Zależności między funkcjami trygonometrycznymi – zadania maturalne

\(\frac{25}{16}\)

W tym zadaniu wykorzystamy tzw. "jedynkę trygonometryczną", czyli \(sin^2α+cos^2α=1\).
Krok 1. Obliczenie wartości \(cos^2α\) korzystając z "jedynki trygonometrycznej".
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{3}{4}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{9}{16}+cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{7}{16}$$

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(2-cos^2α\).
$$2-cos^2α=2-\frac{7}{16}=\frac{25}{16}$$

\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)

Skorzystamy tutaj z tzw. "jedynki trygonometrycznej", podstawiając do wzoru wartość cosinusa:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
sin^2α+\left(\frac{3}{4}\right)^2=1 \\
sin^2α+\frac{9}{16}=1 \\
sin^2α=\frac{7}{16} \\
sinα=\sqrt{\frac{7}{16}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{7}{16}} \\
sinα=\frac{\sqrt{7}}{4} \quad\lor\quad sinα=-\frac{\sqrt{7}}{4}$$

Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry, to sinus musi przyjąć wartość dodatnią, stąd też prawidłowa jest odpowiedź \(sinα=\frac{\sqrt{7}}{4}\).

\(sinα=\frac{2\sqrt{10}}{7}\)

Zadanie można rozwiązać na wiele sposobów. W skrajnych przypadkach można byłoby nawet zamienić na kalkulatorze wartość \(\frac{3}{7}\) na ułamek dziesiętny i sprawdzić w tablicach dla jakiego mniej więcej kąta ta wartość odpowiada, po czym analogicznie można byłoby przyrównać funkcje trygonometryczne z odpowiedzi \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) i sprawdzić która z nich przyjmie tą samą wartość.

Można byłoby też narysować trójkąt prostokątny i zaznaczyć tam długości boków - \(3x\) dla przyprostokątnej przy kącie oraz \(7x\) dla przeciwprostokątnej, a następnie z Twierdzenia Pitagorasa wyliczyć długość drugiej przyprostokątnej, która posłuży nam do wyliczenia sinusa.

Nie mniej jednak najbardziej uniwersalnym i najszybszym sposobem jest wykorzystanie tzw. "jedynki trygonometrycznej", czyli \(sin^2α+cos^2α=1\).

Krok 1. Obliczenie wartości sinusa z jedynki trygonometrycznej.
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
sin^2α+\left(\frac{3}{7}\right)^2=1 \\
sin^2α+\frac{9}{49}=1 \quad\bigg/-\frac{9}{49} \\
sin^2α=\frac{40}{49} \\
sinα=\sqrt{\frac{40}{49}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{40}{49}}$$

Krok 2. Analiza otrzymanych wyników i wskazanie poprawnej odpowiedzi.
Skoro kąt jest ostry, to wartość ujemną musimy odrzucić, bo sinus dla kątów ostrych przyjmuje tylko wartości dodatnie. To oznacza, że jedynym pasującym rozwiązaniem będzie \(sinα=\sqrt{\frac{40}{49}}\). Takiej odpowiedzi nie mamy, zatem ten zapis musimy jeszcze uprościć:
$$sinα=\sqrt{\frac{40}{49}} \\
sinα=\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{49}} \\
sinα=\frac{\sqrt{40}}{7} \\
sinα=\frac{\sqrt{4\cdot10}}{7} \\
sinα=\frac{2\sqrt{10}}{7}$$

\(0\)

W tym zadaniu musimy skorzystać z tzw. "jedynki trygonometrycznej" \(sin^2α+cos^2α=1\). Widzimy wyraźnie, że zgodnie z tym wzorem \(sin^2 38°+cos^2 38°=1\) oraz \(sin^2 52°+cos^2 52°=1\). To oznacza, że:
$$\frac{sin^2 38°+cos^2 38°-1}{sin^2 52°+cos^2 52°+1}=\frac{1-1}{1+1}=\frac{0}{2}=0$$

\(43°\)

Musimy tak naprawdę odpowiedzieć na pytanie - dla jakiego kąta sinus przyjmie tą samą wartość, którą przyjmuje cosinus \(47°\). Aby poznać odpowiedź skorzystamy z jednego ze wzorów redukcyjnych:
$$sinα=cos(90°-α)$$

Wiemy, że \(cos(90°-α)=cos47°\), zatem \(α=43°\).

\(\frac{7}{\sqrt{120}}\)

Krok 1. Obliczenie wartości cosα.
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:
$$cos^2α=1-sin^2α \\
cos^2α=1-\left(\frac{7}{13}\right)^2 \\
cos^2α=1-\frac{49}{169} \\
cos^2α=\frac{120}{169} \\
cosα=\sqrt{\frac{120}{169}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{120}{169}} \\
cosα=\frac{\sqrt{120}}{13} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{120}}{13}$$

Kąt \(α\) jest ostry, więc ujemną wartość cosinusa odrzucamy.

Krok 2. Obliczenie wartości \(tgα\).
Znając wartość sinusa i cosinusa bez problemu wyliczymy wartość tangensa:
$$tgα=\frac{sinα}{cosα} \\
tgα=\frac{\frac{7}{13}}{\frac{\sqrt{120}}{13}} \\
tgα=\frac{7}{13}:\frac{\sqrt{120}}{13} \\
tgα=\frac{7}{13}\cdot\frac{13}{\sqrt{120}} \\
tgα=\frac{7}{\sqrt{120}}$$

\(-\frac{7}{4}\)

Skorzystamy z tzw. "jedynki trygonometrycznej": \(sin^2α+cos^2α=1\).

Krok 1. Obliczenie wartości \(cos^2α\).
Znamy wartości sinusa, więc z jedynki trygonometrycznej wyliczymy wartość \(cos^2α\):
$$cos^2α=1-sin^2α \\
cos^2α=1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \\
cos^2α=1-\left(\frac{3}{4}\right) \\
cos^2α=\frac{1}{4}$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(cos^2α-2\).
$$cos^2α-2=\frac{1}{4}-2=\frac{1}{4}-\frac{8}{4}=-\frac{7}{4}$$

\(1\)

Naszym zadaniem będzie tak naprawdę wyciągnięcie przed nawias wartości \(cos^2α\) i wykorzystanie tak zwanej jedynki trygonometrycznej:
$$sin^2α+sin^2α\cdot cos^2α+cos^4α= \\
=sin^2α+sin^2α\cdot cos^2α+cos^2α\cdot cos^2α= \\
=sin^2α+cos^2α\cdot(sin^2α+cos^2α)= \\
=sin^2α+cos^2α\cdot1= \\
=sin^2α+cos^2α=1$$

\(\frac{4}{3}\)

Wiedzą, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy uprościć całe wyrażenie w następujący sposób:
$$\require{cancel}
1+tgα\cdot cosα=1+\frac{sinα}{\cancel{cosα}}\cdot\cancel{cosα}= \\
=1+sinα=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$$

\(\frac{1}{3}\)

Krok 1. Wyznaczenie wartości \(cos^2α\).
W zadaniu wykorzystamy tak zwaną jedynkę trygonometryczną:
$$sin^2α+cos^2α=1$$

Widzimy że w poszukiwanym wyrażeniu pojawia się \(cos^2α\), więc spróbujmy wyznaczyć jego wartość, podstawiając do jedynki trygonometrycznej \(sinα=\frac{\sqrt{3}}{3}\):
$$\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{3}{9}+cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{6}{9} \\
cosα=\frac{2}{3} \quad\lor\quad cosα=-\frac{2}{3}$$

Ujemną wartość cosinusa odrzucamy, bo dla kątów ostrych cosinus przyjmuje jedynie dodatnie wartości.

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(2cos^2α-1\).
Znając wartość \(cos^2α\) możemy bez problemu obliczyć wartość całego wyrażenia:
$$2cos^2α-1=2\cdot\frac{2}{3}-1=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$$

\(-\frac{11}{23}\)

Zadanie można rozwiązać na kilka sposobów, ale najprościej jest chyba podzielić sobie zarówno licznik jak i mianownik przez \(cosα\). Co nam to da? Dzięki temu otrzymamy w kilku miejscach \(\frac{sinα}{cosα}\), co z definicji tangensa jest równe \(tgα\) (wartość tangensa jest podana w treści zadania). W pozostałych miejscach dzięki temu zabiegowi skróci nam się wartość \(cosα\), co pozwoli nam szybko wyznaczyć pożądaną wartość. Zatem:
$$\frac{3cosα-2sinα}{sinα-5cosα}=\frac{\frac{3cosα}{cosα}-\frac{2sinα}{cosα}}{\frac{sinα}{cosα}-\frac{5cosα}{cosα}}= \\
=\frac{3-2tgα}{tgα-5}=\frac{3-2\cdot\frac{2}{5}}{\frac{2}{5}-5}=\frac{3-\frac{4}{5}}{\frac{2}{5}-5}= \\
=\frac{\frac{11}{5}}{-\frac{23}{5}}=\frac{11}{5}\cdot\left(-\frac{5}{23}\right)=-\frac{11}{23}$$

\(2\)

Skorzystamy tutaj z "jedynki trygonometrycznej". Skoro \(sin^2α+cos^2α=1\) to:
$$\frac{cos^2α}{1-sin^2α}+\frac{1-cos^2α}{sin^2α}=\frac{cos^2α}{cos^2α}+\frac{sin^2α}{sin^2α}= \\
=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=1+1=2$$

\(\frac{5\sqrt{13}}{13}\)

Krok 1. Wyznaczenie wzoru na \(sinα\).
Pamiętając, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\), możemy dokonać przekształcenia i spróbować wyznaczyć wzór na sinusa, który później podstawimy do jedynki trygonometrycznej.
$$3tgα=2 \\
tgα=\frac{2}{3} \\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{2}{3} \quad\bigg/\cdot cosα \\
sinα=\frac{2}{3}cosα$$

