Zadania optymalizacyjne – zadania maturalne

\(115\) wiatraków, a zysk wyniesie \(13055zł\)

Krok 1. Zapisanie wzoru na zysk.
Zysk to różnica między przychodami i kosztami. Wiemy, że przychód możemy opisać jako \(251x\), a koszty to \(x^2+21x+170\). To oznacza, że zysk jest równy:
$$251x-(x^2+21x+170)=251x-x^2-21x-170=-x^2+230x-170$$

To oznacza, że zysk możemy zapisać w postaci funkcji \(Z(x)=-x^2+230x-170\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli (czyli liczby sprzedanych wiatraków, aby zysk był największy).
Otrzymana funkcja \(Z(x)=-x^2+230x-170\) jest funkcją kwadratową, której ramiona będą skierowane do dołu (bo współczynnik \(a\) jest ujemny). Chcemy, by zysk był jak największy, czyli tak naprawdę szukamy największej wartości naszej funkcji \(Z(x)\). Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że w takim przypadku ta największa wartość przyjmowana będzie w wierzchołku. Obliczmy zatem współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli. Korzystając ze wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\) i wiedząc, że \(a=-1\) oraz \(b=230\), możemy zapisać, że:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-230}{2\cdot(-1)} \\
p=\frac{-230}{-2} \\
p=115$$

To oznacza, że nasza funkcja przyjmuje największą wartość dla argumentu \(x=115\). Ta wartość mieści się w przedziale \(x\in\langle0;150\rangle\), więc ta odpowiedź jest dla nas ostateczna. Mówiąc wprost, największe zyski osiągniemy przy produkcji \(115\) wiatraków.

Krok 3. Obliczenie największego zysku.
Wiemy już, że największy zysk osiągniemy, gdy liczba wiatraków będzie równa \(x=115\). To, ile wyniesie ten zysk możemy obliczyć na dwa sposoby - możemy obliczyć współrzędną \(q\) wierzchołka paraboli ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\) lub też podstawiając po prostu \(x=115\) do wzoru naszej funkcji opisującej zysk, czyli \(Z(x)=-x^2+230x-170\). Prostsza jest chyba ta druga metoda (uważajmy tylko na znaki!), zatem:
$$Z(115)=-115^2+230\cdot115-170 \\
Z(115)=-13225+26450-170 \\
Z(115)=13055$$

To oznacza, że największy zysk wynosi \(13055\) złotych.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(Z(x)=P(x)-K(x)\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny wzór funkcji z której obliczymy zysk (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli i dostrzeżesz, że mieści się ona w dziedzinie funkcji (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(24\) krzesła dziennie, co przyniesie zysk \(2064 zł\).

Krok 1. Zapisanie wzoru na zysk.
Zgodnie ze wskazówką, zysk to różnica między przychodami i kosztami. Spróbujmy zatem wyznaczyć wzór funkcji, która opisze nam ten zysk. Moglibyśmy zapisać, że:
$$Z(x)=P(x)-K(x) \\
Z(x)=196x-(4x^2+4x+240) \\
Z(x)=196x-4x^2-4x-240 \\
Z(x)=-4x^2+192x-240$$

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli (czyli liczby sprzedanych krzeseł, aby zysk był największy).
Otrzymana funkcja \(Z(x)=-4x^2+192x-240\) jest funkcją kwadratową, której ramiona będą skierowane do dołu (bo współczynnik \(a\) jest ujemny). Chcemy, by zysk był jak największy, czyli tak naprawdę szukamy największej wartości naszej funkcji \(Z(x)\). Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że w takim przypadku ta największa wartość przyjmowana będzie w wierzchołku.


Obliczmy zatem współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli. Korzystając ze wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\) i wiedząc, że \(a=−4\) oraz \(b=192\), możemy zapisać, że:
$$p=\frac{-192}{2\cdot(-4)} \\
p=\frac{-192}{-8} \\
p=24$$

To oznacza, że nasza funkcja przyjmuje największą wartość dla argumentu \(x=24\). Ta wartość mieści się w przedziale \(x\in(0;30\rangle\) (bo zakład jest w stanie wyprodukować co najwyżej \(30\) krzeseł), więc ta odpowiedź jest dla nas ostateczna. Mówiąc wprost, największe zyski osiągniemy przy produkcji \(24\) krzeseł dziennie.

