Zależności między funkcjami trygonometrycznymi – zadania maturalne
44 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
paweu507
kiedy powinienem bać się interpretacji np. tgα=4/3 jako 4=dalsza przyprostokątna, 3=blizsza przyprostokątna i tak szybko obliczyć przeciwprostokątną, nie bawiąc się w sin2+cos2=1
Nigdy nie można pisać, że kiedy tgα=4/3 to jedna przyprostokątna ma długość 4, a druga 3! Dlaczego? Ponieważ równie dobrze dalsza przyprostokątna może mieć długość 8, a krótsza 6 i wtedy też masz taką samą wartość tangensa :)
To bardzo zgubna droga, ten sposób działa tylko w wyjątkowych sytuacjach ;) Jeśli tgα=4/3, to możemy napisać, że jedna przyprostokątna ma długość 4x, a druga 3x, ale nie możemy założyć żadnych konkretnych długości.
Mam pytanie, czy np. w 1 zadaniu możemy przyjąć, że jest kąt prosty czyli jeśli sinα=3/4 to a=3, c=4 i wtedy b z pitagorasa wychodzi √7. Dalej 2-((√7)/4)²=2-7/16 i wynik się zgadza. Czy to poprawne rozumowanie?
Tak, generalnie w każdym takim zadaniu można korzystać z trójkąta prostokątnego :) Dobrze jednak byłoby, gdyby zapisywać te długości boków z niewiadomą x. Przykładowo w tym 20 zadaniu nie możemy zapisać, że a=2 oraz b=3, bo równie dobrze „a” mogłoby być równe 4 oraz „b” mogłoby być równe 6 (wtedy też tangens byłby równy 2/3). Trzeba byłoby więc zapisać, że a=2x oraz b=3x i całość obliczeń robić tak jak do tej pory. W zadaniu zamkniętym nikt tego nie zweryfikuje, ale w otwartym już by za to poleciały punkty ;)
Senjougaharahitagi
W zadaniu 11 można po prostu podstawić sin=2 a cos =5 ? bo wynik wychodzi poprawny ale nie jestem pewny co do „dobrego użytku” tej metody
Możesz podstawić 2x oraz 5x :) Nie możesz podstawić dokładnych wartości takich jak 2 czy 5, bo równie dobrze może to być 4 oraz 10. Oczywiście w zadaniu zamkniętym nikt tego nie sprawdzi, ale takie przykłady pojawiają się także w części otwartej ;)
Wero
Dlaczego w zadaniu 16 np. jak cos zmienimy na sin to wychodzi sin60 stopni i to jest źle ? Czemu musimy zmienić sin na cos, a nie możemy cos na sin ?
Nie wiem czy dobrze rozumiem pytanie ;) Chodzi o to, że chcesz zamienić cos30 na sin60? No to można tak to zrobić ;) Otrzymasz wtedy sin120-sin60, ale wbrew pozorom wynik tego odejmowania to nie jest sin60 :)
Ponieważ ani sinus, ani cosinus nie są funkcjami liniowymi ;) Możesz zrobić prosty eksperyment – zobacz sobie na końcu tablic ile jest równy np. sin30 stopni i sin20 stopni, odejmij je od siebie i zauważysz, że otrzymany wynik nie jest równy wartości sin10 ;)
Mam pytanie do zad. 29. Sprowadziłeś składniki do wspólnego mianownika, dzięki czemu później mogłeś skrócić licznik z mianownikiem i zostało 1/cos, co ostatecznie dało wynik √3. Ja natomiast na początku pozbyłam się mianowników, mnożąc składniki najpierw przez cos, a następnie przez (1+sin). Wyszło mi sin+jedynka trygonometryczna; osobno wyliczyłam, że sin=√6/3 i po podstawieniu tej wartości do zadania dostałam wynik 1 i √6/3. Mój wynik różni się od Twojego, ale w sumie nieznacznie – jeśli dobrze liczę, to 0,1;) czy to jest w tym wypadku akceptowalny margines błędu? a może gdzieś się pomyliłam? Przy okazji – ta strona jest wspaniała, wielki… Czytaj więcej »
Jeśli cos = √3/3, to sin nie może mieć wartości 1/2! Liczę, liczę i nijak mi to nie wychodzi, a jednocześnie wiem, że dotąd – jeśli czytelnicy zwracali Ci uwagę na błąd, to nigdy nie mieli racji:D Mój mózg płonie;)
Racja, myślałem że tam jest cos=√3/2 i z pamięci podałem :D Powiem tak – sinusa masz policzonego dobrze, choć i tutaj można byłoby zauważyć, że jak mamy sin^2=6/9 to po prawej stronie da się ten ułamek skrócić do postaci 2/3 i wtedy sin=pierwiastek z 2/3 :) Nie mniej jednak nie to jest problemem. Problem jest chyba w tym, że dokonałaś złego przekształcenia, bo tam nijak nie wyjdzie 1+sin :) Jest więc gdzieś po drodze popełniony błąd rachunkowy ;)
kislu56
cześć, dlaczego w 1 zadaniu wynik 7/16 zostawiliśmy bez pierwiastka, a w 3 zad ten sam wynik był już pod pierwiastkiem? już się gubię ;p.