Krok 2. Wyznaczenie dokładnej wartości \(cosα\).
Korzystając z jedynki trygonometrycznej i podstawiając równanie wyznaczone w pierwszym kroku możemy obliczyć dokładną wartość cosinusa:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{2}{3}cosα\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{4}{9}cos^2α+cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot9 \\
4cos^2α+9cos^2α=9 \\
13cos^2α=9 \\
cos^2α=\frac{9}{13} \\
cosα=\sqrt{\frac{9}{13}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{9}{13}} \\
cosα=\frac{3}{\sqrt{13}} \quad\lor\quad cosα=-\frac{3}{\sqrt{13}}$$

Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry, to ujemne rozwiązanie odrzucamy. Pozostaje nam więc \(cosα=\frac{3}{\sqrt{13}}\). W tym zapisie możemy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, zatem:
$$cosα=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\cdot\sqrt{13}}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$$

Krok 3. Obliczenie wartości \(sinα\).
$$\require{cancel}
sinα=\frac{2}{3}cosα \\
sinα=\frac{2}{\cancel{3}}\cdot\frac{\cancel{3}\sqrt{13}}{13} \\
sinα=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$

Krok 4. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα+cosα\).
Znając wartości sinusa i cosinusa bez problemu obliczymy poszukiwaną wartość naszego wyrażenia:
$$sinα+cosα=\frac{2\sqrt{13}}{13}+\frac{3\sqrt{13}}{13}=\frac{5\sqrt{13}}{13}$$

\(cos60°\)

Musimy skorzystać z jednego ze wzorów redukcyjnych:
$$sin(90°+α)=cosα \\
sin150°=sin(90°+60°)=cos60°$$

\(cosα=\frac{1}{2}\)

Najprościej jest rozwiązać to zadanie podstawiając pod tangesa \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\), zatem:
$$tgα=2sinα \\
\frac{sinα}{cosα}=2sinα \quad\bigg/\cdot cosα \\
sinα=2sinαcosα \quad\bigg/:sinα \\
1=2cosα \quad\bigg/:2 \\
cosα=\frac{1}{2}$$

\(sin0°\)

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin120°\).
W tablicach trygonometrycznych mamy kąty tylko i wyłącznie do \(90°\). Aby wyznaczyć wartość kąta rozwartego musimy posłużyć się wzorami redukcyjnymi. Wynika z nich, że:
$$sin(90°+α)=cosα$$

Jeśli podstawimy \(α=30°\), to otrzymamy:
$$sin(90°+30°)=cos30° \\
sin120°=cos30°$$

Krok 2. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
Nasze wyrażenie jest więc równe:
$$sin120°-cos30°=cos30°-cos30°=0=sin0°$$

\(3sinαcosα\)

Wyłączając wspólną część przed nawias otrzymamy:
$$3sin^3αcosα+3sinαcos^3α=3sinαcosα(sin^2α+cos^2α)$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), tak więc całe wyrażenie udało nam się przekształcić do \(3sinαcosα\).

\(cosα=\frac{\sqrt{7}}{4}\)

W zadaniu skorzystamy z "jedynki trygonometrycznej" do której podstawimy znaną nam wartość sinusa, dzięki czemu bez problemu wyznaczymy wartość cosinusa.
$$sin^2+cos^2α=1 \\
\left(\frac{3}{4}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{9}{16}+cos^2α=1 \\
cos^2α=1-\frac{9}{16} \\
cos^2α=\frac{7}{16} \\
cosα=\sqrt{\frac{7}{16}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{7}{16}} \\
cosα=\frac{\sqrt{7}}{4} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{7}}{4}$$

Wartość ujemną musimy odrzucić, bo dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie. Zatem jedyną prawidłową odpowiedzią będzie \(cosα=\frac{\sqrt{7}}{4}\).

\(\frac{\sqrt{21}}{5}\)

Skorzystamy z tak zwanej "jedynki trygonometrycznej":
$$sin^2α+cos^2α=1$$

Podstawiając wartość sinusa do tego wzoru wyznaczymy poszukiwaną wartość cosinusa.
$$\left(\frac{2}{5}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{4}{25}+cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{21}{25} \\
cos=\sqrt{\frac{21}{25}} \quad\lor\quad cos=-\sqrt{\frac{21}{25}} \\
cos=\frac{\sqrt{21}}{5} \quad\lor\quad cos=-\frac{\sqrt{21}}{5}$$

\(sinα=\frac{2\sqrt{13}}{13}\)

Zanim zaczniemy liczyć to mała podpowiedź. Jeśli nie umiemy obliczyć tego zadania w matematyczny sposób, to wystarczy w tablicach sprawdzić jaki kąt ostry ma tangens równy (lub bliski) \(\frac{2}{3}\). Następnie jeśli już wiemy jaki to jest mniej więcej kąt to możemy sprawdzić w tablicach jaką wartość przyjmuje on dla funkcji sinus. Na koniec na kalkulatorze sprawdzimy która z tych czterech odpowiedzi daje przybliżenie najbliższe odczytowi z tablicy i tak oto zadanie będzie rozwiązane poprawnie. Zobaczmy jednak jak do tego zadania podejść w sposób matematyczny.

