Z równoległoboku o krótszym boku długości 6 i kącie ostrym 60 stopni wycięto prostokąt

Z równoległoboku o krótszym boku długości \(6\) i kącie ostrym \(60°\) wycięto prostokąt o wymiarach największych z możliwych. Długość wyciętego w ten sposób prostokąta była dwa razy większa niż jego szerokość.

egzamin ósmoklasisty



Drugi z boków danego równoległoboku miał długość:

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy omawiany w treści zadania prostokąt i przy okazji wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
egzamin ósmoklasisty

Z analizy rysunku wynika, że długość prostokąta będzie dwa razy większa niż wysokość prostokąta (i tym samym równoległoboku).

Krok 2. Obliczenie wysokości równoległoboku.
Chcąc poznać wysokość równoległoboku, skorzystamy z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\). Spójrzmy na zaznaczony zielony trójkąt. Bok o długości \(6\) jest przeciwprostokątną naszego zielonego trójkąta prostokątnego. Zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\), krótsza przyprostokątna będzie miała miarę dwa razy mniejszą od przeciwprostokątnej, czyli w naszym przypadku \(a=3\). Tym samym dłuższa przyprostokątna będąca wysokością równoległoboku będzie miała długość \(h=3\sqrt{3}\).

Krok 3. Obliczenie długości drugiego boku równoległoboku.
Dłuższy bok równoległoboku będzie sumą długości krótszej przyprostokątnej naszego trójkąta oraz dłuższego boku prostokąta. Zgodnie z treścią zadania, ten dłuższy bok prostokąta będzie dwa razy dłuższy niż wysokość, czyli będzie miał:
$$x=2\cdot3\sqrt{3} \\
x=6\sqrt{3}$$

Skoro tak, to poszukiwany drugi bok równoległoboku będzie miał miarę:
$$b=6\sqrt{3}+3$$

Odpowiedź

C

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments