30 na sin60? No to można tak to zrobić ;) Otrzymasz wtedy sin120-sin60, ale wbrew pozorom wynik tego odejmowania to nie jest sin60 :)
Ponieważ ani sinus, ani cosinus nie są funkcjami liniowymi ;) Możesz zrobić prosty eksperyment – zobacz sobie na końcu tablic ile jest równy np. sin30 stopni i sin20 stopni, odejmij je od siebie i zauważysz, że otrzymany wynik nie jest równy wartości sin10 ;)
Mam pytanie do zad. 29. Sprowadziłeś składniki do wspólnego mianownika, dzięki czemu później mogłeś skrócić licznik z mianownikiem i zostało 1/cos, co ostatecznie dało wynik √3. Ja natomiast na początku pozbyłam się mianowników, mnożąc składniki najpierw przez cos, a następnie przez (1+sin). Wyszło mi sin+jedynka trygonometryczna; osobno wyliczyłam, że sin=√6/3 i po podstawieniu tej wartości do zadania dostałam wynik 1 i √6/3. Mój wynik różni się od Twojego, ale w sumie nieznacznie – jeśli dobrze liczę, to 0,1;) czy to jest w tym wypadku akceptowalny margines błędu? a może gdzieś się pomyliłam? Przy okazji – ta strona jest wspaniała, wielki… Czytaj więcej »
Jeśli cos = √3/3, to sin nie może mieć wartości 1/2! Liczę, liczę i nijak mi to nie wychodzi, a jednocześnie wiem, że dotąd – jeśli czytelnicy zwracali Ci uwagę na błąd, to nigdy nie mieli racji:D Mój mózg płonie;)
Racja, myślałem że tam jest cos=√3/2 i z pamięci podałem :D Powiem tak – sinusa masz policzonego dobrze, choć i tutaj można byłoby zauważyć, że jak mamy sin^2=6/9 to po prawej stronie da się ten ułamek skrócić do postaci 2/3 i wtedy sin=pierwiastek z 2/3 :) Nie mniej jednak nie to jest problemem. Problem jest chyba w tym, że dokonałaś złego przekształcenia, bo tam nijak nie wyjdzie 1+sin :) Jest więc gdzieś po drodze popełniony błąd rachunkowy ;)
kislu56
cześć, dlaczego w 1 zadaniu wynik 7/16 zostawiliśmy bez pierwiastka, a w 3 zad ten sam wynik był już pod pierwiastkiem? już się gubię ;p.
Zazwyczaj obliczamy sinusa lub cosinusa i wtedy faktycznie wyciągamy pierwiastek w takiej sytuacji. Tutaj widzisz, że w treści zadania mamy wyrażenie z cos^2, więc nie ma sensu liczyć samego cosinusa, po to by za chwilę i tak go podnieść do kwadratu ;) Stąd też od razu zostawiłem cos^2
Adam
Czy rozwiązywanie zadań otwartych takich jak 23 za pomocą pitagorasa to jest jakiś błąd, za który nie dostanę full punktów, nawet jeśli wszystko będzie dobrze?
Można i Pitagorasem ;) Warunek jest jeden – musisz pisać długości boków jako 4x oraz 3x, a nie 4 oraz 3 (bo równie dobrze mogłoby to być 8 i 6, a wtedy też tangens byłby równy 4/3) :)
Weronika
Czy te wszystkie zadania są z matur z CKE czy z Operonu i nowej ery tez?