Krok 1. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa.
Z trygonometrii wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Użyjemy tej własności, bo musimy doprowadzić nasz wynik do sinusa. Zatem:
$$tgα=\frac{2}{3} \\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{2}{3}$$

Mnożąc to na krzyż otrzymamy:
$$3sinα=2cosα$$

Krok 2. Obliczenie wartości sinusa przy użyciu jedynki trygonometrycznej.
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). To oznacza, że moglibyśmy sobie wyznaczyć z równania z pierwszego kroku wartość cosinusa, a następnie podstawilibyśmy ją do jedynki trygonometrycznej i wtedy otrzymalibyśmy wartość sinusa. Zatem:
$$3sinα=2cosα \\
cosα=\frac{3}{2}sinα$$

Podstawiamy teraz to do jedynki trygonometrycznej:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
sin^2α+\left(\frac{3}{2}sinα\right)^2=1 \\
sin^2α+\frac{9}{4}sin^2α=1 \\
\frac{13}{4}sin^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{13} \\
sin^2α=\frac{4}{13} \\
sinα=\sqrt{\frac{4}{13}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$

(Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry to nie bierzemy pod uwagę ujemnego rozwiązania, które wyszłoby nam z równania kwadratowego \(sin^2α=\frac{4}{13}\), bo dla kątów ostrych sinus przyjmuje jedynie wartości dodatnie).

\(\frac{1}{5}\)

Krok 1. Obliczenie wartości cosinusa.
W zadaniu skorzystamy z tzw. "jedynki trygonometrycznej" opisanej wzorem \(sin^2α+cos^2α=1\). Do tego wzoru podstawimy sobie wartość sinusa z treści zadania i w ten sposób wyznaczymy wartość cosinusa, zatem:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{4}{5}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{16}{25}+cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{9}{25} \\
cosα=\frac{3}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{3}{5}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo cosinus dla kątów ostrych przyjmuje jedynie wartości dodatnie.

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα-cosα\).
Znając wartości sinusa i cosinusa pozostaje nam już tylko obliczenie końcowej wartości wyrażenia:
$$sinα-cosα=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1}{5}$$

\(\frac{3}{7}\)

To zadanie teoretycznie można rozwiązać nie wykonując jakichkolwiek obliczeń. Skoro kąt \(α\) jest ostry, to wartość cosinusa kąta \(α\) jest na pewno wartością większą od zera i mniejszą od jedynki. Jeśli do licznika ułamka \(\frac{2-cosα}{2+cosα}\) podstawimy pod \(cosα\) dowolną dodatnią liczbę mniejszą od jedynki, to wyjdzie nam że w liczniku mamy wartość nieco ponad \(1\) (nie wiemy ile dokładnie, ale na pewno jest to liczba dodatnia). Analogicznie w mianowniku wyjdzie nam wartość większa od \(2\) (także nie wiemy jaka, ale znowu jest to liczba dodatnia, w dodatku na pewno jest to liczba większa od tej z licznika). Skoro tak, to już na wstępie możemy odrzucić dwie pierwsze odpowiedzi, bo wartość całego ułamka jest na pewno liczbą dodatnią. Możemy też odrzucić ostatnią odpowiedź, bo wartość tego ułamka jest mniejsza od jednego (gdyż udowodniliśmy, że licznik jest mniejszy od mianownika). Zatem bez obliczeń wiemy, że jedyną możliwą prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź trzecia. Gdybyśmy chcieli to jednak rozwiązać nieco bardziej matematycznie, to należałoby postąpić w następujący sposób:

Krok 1. Zapisanie relacji między sinusem i cosinusem kąta \(α\).
Funkcję trygonometryczną \(tgα\) możemy zapisać jako \(\frac{sinα}{cosα}\). Zatem:
$$tgα=\frac{3}{4} \\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{3}{4}$$

Mnożąc na krzyż otrzymujemy:
$$4sinα=3cosα$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości \(cosα\).
Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej wyrażonej wzorem \(sin^2α+cos^2α=1\). Nas interesuje poznanie wartości \(cosα\), dlatego też pod sinusa podstawimy przekształcone równanie wyznaczone w pierwszym kroku:
$$4sinα=3cosα \Rightarrow sinα=\frac{3}{4}cosα$$

Podstawiając tą wartość do jedynki trygonometrycznej otrzymamy:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{3}{4}cosα\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{9}{16}cos^2α+cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot16 \\
9cos^2α+16cos^2α=16 \\
25cos^2α=16 \quad\bigg/:25 \\
cos^2α=\frac{16}{25} \\
cosα=\frac{4}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{4}{5}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo mamy podaną informację, że kąt jest ostry, a dla kątów ostrych cosinus jest dodatni. Zatem zostaje nam, że \(cosα=\frac{4}{5}\).