Krok 3. Obliczenie największego zysku.
Wiemy już, że największy zysk osiągniemy, gdy liczba krzeseł będzie równa \(x=24\). To, ile wyniesie ten zysk możemy obliczyć na dwa sposoby - możemy obliczyć współrzędną \(q\) wierzchołka paraboli ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\) lub też podstawiając po prostu \(x=24\) do wzoru naszej funkcji opisującej zysk, czyli \(Z(x)=-4x^2+192x-240\). Prostsza jest chyba ta druga metoda, zatem:
$$Z(24)=-4\cdot(24)^2+192\cdot24-240 \\
Z(24)=-4\cdot(24)^2+192\cdot24-240 \\
Z(24)=-4\cdot576+4608-240 \\
Z(24)=-2304+4608-240 \\
Z(24)=2064$$

To oznacza, że największy zysk wynosi \(2064\) złotych.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(Z(x)=P(x)-K(x)\)
2 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny wzór funkcji z której obliczymy zysk (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli i dostrzeżesz, że mieści się ona w dziedzinie funkcji (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

1. A
2. E

Krok 1. Ustalenie, kiedy dzienny przychód będzie największy.
\(P(x)\) jest funkcją kwadratową, która jest zapisana w postaci iloczynowej \(P(x)=(70-x)(20+x)\). Wykres tej funkcji będzie parabolą z ramionami skierowanymi do dołu (dobrze to widać w momencie, gdy wymnożymy przez siebie nawiasy - otrzymalibyśmy wtedy postać ogólną, w której na początku znajdzie się \(-x^2\)). Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że w takim przypadku ta największa wartość przyjmowana będzie w wierzchołku.


Musimy więc ustalić jaka jest pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, czyli musimy obliczyć \(p\). Mamy tak naprawdę dwie możliwości. Możemy wymnożyć przez siebie te dwa nawiasy, uporządkować cały zapis do postaci ogólnej i z niej wyliczyć tę współrzędną za pomocą wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\). Ale możemy postąpić jeszcze sprytniej - z postaci iloczynowej bardzo łatwo możemy wyznaczyć miejsca zerowe tej funkcji (wystarczy przyrównać nawiasy do zera), a z własności parabol wiemy, że współrzędna \(p\) będzie średnią arytmetyczną tych miejsc zerowych. I zastosujmy może to drugie podejście skoro jest taka okazja.

Obliczmy zatem miejsca zerowe, czyli sprawdźmy, kiedy \((70-x)(20+x)=0\). Jest to równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, więc przyrównujemy nawiasy do zera:
$$70-x=0 \quad\lor\quad 20+x=0 \\
x=70 \quad\lor\quad x=-20$$

Tym samym współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli będzie równa:
$$p=\frac{70+(-20)}{2} \\
p=\frac{50}{2} \\
p=25$$

To oznacza, że przychód będzie największy, gdy \(x=25\).

Krok 2. Ustalenie, kiedy dzienny przychód wyniesie \(800\).
Chcemy się dowiedzieć kiedy przychód wyniesie \(800\), czyli musimy rozwiązać następujące równanie:
$$(70-x)(20+x)=800 \\
1400+70x-20x-x^2=800 \\
-x^2+50x+600=0$$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem standardowo korzystamy z delty:

Współczynniki: \(a=-1,\;b=50,\;c=600\)
$$Δ=b^2-4ac=50^2-4\cdot(-1)\cdot600=2500-(-2400)=4900 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{4900}=70$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-50-70}{2\cdot(-1)}=\frac{-120}{-2}=60 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-50+70}{2\cdot(-1)}=\frac{20}{-2}=-10$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ zgodnie z założeniami \(x\ge0\) i \(x\le60\), zatem zostaje nam \(x=60\).

\(x=100\) oraz \(y=75\)

Krok 1. Zapisanie równań.
Wiemy, że długość płotu wynosi \(580m\). Jak spojrzymy na rysunek, to zauważymy, że ten płot musi znaleźć się na trzech odcinkach o długości \(x\) (dwie granice zewnętrzne oraz wewnętrzna) oraz na czterech odcinkach o długości \(y\), które są pomniejszone dwukrotnie o \(10m\). To oznacza, że możemy zapisać następujące równanie:
$$3x+4y-20=580 \\
3x+4y=600$$

Dodatkowo wiemy, że pole powierzchni obliczamy ze wzoru \(P=ab\), co po podstawianiu danych z rysunku możemy zapisać jako:
$$P=x\cdot2y$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Aby tego dokonać, wyznaczmy wartość \(y\) z równania \(3x+4y=600\).
$$3x+4y=600 \\
4y=600-3x \\
y=150-\frac{3}{4}x$$

Podstawiając teraz \(y=150-\frac{3}{4}x\) do równania \(P=x\cdot2y\) otrzymamy:
$$P=x\cdot2\cdot\left(150-\frac{3}{4}x\right) \\
P=2x\cdot\left(150-\frac{3}{4}x\right) \\
P=300x-\frac{6}{4}x^2 \\
P=-\frac{6}{4}x^2+300x$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni działki można opisać wzorem \(-\frac{6}{4}x^2+300x\). Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)).

Od razu możemy też zapisać, że \(x\gt0\) oraz \(y\gt10\), bo sama brama ma \(10m\). Tym samym skoro \(y=150-\frac{3}{4}x\), to otrzymamy założenie, że \(150-\frac{3}{4}x\gt10\), co po rozwiązaniu tej nierówności da \(x\lt\frac{560}{3}\). Dzięki temu możemy stwierdzić, że dziedziną tej funkcji będzie \(x\in\left(0;\frac{560}{3}\right)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-\frac{6}{4}\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-300}{2\cdot\left(-\frac{6}{4}\right)} \\
x_{W}=\frac{-300}{-3} \\
x_{W}=100$$

Wiemy już, że największa wartość jest przyjmowana, gdy \(x=100\), a otrzymany wynik mieści się w naszej dziedzinie. Gdybyśmy chcieli obliczyć ile wynosi ta największa wartość, to moglibyśmy skorzystać ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\), ale nas to nie interesuje. My musimy poznać wartość \(y\). Skoro tak, to wracamy do równania \(y=150-\frac{3}{4}x\) i podstawiając teraz \(x=100\), otrzymamy:
$$y=150-\frac{3}{4}x \\
y=150-\frac{3}{4}\cdot100 \\
y=150-75 \\
y=75$$

To oznacza, że powierzchnia magazynu będzie największa wtedy, gdy \(x=100\) oraz \(y=75\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie \(3x+4y-20=580\) lub \(P=x\cdot2y\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na pole powierzchni korzystając z jednej niewiadomej np. \(P=2x\cdot\left(150-\frac{3}{4}x\right)\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz, że \(x=100\) (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=4,5\) oraz \(y=3\)

Krok 1. Zapisanie równań.
Wiemy, że możemy zużyć \(36m\) siatki i z niej musimy zrobić wybieg, na który składają się cztery długości \(x\) (wliczając te wewnętrzne ściany) oraz sześć długości \(y\). Pierwszym równaniem jakie możemy ułożyć będzie zatem \(4x+6y=36\).

Dodatkowo wiemy, że pole powierzchni obliczamy ze wzoru \(P=a\cdot b\), co po podstawianiu danych z rysunku możemy zapisać jako:
$$P=x\cdot3y$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Aby tego dokonać, wyznaczmy wartość \(y\) z równania \(4x+6y=36\).
$$4x+6y=36 \\
6y=-4x+36 \\
y=-\frac{2}{3}x+6$$

Podstawiając teraz \(y=-\frac{2}{3}x+6\) do równania \(P=x\cdot3y\), otrzymamy:
$$P=x\cdot3\cdot\left(-\frac{2}{3}x+6\right) \\
P=x\cdot(-2x+18) \\
P=-2x^2+18x$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni działki można opisać wzorem \(-2x^2+18x\). Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)).

Od razu możemy też zapisać, że \(x\gt0\) oraz \(y\gt0\). Tym samym skoro \(y=-\frac{2}{3}x+6\), to otrzymamy założenie, że \(-\frac{2}{3}x+6\gt0\), co po rozwiązaniu tej nierówności da \(x\lt9\). Dzięki temu możemy stwierdzić, że dziedziną tej funkcji będzie \(x\in(0;9)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-2\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-18}{2\cdot(-2)} \\
x_{W}=\frac{-18}{-4} \\
x_{W}=4,5$$

Wiemy już, że największa wartość jest przyjmowana, gdy \(x=4,5\), a otrzymany wynik mieści się w naszej dziedzinie. Gdybyśmy chcieli obliczyć ile wynosi ta największa wartość, to moglibyśmy skorzystać ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\), ale nas to nie interesuje. My musimy poznać wartość \(y\). Skoro tak, to wracamy do równania \(4x+6y=36\) i podstawiając teraz \(x=4,5\), otrzymamy:
$$4\cdot4,5+6y=36 \\
18+6y=36 \\
6y=18 \\
y=3$$

Tym samym powierzchnia naszych wybiegów będzie największa, gdy \(x=4,5\) metra oraz \(y=3\) metry.

\(a=50m\) oraz \(b=100m\)

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że liny użyjemy na długości dwóch boków \(a\) oraz jednego boku \(b\), więc możemy zapisać, że:
$$2a+b=200$$

Dodatkowo wiemy, że pole powierzchni kąpieliska w kształcie prostokąta obliczymy ze wzoru:
$$P=a\cdot b$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(a\). Chcąc tego dokonać, wyznaczmy wartość \(b\) z równania \(2a+b=200\), czyli:
$$2a+b=200 \\
b=200-2a$$

Podstawiając teraz \(b=200-2a\) do równania \(P=a\cdot b\), otrzymamy:
$$P=a\cdot(200-2a) \\
P=200a-2a^2 \\
P=-2a^2+200a$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni kąpieliska można opisać wzorem \(-2a^2+200a\). I teraz następuje kluczowy moment w tego typu zadaniach - musimy całość potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(a\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(a)=-2a^2+200a\).

Dobrą praktyką jest ustalenie przy tej okazji dziedziny funkcji. Długości boków muszą być większe od zera, zatem \(a\gt0\), oraz \(b\gt0\). Bok \(b\) rozpisaliśmy jako \(200-2a\), czyli tym samym \(200-2a\gt0\), co po przekształceniu tej nierówności da nam \(a\lt100\). Tym samym moglibyśmy zapisać, że \(a\in(0;100)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-2\)). To sprawia, że nasza funkcja będzie wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:


Celem zadania jest dowiedzenie się, dla jakiego \(a\) pole powierzchni \(P\) będzie największe. Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że ta największa wartość będzie osiągnięta w wierzchołku. Musimy zatem obliczyć dla jakiej długości \(a\) ta największa wartość jest przyjmowana. W tym celu skorzystamy ze wzoru na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a}$$

Do tego wzoru podstawiamy współczynniki \(a\) oraz \(b\) naszej funkcji kwadratowej (nie mylmy tego z bokami \(a\) oraz \(b\), to jedynie zbieżność symboli). W przypadku funkcji \(P(a)=-2a^2+200a\) widzimy, że współczynnik \(a=-2\) oraz \(b=200\), zatem:
$$x_{W}=\frac{-200}{2\cdot(-2)} \\
x_{W}=\frac{-200}{-4} \\
x_{W}=50$$

To oznacza, że największe pole powierzchni osiągniemy, gdy długość boku \(a\) będzie równa \(50\) (tu warto też zwrócić uwagę, że otrzymany wynik jest zgodny z zapisaną wcześniej dziedziną funkcji).