Zazwyczaj obliczamy sinusa lub cosinusa i wtedy faktycznie wyciągamy pierwiastek w takiej sytuacji. Tutaj widzisz, że w treści zadania mamy wyrażenie z cos^2, więc nie ma sensu liczyć samego cosinusa, po to by za chwilę i tak go podnieść do kwadratu ;) Stąd też od razu zostawiłem cos^2
Adam
Czy rozwiązywanie zadań otwartych takich jak 23 za pomocą pitagorasa to jest jakiś błąd, za który nie dostanę full punktów, nawet jeśli wszystko będzie dobrze?
Można i Pitagorasem ;) Warunek jest jeden – musisz pisać długości boków jako 4x oraz 3x, a nie 4 oraz 3 (bo równie dobrze mogłoby to być 8 i 6, a wtedy też tangens byłby równy 4/3) :)
Weronika
Czy te wszystkie zadania są z matur z CKE czy z Operonu i nowej ery tez?
Oczywiście! Pamiętaj tylko, by długości boków opisywać jako 5x oraz 12x, a nie 5 oraz 12 :)
danuta
super dużo zadań dzięki za pomoc
helpppmeee
W zadaniu 32 (sinα+cosα)2 podnosimy wyrażenie w nawiasie do kwadratu zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia. Pytanie dlaczego? Przecież wcześniej w innych zadaniach podnosiliśmy każde wyrażenie osobno do kwadratu i zamienialiśmy całe wyrażenie na jedynkę zgodnie ze wzorem na jedynkę trygonometryczną. Proszę mi to wytłumaczyć bo nie rozumiem dlaczego zmieniła się reguła postępowania
Odpowiedź jest w sumie bardzo prosta ;) sin^2α+cos^2α to nie to samo co (sinα+cosα)^2. Już tak pomijając te sinusy, to zobacz, że przykładowo 5^2+6^2 to nie jest to samo co (5+6)^2, otrzymasz dwa zupełnie różne wyniki :)
W tym zadaniu wyjątkowo dali nam takie nietypowe wyrażenie jak (sinα+cosα)^2, no a chcąc je rozwiązać musimy właśnie skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia ;)
deeejm
Czy w zadaniach takich jak 23 / 24 można po prostu odczytać wartości z tablic? Czy za to będzie max pkt?
W zadaniach otwartych to nie przejdzie – chociażby dlatego, że nie znajdziesz w tablicach tych dokładnych wartości :)
Anna
Cześć! Czy jeśli np. w zadaniu 28 zrobiłabym wszystko dobrze, ale zapisałabym wynik jako 11/4 zamiast 2 3/4, czyli zapisałabym skrócony ułamek, ale bez wyciągnięcia całości, to czy dostałabym dwa punkty?