Krok 3. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
Na sam koniec musimy już tylko podstawić wyznaczoną wartość cosinusa i obliczyć wartość podanego wyrażenia:
$$\frac{2-cosα}{2+cosα}=\frac{2-\frac{4}{5}}{2+\frac{4}{5}}=\frac{1\frac{1}{5}}{2\frac{4}{5}}= \\
=\frac{\frac{6}{5}}{\frac{14}{5}}=\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{14}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$$

\(sinα+cosα=1\frac{2}{5}\)

Krok 1. Wyznaczenie wzoru na wartość sinusa.
Z funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Podstawmy więc znaną nam wartość tangensa i spróbujmy wyznaczyć z niej wartość sinusa:
$$\frac{sinα}{cosα}=\frac{4}{3} \\
sinα=\frac{4}{3}cosα$$

Krok 2. Obliczenie wartości cosinusa.
Tym razem skorzystamy ze wzoru na jedynkę trygonometryczną, dzięki któremu obliczymy dokładną wartość cosinusa.
$$sin^2α+cos^2α=1$$

Podstawiając do tego wzoru wyznaczoną wartość sinusa z poprzedniego kroku otrzymamy:
$$\left(\frac{4}{3}cosα\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{16}{9}cos^2α+cos^2α=1 \\
\frac{25}{9}cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{9}{25} \\
cos^2α=\frac{9}{25} \\
cosα=\frac{3}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{3}{5}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bowiem w treści zadania mowa jest o kącie ostrym, a dla kątów ostrych cosinus jest dodatni.

Krok 3. Obliczenie wartości sinusa.
Obliczoną wartość cosinusa możemy podstawić do wzoru wyprowadzonego w pierwszym kroku, tak więc:
$$sinα=\frac{4}{3}cosα \\
sinα=\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{5} \\
sinα=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$$

Krok 4. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα+cosα\).
Znamy już wartość sinusa i cosinusa, tak więc:
$$sinα+cosα=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy rozwiązujesz zadanie metodą graficzną (rysując trójkąt prostokątny) i źle zaznaczysz kąt \(α\) lub źle zapiszesz stosunek długości boków w danej funkcji trygonometrycznej.
1 pkt
• Gdy przekształcisz to wyrażenie z użyciem jedynki trygonometrycznej i z wykorzystaniem własności \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\), ale popełnisz gdzieś błąd rachunkowy lub na tym poprzestaniesz rozwiązanie zadania.
ALBO
• Gdy podejmiesz próbę rozwiązania tego zadania rysując trójkąt prostokątny, ale np. pomylisz się przy obliczaniu długości przeciwprostokątnej.
ALBO
• Gdy w trakcie obliczeń wartości sinusa lub cosinusa nie odrzucisz ujemnego rozwiązania.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(cosα=\frac{12}{13}\)

Krok 1. Ułożenie odpowiedniego układu równań.
Wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) oraz że \(sin^2α+cos^2α=1\). Na tej podstawie ułóżmy odpowiedni układ równań:

\begin{cases}
\frac{5}{12}=\frac{sinα}{cosα} \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
\begin{cases}
\frac{5}{12}=\frac{sinα}{cosα} \quad\bigg/\cdot cosα \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}\begin{cases}
\frac{5}{12}cosα=sinα \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}

Podstawiamy wartość \(sinα\) z pierwszego równania do drugiego:
$$\left(\frac{5}{12}cosα\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{25}{144}cos^2α+cos^2α=1 \\
\frac{25}{144}cos^2α+\frac{144}{144}cos^2α=1 \\
\frac{169}{144}cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{144}{169} \\
cos^2α=\frac{144}{169} \\
cosα=\sqrt{\frac{144}{169}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{144}{169}} \\
cosα=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{169}} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{169}} \\
cosα=\frac{12}{13} \quad\lor\quad -cosα=\frac{12}{13}$$

Z racji tego, że w zadaniu jest mowa o kącie ostrym, to \(cosα\gt0\), a więc odrzucamy rozwiązanie ze znakiem ujemnym, zatem \(cosα=\frac{12}{13}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy rozwiązujesz zadanie metodą graficzną (rysując trójkąt prostokątny) i źle zaznaczysz kąt \(α\) lub źle zapiszesz stosunek długości boków w danej funkcji trygonometrycznej.
1 pkt
• Gdy przekształcisz to wyrażenie z użyciem jedynki trygonometrycznej i z wykorzystaniem własności \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\), ale popełnisz gdzieś błąd rachunkowy lub na tym poprzestaniesz rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podejmiesz próbę rozwiązania tego zadania rysując trójkąt prostokątny, ale np. pomylisz się przy obliczaniu długości przeciwprostokątnej.
ALBO
• Gdy bez jakichkolwiek obliczeń odczytasz z tablic maturalnych przybliżoną miarę kąta (22° lub 23°) i na tej podstawie podasz przybliżony wynik funkcji \(cosα\).
ALBO
• Gdy w końcowym rozwiązaniu nie odrzucisz ujemnego rozwiązania, czyli nie odrzucisz \(cosα=-\frac{12}{13}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(sinα\cdot cosα=\frac{1}{2}\)