Krok 4. Obliczenie długości boku \(b\)
Celem zadania jest podanie wszystkich wymiarów naszego kąpieliska, zatem obliczmy jeszcze długość boku \(b\). W tym celu wystarczy do równania \(b=200-2a\) podstawić obliczone przed chwilą \(a=50\), zatem:
$$b=200-2\cdot50 \\
b=200-100 \\
b=100$$

To oznacza, że kąpielisko będzie mieć największe pole gdy \(a=50\) oraz \(b=100\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu \(2a+b=200\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na pole powierzchni z użyciem tylko jednej niewiadomej (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz jeden z boków kąpieliska (patrz: Krok 3. oraz 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(50\times50\) oraz \(P=1250\)

Krok 1. Zapisanie zależności między bokami równoległoboku.
Równoległobok ma dwie pary boków jednakowej długości. Skoro więc obwód ten jest równy \(200\), to możemy zapisać, że:
$$2a+2b=200 \\
a+b=100 \\
b=100-a$$

Dodatkowo powinniśmy dostrzec, że długość boku \(b\) musi być dodatnia, stąd też:
$$100-a\gt0 \\
-a\gt-100 \\
a\lt100$$

Krok 2. Zapisanie zależności między polem powierzchni i długością boku \(a\).
W zadaniu wykorzystamy wzór na pole równoległoboku z wykorzystaniem funkcji sinus, czyli \(P=a\cdot b\cdot sin\alpha\), gdzie \(\alpha\) to kąt między bokami równoległoboku. Podstawiając teraz znane nam informacje, otrzymamy:
$$P=a\cdot b\cdot sin30° \\
P=a\cdot(100-a)\cdot\frac{1}{2} \\
P=(100a-a^2)\cdot\frac{1}{2} \\
P=-\frac{1}{2}a^2+50a$$

Krok 3. Obliczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-50}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} \\
p=\frac{-50}{-1} \\
p=50$$

Otrzymany wynik oznacza, że funkcja osiąga więc największą wartość dla argumentu równego \(50\), co w naszym przypadku oznacza, że \(a=50\).

Krok 4. Obliczenie długości \(b\).
Skoro \(a=50\), to zgodnie z zapisami z pierwszego kroku, długość drugiego boku tej figury będzie równa:
$$b=100-a \\
b=100-50 \\
b=50$$

To w praktyce oznacza, że poszukiwanym równoległobokiem będzie tak naprawdę romb o boku \(50\).

Krok 5. Obliczenie pola równoległoboku.
Musimy jeszcze obliczyć pole tego równoległoboku, zatem:
$$P=a\cdot b\cdot sin30° \\
P=50\cdot50\cdot\frac{1}{2} \\
P=2500\cdot\frac{1}{2} \\
P=1250$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu \(2a+2b=200\) (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór na pole \(P=ab\cdot sin30°\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz pole równoległoboku z użyciem tylko jednej niewiadomej (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli (patrz: Krok 3.) i zapiszesz dziedzinę funkcji (patrz: Krok 1.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wymiary \(\frac{3}{2}\times2\) natomiast \(P=3\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia do naszego rysunku, które umożliwią nam dalsze rozwiązywanie:


Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i zapisanie równań.
Powinniśmy zauważyć, że prostokąt wydzielił nam na rysunku także dwa mniejsze trójkąty prostokątne, czyli \(DBE\) oraz \(FEC\). Wszystkie te trójkąty (łącznie z głównym \(ABC\)) mają jednakowe kąty, więc możemy uznać je za podobne (na podstawie cechy kąt-kąt-kąt). To pozwoli nam ułożyć proporcję dotyczącą długości boków w tych trójkątach. Przykładowo, stosunek długości przyprostokątnych górnego trójkąta prostokątnego \(FEC\) o długościach \(3-x\) oraz \(y\) musi być taki sam, jak stosunek długości przyprostokątnych głównego trójkąta prostokątnego \(ABC\) o bokach \(3\) i \(4\). Możemy więc zapisać, że:
$$\frac{3-x}{y}=\frac{3}{4}$$