Mamy tam wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias :)
anka1nina
Zadanie 11. Nie można było to zrobić prościej? tg alfa to sin alfa : cos alfa. Jak zapisze się to w ułamku i obok wpisze się = 2/5 to od razu nasuwa się że sin alfa jest równe 2 a cos alfa jest równe 5. W tym momencie podstawiam do ułamka te liczby i wychodzi -11/23
Powiem tak – w zadaniu zamkniętym to faktycznie ten sposób przejdzie, bo otrzymasz dobry wynik :) Ale niestety, gdyby to było zadanie otwarte, to takie rozwiązanie byłoby warte prawdopodobnie 0 punktów. Dlaczego? To, że tg=2/5 nie oznacza, że sinus jest równy 2, a cosinus 5. Prawdę mówiąc jest to wręcz spory błąd, bo przecież sinus i cosinus nie przyjmują wartości większych od 1 :) Poza tym, nie wiemy czy ułamek 2/5 powstał w wyniku dzielenia 2 przez 5, czy też może np. 0,2 przez 0,5. Nie możemy więc pisać konkretnych wartości, skoro ich nie znamy. Jeśli już, to trzeba byłoby… Czytaj więcej »
Strona wykorzystuje pliki cookies zgodnie z polityką prywatności m.in. do prowadzenia statystyk, personalizowania reklam i poprawy funkcjonalności. Dalsze korzystanie ze strony oznacza, że zgadzasz się na ich użycie.OK, dzięki
kiedy powinienem bać się interpretacji np. tgα=4/3 jako 4=dalsza przyprostokątna, 3=blizsza przyprostokątna i tak szybko obliczyć przeciwprostokątną, nie bawiąc się w sin2+cos2=1
Nigdy nie można pisać, że kiedy tgα=4/3 to jedna przyprostokątna ma długość 4, a druga 3! Dlaczego? Ponieważ równie dobrze dalsza przyprostokątna może mieć długość 8, a krótsza 6 i wtedy też masz taką samą wartość tangensa :)
chodzi mi o fakt, ze wówczas dużo szybciej jest wyznaczyć sin oraz cos
To bardzo zgubna droga, ten sposób działa tylko w wyjątkowych sytuacjach ;) Jeśli tgα=4/3, to możemy napisać, że jedna przyprostokątna ma długość 4x, a druga 3x, ale nie możemy założyć żadnych konkretnych długości.
Ale jest to niepoprawne i wyjdą ci wtedy złe wartości.
Czy można wytłumaczyć w takich zadaniach jak zadanie 3 w momencie,gdy mamy -9/49 skąd się wzięło 40/49?
1 możemy rozpisać jako 49/49. Odejmując obustronnie -9/49 będziemy mieć zatem po prawej stronie ułamek 40/49 :)
Aaa, już rozumiem, dziękuję <3
Skąd w zadaniu 23 z 16/9 cos2 + cos2 = 1 wyszło 25/9 cos2 =1?
Załóżmy, że nie dodajemy cos^2α, tylko dodajemy jabłka :)
16/9 jabłka + jabłko = 1 16/9 jabłka = 25/9 jabłka
Analogicznie:
16/9 cos^2α + cos^2α = 1 16/9 cos^2α = 25/9 cos^2α
Teraz jest już to chyba jaśniejsze ;)
Mam pytanie, czy np. w 1 zadaniu możemy przyjąć, że jest kąt prosty czyli jeśli sinα=3/4 to a=3, c=4 i wtedy b z pitagorasa wychodzi √7. Dalej 2-((√7)/4)²=2-7/16 i wynik się zgadza. Czy to poprawne rozumowanie?
