Z połowy koła o promieniu 10 zbudowano powierzchnię boczną stożka. Ile wynosi promień podstawy tego stożka?

Z połowy koła o promieniu \(10\) zbudowano powierzchnię boczną stożka. Ile wynosi promień podstawy tego stożka?

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
To zadanie w dużej mierze na wyobraźnię. Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie, że promień koła będzie tak zwaną tworzącą naszego stożka. Ta połówka koła złoży się na stożek mniej więcej tak, jak składamy czapeczki z papieru.
matura z matematyki

Możemy więc już zapisać, że \(l=10\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni połowy koła (czyli pola powierzchni bocznej).
Wzór na pole koła to \(P=π\cdot r^2\). Nas interesuje połowa koła o promieniu \(r=10\) i wiemy, że ta połowa koła będzie jednocześnie polem powierzchni bocznej naszego stożka. W związku z tym:
$$P_{b}=\frac{1}{2}\cdot π\cdot r^2 \\
P_{b}=\frac{1}{2}\cdot π\cdot 10^2 \\
P_{b}=\frac{1}{2}\cdot π\cdot 100 \\
P_{b}=50π$$

Krok 3. Obliczenie długości promienia podstawy stożka.
Obliczając pole połowy koła wiemy już, że pole powierzchni bocznej stożka jest równe \(50π\). Wiemy też z rysunku, że \(l=10\). Korzystając teraz ze wzoru na pole powierzchni bocznej \(P_{b}=πrl\) wyznaczymy poszukiwaną długość promienia podstawy walca:
$$P_{b}=50π \\
πrl=50π \\
rl=50 \\
r\cdot10=50 \\
r=5$$

Odpowiedź

B

Dodaj komentarz