Oczywiście! Pamiętaj tylko, by długości boków opisywać jako 5x oraz 12x, a nie 5 oraz 12 :)
danuta
super dużo zadań dzięki za pomoc
helpppmeee
W zadaniu 32 (sinα+cosα)2 podnosimy wyrażenie w nawiasie do kwadratu zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia. Pytanie dlaczego? Przecież wcześniej w innych zadaniach podnosiliśmy każde wyrażenie osobno do kwadratu i zamienialiśmy całe wyrażenie na jedynkę zgodnie ze wzorem na jedynkę trygonometryczną. Proszę mi to wytłumaczyć bo nie rozumiem dlaczego zmieniła się reguła postępowania
Odpowiedź jest w sumie bardzo prosta ;) sin^2α+cos^2α to nie to samo co (sinα+cosα)^2. Już tak pomijając te sinusy, to zobacz, że przykładowo 5^2+6^2 to nie jest to samo co (5+6)^2, otrzymasz dwa zupełnie różne wyniki :)
W tym zadaniu wyjątkowo dali nam takie nietypowe wyrażenie jak (sinα+cosα)^2, no a chcąc je rozwiązać musimy właśnie skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia ;)
deeejm
Czy w zadaniach takich jak 23 / 24 można po prostu odczytać wartości z tablic? Czy za to będzie max pkt?
W zadaniach otwartych to nie przejdzie – chociażby dlatego, że nie znajdziesz w tablicach tych dokładnych wartości :)
Anna
Cześć! Czy jeśli np. w zadaniu 28 zrobiłabym wszystko dobrze, ale zapisałabym wynik jako 11/4 zamiast 2 3/4, czyli zapisałabym skrócony ułamek, ale bez wyciągnięcia całości, to czy dostałabym dwa punkty?
Mamy tam wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias :)
anka1nina
Zadanie 11. Nie można było to zrobić prościej? tg alfa to sin alfa : cos alfa. Jak zapisze się to w ułamku i obok wpisze się = 2/5 to od razu nasuwa się że sin alfa jest równe 2 a cos alfa jest równe 5. W tym momencie podstawiam do ułamka te liczby i wychodzi -11/23
Powiem tak – w zadaniu zamkniętym to faktycznie ten sposób przejdzie, bo otrzymasz dobry wynik :) Ale niestety, gdyby to było zadanie otwarte, to takie rozwiązanie byłoby warte prawdopodobnie 0 punktów. Dlaczego? To, że tg=2/5 nie oznacza, że sinus jest równy 2, a cosinus 5. Prawdę mówiąc jest to wręcz spory błąd, bo przecież sinus i cosinus nie przyjmują wartości większych od 1 :) Poza tym, nie wiemy czy ułamek 2/5 powstał w wyniku dzielenia 2 przez 5, czy też może np. 0,2 przez 0,5. Nie możemy więc pisać konkretnych wartości, skoro ich nie znamy. Jeśli już, to trzeba byłoby… Czytaj więcej »
A które zadanie Ci ucina? Pewnie korzystasz z telefonu i tam nie mieści się w linijce cały matematyczny zapis – w takiej sytuacji spróbuj przewijać w bok ;)
77nero
nie rozumiem wyjasnienia zadania 12, jak to sie stalo, po sprowadzeniu do wspolnego mianownika nie wychodzi, skrocic nie mozna, a wzorow zadnych nie widze?
Ale tam nie ma sprowadzania do wspólnego mianownika ;) Po prostu przy użyciu jedynki trygonometrycznej zamieniamy odpowiednie wyrażenia i tak się składa, że powstają nam dwa ułamki, które mają ten sam licznik oraz mianownik ;)
Wszystkie to może nie, bo jeśli jakiś typ zadania był wielokrotnie na maturze, to nie dawałem tutaj kilku takich samych zadań, tak aby ten zbiór zadań był nieco bardziej urozmaicony ;)
Strona wykorzystuje pliki cookies zgodnie z polityką prywatności m.in. do prowadzenia statystyk, personalizowania reklam i poprawy funkcjonalności. Dalsze korzystanie ze strony oznacza, że zgadzasz się na ich użycie.OK, dzięki
kiedy powinienem bać się interpretacji np. tgα=4/3 jako 4=dalsza przyprostokątna, 3=blizsza przyprostokątna i tak szybko obliczyć przeciwprostokątną, nie bawiąc się w sin2+cos2=1
Nigdy nie można pisać, że kiedy tgα=4/3 to jedna przyprostokątna ma długość 4, a druga 3! Dlaczego? Ponieważ równie dobrze dalsza przyprostokątna może mieć długość 8, a krótsza 6 i wtedy też masz taką samą wartość tangensa :)
chodzi mi o fakt, ze wówczas dużo szybciej jest wyznaczyć sin oraz cos
To bardzo zgubna droga, ten sposób działa tylko w wyjątkowych sytuacjach ;) Jeśli tgα=4/3, to możemy napisać, że jedna przyprostokątna ma długość 4x, a druga 3x, ale nie możemy założyć żadnych konkretnych długości.