Mnożąc teraz na krzyż, otrzymamy:
$$(3-x)\cdot4=y\cdot3 \\
12-4x=3y \\
y=4-\frac{4}{3}x$$

Dodatkowo możemy od razu zapisać, że pole prostokąta wyznaczymy ze wzoru:
$$P=x\cdot y$$

Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu przy tego typu zadaniach jest poprawne zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Podstawiając \(y=4-\frac{4}{3}x\) do równania \(P=x\cdot y\), otrzymamy:
$$P=x\cdot(4-\frac{4}{3}x) \\
P=4x-\frac{4}{3}x^2 \\
P=-\frac{4}{3}x^2+4x$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni prostokąta można opisać wzorem \(-\frac{4}{3}x^2+4x\). W ten sposób udało nam się zapisać wzór na pole z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretne pole \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(x)=-\frac{4}{3}x^2+4x\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-\frac{4}{3}\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) osiągniemy jak największe pole \(P\). Z własności parabol wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) to największe pole jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-4}{2\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)} \\
x_{W}=\frac{-4}{-\frac{8}{3}} \\
x_{W}=(-4):\left(-\frac{8}{3}\right) \\
x_{W}=(-4)\cdot\left(-\frac{3}{8}\right) \\
x_{W}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$$

Krok 5. Wyznaczenie długości drugiego boku prostokąta i obliczenie pola powierzchni.
Wyliczyliśmy, że pole powierzchni będzie największe gdy jeden z boków prostokąta będzie miał długość \(x=\frac{3}{2}\). Zgodnie z treścią zadania, musimy jeszcze obliczyć długość drugiego boku, zatem korzystając z wcześniej zapisanego równania \(y=4-\frac{4}{3}x\), otrzymamy:
$$y=4-\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2} \\
y=4-\frac{12}{6} \\
y=2$$

To oznacza, że pole naszego prostokąta będzie równe:
$$P=\frac{3}{2}\cdot2 \\
P=3$$

Wymiary to \(200m\times50m\), natomiast pole to \(P=10000m^2\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeśli oznaczymy boki prostokąta jako \(x\) oraz \(y\) to powstanie nam taka oto sytuacja:


Krok 2. Obliczenie pola trapezu \(ABCD\).
Na początek obliczmy pole trapezu \(ABCD\). Mamy wszystkie potrzebne dane, ponieważ \(a=400\), \(b=100\) oraz \(h=75\), zatem:
$$P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(400+100)\cdot75 \\
P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot500\cdot75 \\
P_{ABCD}=250\cdot75 \\
P_{ABCD}=18750$$

Krok 3. Zapisanie równań.
Musimy teraz skorzystać ze wskazówki zapisanej pod zadaniem, czyli z podpowiedzi, że powinniśmy skorzystać ze wzoru \(P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\).

Trapez \(ABFE\) będzie mieć podstawy o długości \(a=400\) oraz \(b=x\), natomiast wysokość to \(h=y\). Jego pole zapisalibyśmy więc jako:
$$P_{ABFE}=\frac{1}{2}\cdot(400+x)\cdot y \\
P_{ABFE}=(200+\frac{1}{2}x)\cdot y \\
P_{ABFE}=200y+\frac{1}{2}xy$$

Trapez \(EFCD\) będzie mieć podstawy o długości \(a=x\) oraz \(y=100\), natomiast wysokość to \(h=75-y\). Jego pole zapisalibyśmy więc jako:
$$P_{EFCD}=\frac{1}{2}\cdot(x+100)\cdot(75-y) \\
P_{EFCD}=(\frac{1}{2}x+50)\cdot(75-y) \\
P_{EFCD}=\frac{75}{2}x-\frac{1}{2}xy+3750-50y$$

Wiemy też, że pole trapezu \(ABCD\) jest równe \(18750\), zatem podstawiając te wszystkie informacje do wzoru \(P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\), powstanie nam takie oto równanie:
$$18750=\left(200y+\frac{1}{2}xy\right)+\left(\frac{75}{2}x-\frac{1}{2}xy+3750-50y\right) \\
18750=200y+\frac{75}{2}x+3750-50y \\
15000=150y+\frac{75}{2}x \\
150y=15000-\frac{75}{2}x \quad\bigg/\cdot\frac{1}{150} \\
y=100-\frac{75}{300}x \\
y=-\frac{1}{4}x+100$$

Dodatkowo możemy od razu zapisać, że pole prostokąta wyznaczymy ze wzoru:
$$P=x\cdot y$$

Krok 4. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu przy tego typu zadaniach jest poprawne zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Podstawiając \(y=-\frac{1}{4}x+100\) do równania \(P=x\cdot y\), otrzymamy:
$$P=x\cdot\left(-\frac{1}{4}x+100\right) \\
P=-\frac{1}{4}x^2+100x$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni prostokąta można opisać wzorem \(P=-\frac{1}{4}x^2+100x\). W ten sposób udało nam się zapisać wzór na pole z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretne pole \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(x)=-\frac{1}{4}x^2+100x\).

Od razu też możemy zauważyć, że z rysunku oraz treści zadania wynika, \(x\) nie może być większy od \(400\), co prowadzi nas do wniosku, że dziedziną tej funkcji będzie \(x\in(0;400\rangle\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik \(a=-\frac{1}{4}\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-100}{2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)} \\
x_{W}=\frac{-100}{-\frac{1}{2}} \\
x_{W}=200$$

Otrzymany wynik mieści się w dziedzinie naszej funkcji, więc długość \(x\) jest jak najbardziej poprawna.

Krok 6. Wyznaczenie długości drugiego boku prostokąta i obliczenie pola powierzchni.
Wyliczyliśmy, że pole powierzchni będzie największe gdy jeden z boków prostokąta będzie miał długość \(x=200\). Zgodnie z treścią zadania, musimy jeszcze obliczyć długość drugiego boku, zatem korzystając z wcześniej zapisanego równania \(y=-\frac{1}{4}x+100\), otrzymamy:
$$y=-\frac{1}{4}\cdot200+100 \\
y=-50+100 \\
y=50$$

To oznacza, że pole naszego prostokąta będzie równe:
$$P=200m\cdot50m \\
P=10000m^2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz zależność między wymiarami prostokąta np. \(y=400-4x\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny wzór na pole prostokąta w którym użyjesz tylko jednej niewiadomej (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość drugiego boku prostokąta (patrz: Krok 6.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(b=3dm\) oraz \(P=112,5dm^2\)

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że krótsza podstawa (oznaczmy ją jako \(b\)) oraz wysokość \(h\) mają mieć łączną długość równą \(18dm\). Zapiszmy zatem, że:
$$b+h=18 \\
b=18-h$$

Przy okazji możemy zapisać założenie, że \(b\) musi być mniejsze od \(12\) (bo w przeciwnym wypadku nie będzie to krótsza podstawa), no i oczywiście musi być większe od \(0\), zatem \(b\in(0,12)\).

Pole trapezu obliczamy ze wzoru:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h$$

Wiemy, że \(a=12\) oraz \(b=18-h\), zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}(12+18-h)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(30-h)\cdot h \\
P=(15-\frac{1}{2}h)\cdot h \\
P=15h-\frac{1}{2}h^2 \\
P=-\frac{1}{2}h^2+15h$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(h)\).
Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni prostokąta można opisać wzorem \(P=-\frac{1}{2}h^2+15h\). W ten sposób udało nam się zapisać wzór na pole z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(h\) otrzymamy konkretne pole \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(h)=-\frac{1}{2}h^2+15h\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco:


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(h\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(h\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-15}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} \\
x_{W}=\frac{-15}{-1} \\
x_{W}=15$$

Wyliczyliśmy zatem, że pole powierzchni będzie największe gdy \(h=15\).

Krok 4. Wyznaczenie długości drugiej podstawy.
Zgodnie z treścią zadania, musimy jeszcze obliczyć długość krótszej podstawy, którą oznaczyliśmy jako \(b\). Zapisaliśmy sobie wcześniej, że \(b=18-h\), zatem:
$$b=18-15 \\
b=3[dm]$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trapezu.
Na koniec musimy obliczyć pole trapezu. Możemy w tym celu skorzystać ze wzoru, który zapisaliśmy wcześniej, czyli \(P=-\frac{1}{2}h^2+15h\) i podstawić do niego \(h=15\). Możemy też po prostu skorzystać ze standardowego wzoru na pole trapezu, bo znamy wszystkie miary naszego trapezu, czyli \(a=12\), \(b=3\) oraz \(h=15\). Skorzystamy może z tego standardowego wzoru, zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot(12+3)\cdot15 \\
P=\frac{1}{2}\cdot15\cdot15 \\
P=112,5[dm^2]$$

\(x=4\) oraz \(y=8\), a najmniejsza wartość jest równa \(96\)

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że suma dwóch liczb ma być równa \(12\), czyli:
$$x+y=12 \\
y=12-x$$

Dodatkowo od razu możemy zapisać założenia do naszego zadania. Liczby muszą być nieujemne, a jednocześnie ich suma jest równa \(12\), więc każda z tych liczb musi być większa lub równa \(0\) i jednocześnie mniejsza lub równa \(12\). Zapisalibyśmy więc założenie, że \(x\in\langle0;12\rangle\) oraz \(y\in\langle0;12\rangle\).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(f(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie wartości wyrażenia z użyciem jednej zmiennej, czyli zmiennej \(x\). Aby tego dokonać, wystarczy podstawić wyznaczone \(y=12-x\) do wyrażenia \(2x^2+y^2\), otrzymując:
$$2x^2+(12-x)^2= \\
=2x^2+144-24x+x^2= \\
=3x^2-24x+144$$

Teraz całość musimy potraktować jako funkcję kwadratową, więc moglibyśmy zapisać, że \(f(x)=3x^2-24x+144\).

Krok 3. Wyznaczenie wartości \(x\) oraz \(y\).
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, ponieważ współczynnik kierunkowy \(a=3\) jest większy od zera.


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) ta wartość będzie najmniejsza, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do góry osiągnie swoją najmniejszą wartość w wierzchołku. Aby obliczyć tę wartość, musimy skorzystać ze wzoru na współrzędną \(x_{W}\) (często oznaczaną też jako \(p\)):
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-(-24)}{2\cdot3} \\
x_{W}=\frac{24}{6} \\
x_{W}=4$$

To oznacza, że najmniejsza wartość będzie przyjmowana wtedy, gdy \(x=4\). Od razu możemy obliczyć jaka będzie wartość \(y\). W tym celu wystarczy skorzystać z równania zapisanego w pierwszym kroku, czyli:
$$y=12-4 \\
y=8$$

Krok 4. Wyznaczenie najmniejszej wartości.
Największą pułapką tego zadania jest to, że obliczona przed chwilą wartość \(y=8\) to nie jest najmniejsza wartość funkcji. Musimy zwrócić uwagę, że \(x\) oraz \(y\) to liczby, dla których ta najmniejsza wartość jest przyjmowana, więc trzeba byłoby teraz podstawić \(x=4\) oraz \(y=8\) do tego wyrażenia i sprawdzić jaki wynik otrzymamy:
$$2\cdot4^2+8^2=2\cdot16+64=32+64=96$$

Równie dobrze można byłoby skorzystać z naszej funkcji \(f(x)=3x^3-24x+144\) i obliczyć \(f(4)\), co wyglądałoby następująco:
$$f(4)=3\cdot4^2-24\cdot4+144 \\
f(4)=3\cdot16-96+144 \\
f(4)=48-96+144 \\
f(4)=96$$