Tak, można to sobie rozpisać na trójkącie prostokątnym ;) Aczkolwiek trzeba byłoby precyzyjniej zapisać, że a=3x oraz b=4x :)
I to samo się tyczy zadania 20??? Tak się męczę rozpisując a zrobiłem podstawiając do wzorów, że tg=a/b i mi wyszło od razu i dobrze w dodatku :)
Tak, generalnie w każdym takim zadaniu można korzystać z trójkąta prostokątnego :) Dobrze jednak byłoby, gdyby zapisywać te długości boków z niewiadomą x. Przykładowo w tym 20 zadaniu nie możemy zapisać, że a=2 oraz b=3, bo równie dobrze „a” mogłoby być równe 4 oraz „b” mogłoby być równe 6 (wtedy też tangens byłby równy 2/3). Trzeba byłoby więc zapisać, że a=2x oraz b=3x i całość obliczeń robić tak jak do tej pory. W zadaniu zamkniętym nikt tego nie zweryfikuje, ale w otwartym już by za to poleciały punkty ;)
W zadaniu 11 można po prostu podstawić sin=2 a cos =5 ? bo wynik wychodzi poprawny ale nie jestem pewny co do „dobrego użytku” tej metody
Możesz podstawić 2x oraz 5x :) Nie możesz podstawić dokładnych wartości takich jak 2 czy 5, bo równie dobrze może to być 4 oraz 10. Oczywiście w zadaniu zamkniętym nikt tego nie sprawdzi, ale takie przykłady pojawiają się także w części otwartej ;)
Dlaczego w zadaniu 16 np. jak cos zmienimy na sin to wychodzi sin60 stopni i to jest źle ? Czemu musimy zmienić sin na cos, a nie możemy cos na sin ?
Nie wiem czy dobrze rozumiem pytanie ;) Chodzi o to, że chcesz zamienić cos30 na sin60? No to można tak to zrobić ;) Otrzymasz wtedy sin120-sin60, ale wbrew pozorom wynik tego odejmowania to nie jest sin60 :)
Dlaczego ?????
Ponieważ ani sinus, ani cosinus nie są funkcjami liniowymi ;) Możesz zrobić prosty eksperyment – zobacz sobie na końcu tablic ile jest równy np. sin30 stopni i sin20 stopni, odejmij je od siebie i zauważysz, że otrzymany wynik nie jest równy wartości sin10 ;)
Dziękuję, muszę zapamiętać
Mam pytanie do zad. 29. Sprowadziłeś składniki do wspólnego mianownika, dzięki czemu później mogłeś skrócić licznik z mianownikiem i zostało 1/cos, co ostatecznie dało wynik √3. Ja natomiast na początku pozbyłam się mianowników, mnożąc składniki najpierw przez cos, a następnie przez (1+sin). Wyszło mi sin+jedynka trygonometryczna; osobno wyliczyłam, że sin=√6/3 i po podstawieniu tej wartości do zadania dostałam wynik 1 i √6/3. Mój wynik różni się od Twojego, ale w sumie nieznacznie – jeśli dobrze liczę, to 0,1;) czy to jest w tym wypadku akceptowalny margines błędu? a może gdzieś się pomyliłam? Przy okazji – ta strona jest wspaniała, wielki… Czytaj więcej »
Wygląda na to, że gdzieś popełniłaś błąd rachunkowy ;) Na pewno sinus jest już źle policzony, bo tutaj sinus będzie miał równiutką wartość 1/2 ;)
Jeśli cos = √3/3, to sin nie może mieć wartości 1/2! Liczę, liczę i nijak mi to nie wychodzi, a jednocześnie wiem, że dotąd – jeśli czytelnicy zwracali Ci uwagę na błąd, to nigdy nie mieli racji:D Mój mózg płonie;)
Racja, myślałem że tam jest cos=√3/2 i z pamięci podałem :D Powiem tak – sinusa masz policzonego dobrze, choć i tutaj można byłoby zauważyć, że jak mamy sin^2=6/9 to po prawej stronie da się ten ułamek skrócić do postaci 2/3 i wtedy sin=pierwiastek z 2/3 :) Nie mniej jednak nie to jest problemem. Problem jest chyba w tym, że dokonałaś złego przekształcenia, bo tam nijak nie wyjdzie 1+sin :) Jest więc gdzieś po drodze popełniony błąd rachunkowy ;)
cześć, dlaczego w 1 zadaniu wynik 7/16 zostawiliśmy bez pierwiastka, a w 3 zad ten sam wynik był już pod pierwiastkiem? już się gubię ;p.