Ale jest to niepoprawne i wyjdą ci wtedy złe wartości.
Czy można wytłumaczyć w takich zadaniach jak zadanie 3 w momencie,gdy mamy -9/49 skąd się wzięło 40/49?
1 możemy rozpisać jako 49/49. Odejmując obustronnie -9/49 będziemy mieć zatem po prawej stronie ułamek 40/49 :)
Aaa, już rozumiem, dziękuję <3
Skąd w zadaniu 23 z 16/9 cos2 + cos2 = 1 wyszło 25/9 cos2 =1?
Załóżmy, że nie dodajemy cos^2α, tylko dodajemy jabłka :)
16/9 jabłka + jabłko = 1 16/9 jabłka = 25/9 jabłka
Analogicznie:
16/9 cos^2α + cos^2α = 1 16/9 cos^2α = 25/9 cos^2α
Teraz jest już to chyba jaśniejsze ;)
Mam pytanie, czy np. w 1 zadaniu możemy przyjąć, że jest kąt prosty czyli jeśli sinα=3/4 to a=3, c=4 i wtedy b z pitagorasa wychodzi √7. Dalej 2-((√7)/4)²=2-7/16 i wynik się zgadza. Czy to poprawne rozumowanie?
Tak, można to sobie rozpisać na trójkącie prostokątnym ;) Aczkolwiek trzeba byłoby precyzyjniej zapisać, że a=3x oraz b=4x :)
I to samo się tyczy zadania 20??? Tak się męczę rozpisując a zrobiłem podstawiając do wzorów, że tg=a/b i mi wyszło od razu i dobrze w dodatku :)
Tak, generalnie w każdym takim zadaniu można korzystać z trójkąta prostokątnego :) Dobrze jednak byłoby, gdyby zapisywać te długości boków z niewiadomą x. Przykładowo w tym 20 zadaniu nie możemy zapisać, że a=2 oraz b=3, bo równie dobrze „a” mogłoby być równe 4 oraz „b” mogłoby być równe 6 (wtedy też tangens byłby równy 2/3). Trzeba byłoby więc zapisać, że a=2x oraz b=3x i całość obliczeń robić tak jak do tej pory. W zadaniu zamkniętym nikt tego nie zweryfikuje, ale w otwartym już by za to poleciały punkty ;)
W zadaniu 11 można po prostu podstawić sin=2 a cos =5 ? bo wynik wychodzi poprawny ale nie jestem pewny co do „dobrego użytku” tej metody
Możesz podstawić 2x oraz 5x :) Nie możesz podstawić dokładnych wartości takich jak 2 czy 5, bo równie dobrze może to być 4 oraz 10. Oczywiście w zadaniu zamkniętym nikt tego nie sprawdzi, ale takie przykłady pojawiają się także w części otwartej ;)
Dlaczego w zadaniu 16 np. jak cos zmienimy na sin to wychodzi sin60 stopni i to jest źle ? Czemu musimy zmienić sin na cos, a nie możemy cos na sin ?
Nie wiem czy dobrze rozumiem pytanie ;) Chodzi o to, że chcesz zamienić cos30 na sin60? No to można tak to zrobić ;) Otrzymasz wtedy sin120-sin60, ale wbrew pozorom wynik tego odejmowania to nie jest sin60 :)
Dlaczego ?????