Krok 1. Obustronne pomnożenie ułamków przez wartości w mianownikach.
Chcąc się pozbyć ułamków możemy pomnożyć to równanie obustronnie przez wartości znajdujące w mianownikach. Możemy to zrobić jednocześnie w ramach jednego działania (mnożąc od razu przez \(sinα\cdot cosα\)), ale aby lepiej wyjaśnić to zadanie może zróbmy sobie to powoli krok po kroku:
$$\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}=2 \quad\bigg/\cdot cosα \\
sinα+\frac{cos^2α}{sinα}=2\cdot cosα \quad\bigg/\cdot sinα \\
sin^2α+cos^2α=2\cdot sinα\cdot cosα$$

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα\cdot cosα\).
Z "jedynki trygonometrycznej" wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). To oznacza, że po lewej stronie równania otrzymanego w pierwszym kroku będziemy mieć jedynkę, zatem:
$$1=2\cdot sinα\cdot cosα \\
sinα\cdot cosα=\frac{1}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sprowadzisz wyrażenie do wspólnego mianownika (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy sprowadzisz wyrażenie do postaci \(sin^2α+cos^2α=2\cdot sinα\cdot cosα\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy narysujesz trójkąt prostokątny, podstawisz stosunki odpowiednich długości boków do całości wyrażenia i tym samym otrzymasz wyrażenie typu \(a^2+b^2=2ab\).
ALBO
• Gdy sprowadzisz to wyrażenie do postaci w której występuje jedynie tangens.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(3+2tg^2α=3\frac{2}{15}\)

Krok 1. Wyznaczenie wartości cosinusa.
Znając wartość sinusa możemy przy użyciu jedynki trygonometrycznej obliczyć wartość cosinusa:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{1}{4}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{1}{16}+cos^2α=1 \\
cos^2α=1-\frac{1}{16} \\
cos^2α=\frac{15}{16} \\
cosα=\sqrt{\frac{15}{16}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{15}{16}} \\
cosα=\frac{\sqrt{15}}{4} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{15}}{4}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo z treści zadania wynika, że kąt \(α\) jest ostry, a dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie.

Krok 2. Obliczenie wartości tangensa.
Wiedząc, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy teraz obliczyć wartość tangensa:
$$tgα=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} \\
tgα=\frac{1}{4}:\frac{\sqrt{15}}{4} \\
tgα=\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{\sqrt{15}} \\
tgα=\frac{1}{\sqrt{15}}$$

Niewymierności z mianownika na razie nie musimy usuwać, bo jak się za chwilę okaże zniknie nam ona w trakcie dalszych obliczeń.

Krok 3. Obliczenie wartości wyrażenia \(3+2tg^2α\).
Znając wartość tangensa możemy już bez przeszkód dokończyć obliczenie naszego wyrażenia:
$$3+2tg^2α=3+2\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{15}}\right)^2= \\
=3+2\cdot\frac{1}{15}=3+\frac{2}{15}=3\frac{2}{15}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy rozwiązujesz zadanie metodą graficzną (rysując trójkąt prostokątny) i źle zaznaczysz kąt \(α\) lub źle zapiszesz stosunek długości boków w danej funkcji trygonometrycznej.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość cosinusa (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy podejmiesz próbę rozwiązania tego zadania rysując trójkąt prostokątny i obliczysz, że przeciwprostokątna ma długość \(x\sqrt{15}\).
ALBO
• Gdy w trakcie obliczeń wartości sinusa lub cosinusa nie odrzucisz ujemnego rozwiązania.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(sin^2α-3cos^2α=0\)

W zadaniu wykorzystamy tzw. "jedynkę trygonometryczną", czyli \(sin^2α+cos^2α=1\).

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin^2α\) oraz \(cos^2α\).
$$sin^2α=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \\
sin^2α=\frac{3}{4} \\
\text{oraz} \\
cos^2α=1-sin^2 \\
cos^2α=1-\frac{3}{4} \\
cos^2α=\frac{1}{4}$$

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(sin^2α-3cos^2α\).
$$sin^2α-3cos^2α=\frac{3}{4}-3\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=0$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy rozwiązujesz zadanie metodą graficzną (rysując trójkąt prostokątny) i źle zaznaczysz kąt \(α\) lub źle zapiszesz stosunek długości boków w danej funkcji trygonometrycznej.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość \(cos^2α=\frac{1}{4}\) lub \(cosα=\frac{1}{2}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wartość wyrażenia jest równa \(2\frac{3}{4}\).

Krok 1. Obliczenie wartości sinusa.
Skorzystamy tutaj z jedynki trygonometrycznej:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
sin^2α+\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2=1 \\
sin^2α+\frac{7}{16}=1 \\
sin^2α=\frac{9}{16} \\
sinα=\sqrt{\frac{9}{16}} \quad\lor\quad sinα=\sqrt{\frac{9}{16}} \\
sinα=\frac{3}{4} \quad\lor\quad sinα=-\frac{3}{4}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie. Zostaje nam więc \(sinα=\frac{3}{4}\).