Zazwyczaj obliczamy sinusa lub cosinusa i wtedy faktycznie wyciągamy pierwiastek w takiej sytuacji. Tutaj widzisz, że w treści zadania mamy wyrażenie z cos^2, więc nie ma sensu liczyć samego cosinusa, po to by za chwilę i tak go podnieść do kwadratu ;) Stąd też od razu zostawiłem cos^2
Czy rozwiązywanie zadań otwartych takich jak 23 za pomocą pitagorasa to jest jakiś błąd, za który nie dostanę full punktów, nawet jeśli wszystko będzie dobrze?
Można i Pitagorasem ;) Warunek jest jeden – musisz pisać długości boków jako 4x oraz 3x, a nie 4 oraz 3 (bo równie dobrze mogłoby to być 8 i 6, a wtedy też tangens byłby równy 4/3) :)
Czy te wszystkie zadania są z matur z CKE czy z Operonu i nowej ery tez?
Tylko z CKE, już nie mieszałem aż tak ;)
Czy zadanie 24 można zrobić za pomocą trójkąta prostokątnego
Oczywiście! Pamiętaj tylko, by długości boków opisywać jako 5x oraz 12x, a nie 5 oraz 12 :)
super dużo zadań dzięki za pomoc
W zadaniu 32 (sinα+cosα)2 podnosimy wyrażenie w nawiasie do kwadratu zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia. Pytanie dlaczego? Przecież wcześniej w innych zadaniach podnosiliśmy każde wyrażenie osobno do kwadratu i zamienialiśmy całe wyrażenie na jedynkę zgodnie ze wzorem na jedynkę trygonometryczną. Proszę mi to wytłumaczyć bo nie rozumiem dlaczego zmieniła się reguła postępowania
Odpowiedź jest w sumie bardzo prosta ;) sin^2α+cos^2α to nie to samo co (sinα+cosα)^2. Już tak pomijając te sinusy, to zobacz, że przykładowo 5^2+6^2 to nie jest to samo co (5+6)^2, otrzymasz dwa zupełnie różne wyniki :)
W tym zadaniu wyjątkowo dali nam takie nietypowe wyrażenie jak (sinα+cosα)^2, no a chcąc je rozwiązać musimy właśnie skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia ;)
Czy w zadaniach takich jak 23 / 24 można po prostu odczytać wartości z tablic? Czy za to będzie max pkt?
W zadaniach otwartych to nie przejdzie – chociażby dlatego, że nie znajdziesz w tablicach tych dokładnych wartości :)
Cześć! Czy jeśli np. w zadaniu 28 zrobiłabym wszystko dobrze, ale zapisałabym wynik jako 11/4 zamiast 2 3/4, czyli zapisałabym skrócony ułamek, ale bez wyciągnięcia całości, to czy dostałabym dwa punkty?
Tak, to jest jak najbardziej dobra odpowiedź! Można podawać odpowiedzi bez wyciągania całości, to dość częsta praktyka :)
zadanie 8. Przy trzeciej linijce się zgubiłam i nie wiem jak wyszło to :(
Mamy tam wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias :)
Zadanie 11. Nie można było to zrobić prościej? tg alfa to sin alfa : cos alfa. Jak zapisze się to w ułamku i obok wpisze się = 2/5 to od razu nasuwa się że sin alfa jest równe 2 a cos alfa jest równe 5. W tym momencie podstawiam do ułamka te liczby i wychodzi -11/23
Powiem tak – w zadaniu zamkniętym to faktycznie ten sposób przejdzie, bo otrzymasz dobry wynik :) Ale niestety, gdyby to było zadanie otwarte, to takie rozwiązanie byłoby warte prawdopodobnie 0 punktów. Dlaczego? To, że tg=2/5 nie oznacza, że sinus jest równy 2, a cosinus 5. Prawdę mówiąc jest to wręcz spory błąd, bo przecież sinus i cosinus nie przyjmują wartości większych od 1 :) Poza tym, nie wiemy czy ułamek 2/5 powstał w wyniku dzielenia 2 przez 5, czy też może np. 0,2 przez 0,5. Nie możemy więc pisać konkretnych wartości, skoro ich nie znamy. Jeśli już, to trzeba byłoby… Czytaj więcej »