Ponieważ ani sinus, ani cosinus nie są funkcjami liniowymi ;) Możesz zrobić prosty eksperyment – zobacz sobie na końcu tablic ile jest równy np. sin30 stopni i sin20 stopni, odejmij je od siebie i zauważysz, że otrzymany wynik nie jest równy wartości sin10 ;)
Dziękuję, muszę zapamiętać
Mam pytanie do zad. 29. Sprowadziłeś składniki do wspólnego mianownika, dzięki czemu później mogłeś skrócić licznik z mianownikiem i zostało 1/cos, co ostatecznie dało wynik √3. Ja natomiast na początku pozbyłam się mianowników, mnożąc składniki najpierw przez cos, a następnie przez (1+sin). Wyszło mi sin+jedynka trygonometryczna; osobno wyliczyłam, że sin=√6/3 i po podstawieniu tej wartości do zadania dostałam wynik 1 i √6/3. Mój wynik różni się od Twojego, ale w sumie nieznacznie – jeśli dobrze liczę, to 0,1;) czy to jest w tym wypadku akceptowalny margines błędu? a może gdzieś się pomyliłam? Przy okazji – ta strona jest wspaniała, wielki… Czytaj więcej »
Wygląda na to, że gdzieś popełniłaś błąd rachunkowy ;) Na pewno sinus jest już źle policzony, bo tutaj sinus będzie miał równiutką wartość 1/2 ;)
Jeśli cos = √3/3, to sin nie może mieć wartości 1/2! Liczę, liczę i nijak mi to nie wychodzi, a jednocześnie wiem, że dotąd – jeśli czytelnicy zwracali Ci uwagę na błąd, to nigdy nie mieli racji:D Mój mózg płonie;)
Racja, myślałem że tam jest cos=√3/2 i z pamięci podałem :D Powiem tak – sinusa masz policzonego dobrze, choć i tutaj można byłoby zauważyć, że jak mamy sin^2=6/9 to po prawej stronie da się ten ułamek skrócić do postaci 2/3 i wtedy sin=pierwiastek z 2/3 :) Nie mniej jednak nie to jest problemem. Problem jest chyba w tym, że dokonałaś złego przekształcenia, bo tam nijak nie wyjdzie 1+sin :) Jest więc gdzieś po drodze popełniony błąd rachunkowy ;)
cześć, dlaczego w 1 zadaniu wynik 7/16 zostawiliśmy bez pierwiastka, a w 3 zad ten sam wynik był już pod pierwiastkiem? już się gubię ;p.
Zazwyczaj obliczamy sinusa lub cosinusa i wtedy faktycznie wyciągamy pierwiastek w takiej sytuacji. Tutaj widzisz, że w treści zadania mamy wyrażenie z cos^2, więc nie ma sensu liczyć samego cosinusa, po to by za chwilę i tak go podnieść do kwadratu ;) Stąd też od razu zostawiłem cos^2
Czy rozwiązywanie zadań otwartych takich jak 23 za pomocą pitagorasa to jest jakiś błąd, za który nie dostanę full punktów, nawet jeśli wszystko będzie dobrze?
Można i Pitagorasem ;) Warunek jest jeden – musisz pisać długości boków jako 4x oraz 3x, a nie 4 oraz 3 (bo równie dobrze mogłoby to być 8 i 6, a wtedy też tangens byłby równy 4/3) :)
Czy te wszystkie zadania są z matur z CKE czy z Operonu i nowej ery tez?
