Z odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny

Z odcinków o długościach: \(5,\;2a+1,\;a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że:

\(a=6\)

\(a=4\)

\(a=3\)

\(a=2\)

Rozwiązanie:

I sposób – metoda podstawiania kolejnych odpowiedzi.

Zadanie jest dość podchwytliwe. Jeśli będziemy sobie podstawiać pod \(a\) kolejne odpowiedzi, to dość przypadkowo możemy wybrać złą odpowiedź jaką jest \(a=6\). Spójrzmy co się stanie jak podstawimy \(a=6\).
I bok: \(5\)
II bok: \(2\cdot6+1=13\)
III bok: \(6-1=5\)
Otrzymaliśmy dwa boki równej długości, co sugerować by mogło, że jest to prawidłowa odpowiedź. Niestety nie jest, bo z boków długości \(5\), \(5\), \(13\) nie da się w ogóle zbudować trójkąta. Aby trójkąt mógł powstać, to suma długości dwóch krótszych boków muszą być większa niż długość najdłuższego boku. W tym przypadku tak nie jest, bo \(10\lt13\).

Jedynie podstawiając \(a=2\) otrzymamy prawidłowy komplet boków:
I bok: \(5\)
II bok: \(2\cdot2+1=5\)
III bok: \(2-1=1\)

Suma długości najkrótszych boków to \(1+5=6\), a skoro \(6\gt5\) to taki trójkąt istnieje.

II sposób – metoda tworzenia równań.

Jak do tego zadania podejść w sposób bardziej matematyczny, albo jak to obliczyć gdyby takie zadanie pojawiło się jako otwarte? Skoro jest to trójkąt równoramienny to znaczy że ma dwa ramiona równej długości. Moglibyśmy więc między wyrażeniami opisującymi długości tych ramion postawić znak równości i tym samym obliczyć wartość \(a\). Problem w tym, że nie wiemy które te długości miałyby być sobie równe, więc musimy rozpatrzyć aż trzy możliwości.

Pierwsza możliwość: \(5=2a+1 \Rightarrow a=2\)
Druga możliwość: \(5=a-1 \Rightarrow a=6\)
Trzecia możliwość: \(2a+1=a-1 \Rightarrow a=-2\)

Teraz musielibyśmy podstawiać wyznaczone wartości \(a\) tak jak robiliśmy to sobie w pierwszym kroku i tak samo musielibyśmy przeanalizować czy otrzymane długości tworzą w ogóle jakikolwiek trójkąt. My już wiemy, że jedynym pasującym wariantem jest \(a=2\).

Odpowiedź:

D. \(a=2\)