Zależność między liczbą przekątnych (k) a liczbą boków (n) wielokąta wypukłego

Rozwiązanie

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Aby określić, czy zdanie jest prawdziwe, możemy po prostu obliczyć ile jest przekątnych w dwunastokącie i czworokącie. W tym celu do wzoru \(k=\frac{n(n-3)}{2}\) musimy podstawić najpierw \(n=12\), a potem \(n=4\), otrzymując:
Dwunastokąt wypukły:
$$k_{12}=\frac{12\cdot(12-3)}{2} \\
k_{12}=\frac{12\cdot9}{2} \\
k_{12}=6\cdot9 \\
k_{12}=54$$

Czworokąt wypukły:
$$k_{4}=\frac{4\cdot(4-3)}{2} \\
k_{4}=\frac{4\cdot1}{2} \\
k_{4}=\frac{4}{2} \\
k_{4}=2$$

Zdanie jest więc fałszem, bo liczba przekątnych w dwunastokącie wypukłym jest \(27\) razy większa.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Analogicznie jak w przypadku pierwszego zdania - musimy tym razem podstawić do wzoru \(n=8\) oraz \(n=6\), otrzymując:
Ośmiokąt wypukły:
$$k_{8}=\frac{8\cdot(8-3)}{2} \\
k_{8}=\frac{8\cdot5}{2} \\
k_{8}=\frac{40}{2} \\
k_{8}=20$$

Sześciokąt wypukły:
$$k_{6}=\frac{6\cdot(6-3)}{2} \\
k_{6}=\frac{6\cdot3}{2} \\
k_{6}=\frac{18}{2} \\
k_{6}=9$$

Tym razem zdanie jest prawdą, bo faktycznie liczba przekątnych ośmiokąta wypukłego jest o \(11\) większa.

Odpowiedź

1) FAŁSZ

2) PRAWDA