Tylko z CKE, już nie mieszałem aż tak ;)
Czy zadanie 24 można zrobić za pomocą trójkąta prostokątnego
Oczywiście! Pamiętaj tylko, by długości boków opisywać jako 5x oraz 12x, a nie 5 oraz 12 :)
super dużo zadań dzięki za pomoc
W zadaniu 32 (sinα+cosα)2 podnosimy wyrażenie w nawiasie do kwadratu zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia. Pytanie dlaczego? Przecież wcześniej w innych zadaniach podnosiliśmy każde wyrażenie osobno do kwadratu i zamienialiśmy całe wyrażenie na jedynkę zgodnie ze wzorem na jedynkę trygonometryczną. Proszę mi to wytłumaczyć bo nie rozumiem dlaczego zmieniła się reguła postępowania
Odpowiedź jest w sumie bardzo prosta ;) sin^2α+cos^2α to nie to samo co (sinα+cosα)^2. Już tak pomijając te sinusy, to zobacz, że przykładowo 5^2+6^2 to nie jest to samo co (5+6)^2, otrzymasz dwa zupełnie różne wyniki :)
W tym zadaniu wyjątkowo dali nam takie nietypowe wyrażenie jak (sinα+cosα)^2, no a chcąc je rozwiązać musimy właśnie skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia ;)
Czy w zadaniach takich jak 23 / 24 można po prostu odczytać wartości z tablic? Czy za to będzie max pkt?
W zadaniach otwartych to nie przejdzie – chociażby dlatego, że nie znajdziesz w tablicach tych dokładnych wartości :)
Cześć! Czy jeśli np. w zadaniu 28 zrobiłabym wszystko dobrze, ale zapisałabym wynik jako 11/4 zamiast 2 3/4, czyli zapisałabym skrócony ułamek, ale bez wyciągnięcia całości, to czy dostałabym dwa punkty?
Tak, to jest jak najbardziej dobra odpowiedź! Można podawać odpowiedzi bez wyciągania całości, to dość częsta praktyka :)
zadanie 8. Przy trzeciej linijce się zgubiłam i nie wiem jak wyszło to :(
Mamy tam wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias :)
Zadanie 11. Nie można było to zrobić prościej? tg alfa to sin alfa : cos alfa. Jak zapisze się to w ułamku i obok wpisze się = 2/5 to od razu nasuwa się że sin alfa jest równe 2 a cos alfa jest równe 5. W tym momencie podstawiam do ułamka te liczby i wychodzi -11/23
Powiem tak – w zadaniu zamkniętym to faktycznie ten sposób przejdzie, bo otrzymasz dobry wynik :) Ale niestety, gdyby to było zadanie otwarte, to takie rozwiązanie byłoby warte prawdopodobnie 0 punktów. Dlaczego? To, że tg=2/5 nie oznacza, że sinus jest równy 2, a cosinus 5. Prawdę mówiąc jest to wręcz spory błąd, bo przecież sinus i cosinus nie przyjmują wartości większych od 1 :) Poza tym, nie wiemy czy ułamek 2/5 powstał w wyniku dzielenia 2 przez 5, czy też może np. 0,2 przez 0,5. Nie możemy więc pisać konkretnych wartości, skoro ich nie znamy. Jeśli już, to trzeba byłoby… Czytaj więcej »
Dlaczego ucina niektóre rozwiązania zadań ?
A które zadanie Ci ucina? Pewnie korzystasz z telefonu i tam nie mieści się w linijce cały matematyczny zapis – w takiej sytuacji spróbuj przewijać w bok ;)
nie rozumiem wyjasnienia zadania 12, jak to sie stalo, po sprowadzeniu do wspolnego mianownika nie wychodzi, skrocic nie mozna, a wzorow zadnych nie widze?
Ale tam nie ma sprowadzania do wspólnego mianownika ;) Po prostu przy użyciu jedynki trygonometrycznej zamieniamy odpowiednie wyrażenia i tak się składa, że powstają nam dwa ułamki, które mają ten sam licznik oraz mianownik ;)
Czy to są wszystkie zadania CKE z tego tematu?
Wszystkie to może nie, bo jeśli jakiś typ zadania był wielokrotnie na maturze, to nie dawałem tutaj kilku takich samych zadań, tak aby ten zbiór zadań był nieco bardziej urozmaicony ;)