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia.
Znając wartości sinusa i cosinusa możemy oczywiście od razu przystąpić do podstawiania tych wartości do naszego wyrażenia. Jednak zamiast wykonywania tych długich obliczeń moglibyśmy się pokusić o uproszczenie całego wyrażenia, wyłączając przed nawias wartość \(sinα\). Nie jest to rzecz obowiązkowa, ale jak się za chwilę okaże - znacznie upraszcza to wszystkie rachunki.
$$2+sin^3α+sinα\cdot cos^2α= \\
=2+sinα\cdot(sin^2α+cos^2α)= \\
=2+sinα\cdot1=2+sinα$$

Znając wartość sinusa możemy już bez przeszkód podać wynik tego zadania:
$$2+sinα=2+\frac{3}{4}=2\frac{3}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość sinusa (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy otrzymasz równanie w postaci \(sin^3α+sinα\cdot cos^2α=sinα\).
ALBO
• Gdy rozwiązujesz zadanie rysując trójkąt prostokątny i obliczysz, że długość drugiej przyprostokątnej jest równa \(3\), a także zaznaczysz poprawnie kąt \(α\) dla którego \(cosα=\frac{\sqrt{7}}{4}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono przedstawioną tezę zapisując liczbę \(3k^2\) w postaci \(7\cdot(21n^2+12n+1)+5\).

Jeżeli liczba \(k\) przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\) to możemy ją zapisać w postaci \(k=7n+2\). Podstawiając tę postać do liczby \(3k^2\) otrzymamy:
$$3k^2=3\cdot(7n+2)^2=3\cdot(49n^2+28n+4)=147n^2+84n+12$$

Teraz musimy udowodnić, że ta liczba którą otrzymaliśmy dzieli się przez \(7\) i daje resztę \(5\). Dobrze byłoby więc wyłączyć siódemkę przed nawias, ale przeszkadza nam w tym liczba \(12\). Rozbijmy więc ją sobie na działanie \(7+5\) i tak oto:
$$147n^2+84n+7+5=7\cdot(21n^2+12n+1)+5$$

W ten oto sposób pokazaliśmy, że dzieląc to wyrażenie przez \(7\) otrzymamy jakąś liczbę całkowitą (opisaną jako \(21n^2+12n+1\)) i jeszcze zostanie nam \(5\) reszty. Dowodzenie można więc uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wyrażenie w postaci \(3(7n+2)^2\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wartość wyrażenia jest równa \(\sqrt{3}\).

Krok 1. Sprowadzenie składników wyrażenia do wspólnego mianownika.
$$\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{1+sinα}= \\
=\frac{sinα\cdot\color{blue}{(1+sinα)}}{cosα\cdot\color{blue}{(1+sinα)}}+\frac{\color{blue}{(cosα)}\cdot cosα}{\color{blue}{(cosα)}\cdot(1+sinα)}= \\
=\frac{sinα+sin^2α+cos^2α}{cosα\cdot(1+sinα)}$$

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia przy wykorzystaniu jedynki trygonometrycznej.
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:
$$\require{cancel}
\frac{sinα+sin^2α+cos^2α}{cosα\cdot(1+sinα)}= \\
=\frac{\cancel{sinα+1}}{cosα\cdot\cancel{(1+sinα)}}= \\
=\frac{1}{cosα}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=1:\frac{\sqrt{3}}{3}= \\
=1\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}$$

Z otrzymanego wyniku możemy jeszcze usunąć niewymierność znajdującą się w mianowniku:
$$\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sprowadzisz wyrażenie do wspólnego mianownika (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy uprościsz wyrażenie do postaci \(\frac{1}{cosα}\).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(sinα=\sqrt{\frac{2}{3}}\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(cosα\cdot sinα=\frac{2}{5}\)

Krok 1. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika i dodanie do siebie tych dwóch wyrażeń.
Aby dodać do siebie te dwa ułamki musimy je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika. Zrobimy to w następujący sposób:
$$\frac{4}{sin^2α}+\frac{4}{cos^2α}=25 \\
\frac{4\cdot cos^2α}{sin^2α\cdot cos^2α}+\frac{4\cdot sin^2α}{cos^2α\cdot sin^2α}=25 \\
\frac{4\cdot cos^2α+4\cdot sin^2α}{cos^2α\cdot sin^2α}=25$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości wyrażenia \(sinα\cdot cosα\).
Spróbujmy z licznika wyłączyć czwórkę przed nawias, dzięki czemu w nawiasie otrzymamy jedynkę trygonometryczną. W mianowniku za to warto wyłączyć przed nawias potęgowanie, co sprawi że otrzymamy w nawiasie dokładnie to wyrażenie, którego wartości poszukujemy. Zatem:
$$\frac{4\cdot(cos^2α+sin^2α)}{(cosα\cdot sinα)^2}=25 \\
\frac{4\cdot1}{(cosα\cdot sinα)^2}=25 \\
4=25\cdot(cosα\cdot sinα)^2 \\
(cosα\cdot sinα)^2=\frac{4}{25} \\
cosα\cdot sinα=\sqrt{\frac{4}{25}} \quad\lor\quad cosα\cdot sinα=-\sqrt{\frac{4}{25}} \\
cosα\cdot sinα=\frac{2}{5} \quad\lor\quad cosα\cdot sinα=-\frac{2}{5}$$

Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry, to ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo dla kątów ostrych sinus i cosinus przyjmują wartości dodatnie. Zatem jedynym prawidłowym rozwiązaniem będzie \(cosα\cdot sinα=\frac{2}{5}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sprowadzisz ułamki do wspólnego mianownika i wykonasz poprawnie dodawanie tych liczb (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy rozwiązując zadanie za pomocą narysowanego trójkąta prostokątnego napiszesz, że \(sinα=\frac{a}{c}\), \(cosα=\frac{b}{c}\) oraz doprowadzisz równanie do postaci \(\frac{4c^2c^2}{a^2b^2}=25\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(sinα\cdot cosα=\frac{2}{7}\)

Pamiętając o tym, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy całość rozpisać w następujący sposób:
$$tgα+\frac{1}{tgα}=\frac{7}{2} \\
tgα+1:tgα=\frac{7}{2} \\
\frac{sinα}{cosα}+1:\frac{sinα}{cosα}=\frac{7}{2} \\
\frac{sinα}{cosα}+1\cdot\frac{cosα}{sinα}=\frac{7}{2} \\
\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}=\frac{7}{2}$$

Sprowadzamy teraz ułamki do wspólnego mianownika, by móc je do siebie dodać:
$$\frac{sinα\cdot sinα}{cosα\cdot sinα}+\frac{cosα\cdot cosα}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \\
\frac{sin^2α}{cosα\cdot sinα}+\frac{cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \\
\frac{sin^2α+cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2}$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:
$$\frac{1}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \\
1=\frac{7}{2}\cdot sinα\cdot cosα \quad\bigg/\cdot\frac{2}{7} \\
sinα\cdot cosα=\frac{2}{7}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci \(\frac{sin^2α+cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2}\) albo innej podobnej.
ALBO
• Gdy rozwiązując zadanie za pomocą rysunku trójkąta prostokątnego zapiszesz, że \(tgα+\frac{1}{tgα}=\frac{c^2}{ab}\).
ALBO
• Gdy obliczysz wartość jedną z wartości: \(sinα=\sqrt{\frac{7+\sqrt{33}}{14}}\) lub \(cosα=\frac{4}{\sqrt{98+14\sqrt{33}}}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(sinαcosα=\frac{1}{4}\)

Podnosimy wartość w nawiasie do kwadratu (zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia), a następnie stosujemy tzw. "jedynkę trygonometryczną":
$$(sinα+cosα)^2=\frac{3}{2} \\
sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=\frac{3}{2} \\
sin^2α+cos^2α+2sinαcosα=\frac{3}{2} \\
1+2sinαcosα=\frac{3}{2} \\
2sinαcosα=\frac{1}{2} \\
sinαcosα=\frac{1}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz wyrażenie do postaci \(sin^2α+cos^2α+2sinαcosα\).
ALBO
• Gdy rozwiązując to zadanie za pomocą narysowania trójkąta prostokątnego otrzymasz równanie \(\frac{a^2+2ab+b^2}{c^2}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(2\)

Skorzystamy ze wzorów redukcyjnych, które znajdziemy w tablicach maturalnych. Z nich możemy odczytać, że:
$$cosα=sin(90°-α)$$
To znaczy, że:
$$cos27°=sin(90°-27°)=sin63°$$

Okazuje się, że wartości które mamy w liczniku, czyli \(cos27°\) oraz \(sin63°\) są sobie równe. Skoro tak, to możemy całość zapisać jako:
$$\require{cancel}\frac{cos27°+sin63°}{cos27°}=\frac{cos27°+cos27°}{cos27°}=\frac{2\cdot \cancel{cos27°}}{\cancel{cos27°}}=2$$

PS. W działaniu \(\frac{cosα+sinβ}{cosα}\) nie mogliśmy sobie ot tak skrócić cosα w liczniku i mianowniku, bo w liczniku mamy dodawanie, a nie mnożenie, więc musielibyśmy każdy wyraz z licznika podzielić oddzielnie przez \(cosα\), a to nam nic nie da.

\(4+\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

W tym zadaniu tak naprawdę musimy tylko odczytać z tablic poszczególne wartości i wykonać poprawnie działania na pierwiastkach i potęgach:
$$(tg60°+tg45°)^2-sin60°= \\
=(\sqrt{3}+1)^2-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\
=3+2\sqrt{3}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\
=\frac{2\cdot(3+2\sqrt{3}+1)}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\
=\frac{8+4\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\
=-\frac{8+3\sqrt{3}}{2}= \\
=4+\frac{3\sqrt{3}}{2}$$